Piramide și trunchiuri de piramidă

O piramidă are o bază poligonală și fețe laterale triunghiulare care se întâlnesc într-un singur vârf. Dacă baza este pătrat, piramida are patru fețe laterale triunghiulare. O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale și una la bază.

Înălțimea piramidei este segmentul perpendicular dus din vârf pe planul bazei. Ea nu este, în general, o muchie laterală; muchiile laterale sunt segmentele de la vârf la vârfurile bazei. Într-o piramidă regulată, vârful se proiectează în centrul bazei, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Dacă tai piramida cu un plan paralel cu baza și îndepărtezi partea cu vârful, corpul rămas este un trunchi de piramidă. Are două baze paralele și asemenea, una mai mică decât cealaltă, iar fețele laterale sunt trapeze. În desfășurare, poți vedea fiecare față separat; verifică să ai toate fețele înainte de a calcula aria suprafeței.

Piramida regulată are baza un poligon regulat și vârful proiectat în centrul bazei. Numărul fețelor laterale este egal cu numărul laturilor bazei, iar numărul muchiilor este dublul numărului laturilor. Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale, adică segmentul perpendicular de la vârf pe o latură a bazei; ea este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele înălțimea piramidei și apotema bazei. O piramidă cu baza un poligon cu $n$ laturi are $n+1$ vârfuri, $2n$ muchii și $n+1$ fețe. Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt egale, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente. Numărul fețelor, muchiilor și vârfurilor se determină din numărul laturilor bazei, iar volumul oricărei piramide este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și aceeași înălțime. Ca să recunoști o piramidă într-un desen, caută punctul în care se întâlnesc toate muchiile laterale. Înălțimea trebuie tratată separat de muchia laterală, fiindcă aparține interiorului corpului. Tetraedrul regulat este piramida triunghiulară cu toate cele patru fețe triunghiuri echilaterale congruente.

Exemplu rezolvat. O piramidă cu bază pătrată are câte fețe?

1. Baza este o față.
2. Pătratul are patru laturi, deci deasupra lor apar patru fețe laterale triunghiulare.
3. Totalul este $1+4=5$ fețe.

În desen, unele pot fi ascunse.

Volumul oricărei piramide este $V=A_{b}h/3$, cu înălțimea perpendiculară pe planul bazei. Pentru o piramidă regulată, aria laterală este $P_b{a}_p/2$, unde apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale și diferă de înălțimea corpului. O secțiune paralelă cu baza produce o piramidă mică asemenea celei inițiale. Dacă raportul lungimilor este $k$, rapoartele ariilor și volumelor sunt $k^2$, respectiv $k^3$. Trunchiul rămas are volumul $V=\frac{h}{3}(A_1+A_2+\sqrt{A_1{A}_2})$, unde ariile bazelor sunt pozitive și înălțimea este distanța dintre ele. Pentru trunchiul regulat, aria laterală este $(P_1+P_2)a_t/2$.

Exemplu rezolvat. O piramidă pătrată regulată are latura bazei de $6$ cm și înălțimea de $4$ cm.

1. Aria bazei este $36$ cm${}^2$, deci volumul este $36\cdot 4/3=48$ cm${}^3$.
2. Apotema bazei este jumătate din latură: $6/2=3$ cm.
3. Apotema piramidei este $\sqrt{4^2+3^2}=5$ cm.
4. Perimetrul bazei este $24$ cm, deci aria laterală este $24\cdot 5/2=60$ cm${}^2$, iar aria totală este $96$ cm${}^2$.

Într-o piramidă regulată patru lungimi sunt legate prin triunghiuri dreptunghice: înălțimea $h$, apotema bazei $a_b$, apotema piramidei $a_p$ (cu $a_p^2=h^2+a_b^2$) și muchia laterală $m$ (cu $m^2=h^2+R_b^2$, unde $R_b$ este raza cercului circumscris bazei). La un trunchi de piramidă regulată, fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente, iar înălțimea trapezului este apotema trunchiului; ea se află dintr-un triunghi dreptunghic cu catetele înălțimea trunchiului și diferența apotemelor bazelor. Dacă baza mare are latura $6$ cm, baza mică $3$ cm și înălțimea trunchiului $4$ cm, diferența apotemelor bazelor este $3-1,5=1,5$ cm, deci apotema trunchiului este $\sqrt{4^2+1,5^2}=\sqrt{18,25}$ cm. Volumul unui trunchi nu este media volumelor bazelor înmulțite cu înălțimea; el se obține fie prin formula cu $\sqrt{A_1{A}_2}$, fie scăzând din volumul piramidei întregi volumul piramidei îndepărtate. Alegerea triunghiului potrivit depinde de ce se cere: pentru aria laterală ai nevoie de apotema piramidei, iar pentru lungimea muchiei de raza cercului circumscris.

Exemplu rezolvat. O piramidă pătrată regulată cu baza de latură $6$ cm și înălțimea $8$ cm este tăiată cu un plan paralel cu baza, la mijlocul înălțimii. Calculează volumul trunchiului rezultat.

1. Piramida mică de deasupra are raportul de asemănare $k=\frac{1}{2}$ (înălțimea $4$ cm din $8$ cm), deci latura bazei ei este $3$ cm.
2. Volumul piramidei inițiale este $\frac{36\cdot 8}{3}=96$ cm${}^3$, iar cel al piramidei mici este $\frac{9\cdot 4}{3}=12$ cm${}^3$, adică $\frac{1}{8}$ din $96$.
3. Trunchiul are volumul $96-12=84$ cm${}^3$.

Verificare cu formula trunchiului: $V=\frac{h}{3}(A_1+A_2+\sqrt{A_1{A}_2})=\frac{4}{3}(36+9+18)=84$ cm${}^3$.

Exemplu rezolvat. Calculează înălțimea și volumul unui tetraedru regulat cu muchia $6$ cm.

1. Baza este un triunghi echilateral de latură $6$, cu aria $9\sqrt{3}$ cm${}^2$ și înălțimea $3\sqrt{3}$ cm.
2. Piciorul înălțimii tetraedrului este centrul bazei, aflat la $\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm de un vârf; atunci $h=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm.
3. Volumul este $V=\frac{9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}$ cm${}^3$.

Pentru o piramidă regulată, cu baza de perimetru $P_b$ și arie $A_b$, apotema bazei $a_b$, apotema piramidei $a_p$, înălțimea $h$, raza cercului circumscris bazei $R$ și muchia laterală $m$:

Greșeli frecvente

• Greșit: toate fețele unei piramide sunt triunghiuri.
  Corect: fețele laterale sunt triunghiuri, dar baza este un poligon oarecare, cu $n$ laturi.
• Greșit: aria laterală din exemplu folosește $h=4$ cm, deci este $48$ cm${}^2$.
  Corect: se folosește apotema $a_p=5$ cm și se obțin $60$ cm${}^2$.
• Greșit: o secțiune la jumătatea înălțimii elimină jumătate din volum.
  Corect: piramida mică are raportul liniar $1/2$ și volumul $1/8$ din cel inițial.

Înainte și după

Întrebări frecvente