Aria triunghiului

Formula de bază: baza și înălțimea

Orice latură a triunghiului poate fi bază. Înălțimea corespunzătoare ei este perpendiculara dusă din vârful opus pe acea latură. Aria este jumătate din produsul lor:

Exemplu rezolvat. Pentru baza de $8$ cm și înălțimea pe ea de $5$ cm, aria este $A=\frac{8\cdot 5}{2}=20$ cm².

De ce jumătate: dacă lipești două copii ale triunghiului de-a lungul unei laturi, obții un paralelogram cu aceeași bază și aceeași înălțime. Aria paralelogramului este $b\cdot h$, după cum vezi la aria paralelogramului. Triunghiul este jumătate din el.

Un triunghi are trei înălțimi, câte una pentru fiecare latură. Indiferent ce latură alegi, aria iese aceeași: $a\cdot h_a=b\cdot h_b=c\cdot h_c=2A$. Din această egalitate afli o înălțime când știi aria și latura pe care cade.

Înălțimea în triunghiul obtuzunghic

Când triunghiul are un unghi obtuz, două dintre înălțimi cad în afara triunghiului, pe prelungirea laturii. Formula rămâne aceeași. Baza este latura, nu latura împreună cu prelungirea ei.

Triunghiul dreptunghic

Catetele sunt perpendiculare, deci o catetă este înălțimea corespunzătoare celeilalte. Aria este produsul catetelor împărțit la 2.

Dacă alegi ipotenuza ca bază, înălțimea pe ipotenuză iese din egalitatea celor două scrieri ale ariei: $h=\frac{c_1\cdot c_2}{i}$, unde $i$ este ipotenuza. Ipotenuza o afli cu teorema lui Pitagora.

Triunghiul echilateral

Înălțimea cade în mijlocul laturii. Cu teorema lui Pitagora obții $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$, iar aria este

Merită să ții minte formula. Ea apare și la bazele piramidelor și ale prismelor regulate.

Triunghiul isoscel

Înălțimea dusă pe bază este și mediană, deci împarte baza în două jumătăți egale. Ea formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $l$ și o catetă $\frac{b}{2}$, din care afli înălțimea cu Pitagora. Apoi aplici formula de bază.

Mediana și triunghiurile cu aceeași înălțime

Două triunghiuri cu bazele pe aceeași dreaptă și cu același vârf opus au aceeași înălțime. Raportul ariilor lor este atunci raportul bazelor. Două cazuri des întâlnite:

• mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale, pentru că bazele lor sunt cele două jumătăți ale laturii;
• dacă $D$ este pe $BC$ și $BD=2\cdot DC$, atunci aria lui $ABD$ este dublul ariei lui $ADC$.

Formulele din liceu

În clasa a IX-a se adaugă formule trigonometrice ale ariei.

• Cu două laturi și unghiul dintre ele: $A=\frac{a\cdot b\cdot \sin C}{2}$. Formula vine din formula de bază, pentru că înălțimea pe latura $a$ este $b\cdot \sin C$. Vezi trigonometrie.
• Formula lui Heron: când știi toate cele trei laturi, calculezi semiperimetrul $p$, apoi $A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
• Cu raza cercului înscris: $A=p\cdot r$. De aici $r=\frac{A}{p}$.
• Cu raza cercului circumscris: $A=\frac{abc}{4R}$. De aici $R=\frac{abc}{4A}$.

În geometria analitică (clasa a X-a) aria se calculează din coordonatele vârfurilor. În clasa a XI-a, la determinanți, vei vedea o formulă a ariei cu un determinant.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: formula de bază

Un triunghi are o latură de $12$ cm, iar înălțimea dusă pe ea este de $7$ cm. Aria este $A=\frac{12\cdot 7}{2}=42$ cm².

Exemplul 2: triunghiul dreptunghic și înălțimea pe ipotenuză

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt de $9$ cm și $12$ cm. Află aria și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

1. $A=\frac{9\cdot 12}{2}=54$ cm².
2. Ipotenuza: $\sqrt{81+144}=15$ cm.
3. Înălțimea pe ipotenuză: $h=\frac{2A}{15}=\frac{108}{15}=7,2$ cm.

Exemplul 3: triunghiul isoscel și o a doua înălțime

Triunghiul $ABC$ are $AB=AC=10$ cm și $BC=12$ cm. Află aria și înălțimea dusă din $B$.

1. Înălțimea $AD$ pe bază împarte $BC$ în două, deci $BD=6$ cm.
2. $AD=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ cm.
3. $A=\frac{12\cdot 8}{2}=48$ cm².
4. Înălțimea din $B$ cade pe $AC$: $h_B=\frac{2A}{AC}=\frac{96}{10}=9,6$ cm.

Exemplul 4: triunghiul echilateral, în ambele sensuri

a) Pentru latura $l=6$ cm, $A=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm².

b) Un triunghi echilateral are aria $16\sqrt{3}$ cm². Din $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}$ rezultă $l^2=64$, deci latura este $l=8$ cm.

Exemplul 5: aria cu un punct pe latură (nivel de examen)

Triunghiul $ABC$ are aria $45$ cm². Punctul $D$ se află pe latura $BC$, cu $BD=2\cdot DC$. Află ariile triunghiurilor $ABD$ și $ADC$.

1. Triunghiurile $ABD$ și $ADC$ au același vârf $A$ și bazele pe dreapta $BC$, deci au aceeași înălțime.
2. Raportul ariilor este raportul bazelor: $\frac{A_{ABD}}{A_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=2$.
3. Ariile au suma $45$ cm² și una este dublul celeilalte, deci $A_{ADC}=15$ cm² și $A_{ABD}=30$ cm².

Cum recunoști tipul: punctul de pe latură împarte triunghiul în două triunghiuri cu aceeași înălțime. Lucrezi cu raportul bazelor, fără să afli înălțimea.

Exemplul 6: formula lui Heron și formula cu sinus (liceu)

a) Laturile unui triunghi sunt $9$, $10$ și $17$. Semiperimetrul este $p=\frac{9+10+17}{2}=18$, iar $A=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=\sqrt{1296}=36$. Raza cercului înscris este $r=\frac{A}{p}=\frac{36}{18}=2$.

b) Un triunghi are două laturi de $8$ și $5$, iar unghiul dintre ele are $30^{\circ }$. Aria este $A=\frac{8\cdot 5\cdot \sin 30^{\circ }}{2}=\frac{8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}}{2}=10$.

Unde apare la examen

• Evaluarea Națională, clasa a VIII-a: proba de matematică din 2026 a avut un Subiect al II-lea cu 6 itemi de geometrie plană și în spațiu, cu alegere multiplă. În varianta 1, unul dintre acești itemi a cerut aria unui triunghi, într-o configurație cu centrul de greutate (subiectele și baremele EN 2026).
• Bacalaureatul, Matematică M_mate-info: la clasa a IX-a, programa de examen cuprinde calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris și calcularea unor arii; la clasa a X-a, calcularea unor distanțe și a unor arii în geometria analitică (programa M_mate-info, anexa 2 la OMEN 4430/2014).

Greșeli frecvente

• Greșit: aria triunghiului este $b\cdot h$.
  Corect: $b\cdot h$ este aria paralelogramului; aria triunghiului este jumătate din ea, $\frac{b\cdot h}{2}$.
• Greșit: aria se obține înmulțind baza cu o latură oblică.
  Corect: se folosește înălțimea, perpendiculară pe bază; singura excepție este triunghiul dreptunghic, unde catetele sunt perpendiculare.
• Greșit: o bază se combină cu înălțimea altei laturi.
  Corect: înălțimea trebuie să fie perpendiculară exact pe latura aleasă ca bază.
• Greșit: la triunghiul obtuzunghic, baza este latura împreună cu prelungirea ei.
  Corect: baza rămâne latura; doar înălțimea cade pe prelungire.
• Greșit: aria triunghiului echilateral este $\frac{l^2\sqrt{3}}{2}$.
  Corect: aceasta este dublul ariei; formula corectă are numitorul $4$, $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.
• Greșit: aria unui triunghi cu laturile în cm se exprimă în cm.
  Corect: aria se exprimă în cm².

Înainte și după

Întrebări frecvente