Teorema lui Thales: enunț, reciproca și exerciții rezolvate

Pe scurt

Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, măsurate cu aceeași unitate. Patru segmente sunt proporționale dacă $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ . Teorema paralelelor echidistante spune că dacă mai multe drepte paralele determină segmente congruente pe o secantă, determină segmente congruente pe orice altă secantă.

Teorema lui Thales. În triunghiul $A B C$ , ia $D \in (A B)$ și $E \in (A C)$ . Dacă $D E ∥ B C$ , atunci

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}, \frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}, \frac{D B}{A B} = \frac{E C}{A C} .

Teorema se aplică în orice triunghi, fără condiții despre laturi sau unghiuri, iar rapoartele rămân adevărate și când $D$ și $E$ sunt pe prelungirile laturilor. Teorema nu dă raportul $\frac{D E}{B C}$ ; acesta rezultă din asemănarea triunghiurilor $A D E$ și $A B C$ și este egal cu $\frac{A D}{A B}$ .

Forma generală. Dacă trei drepte paralele $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ taie două secante în punctele $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , respectiv $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ , atunci $\frac{A _{1} A _{2}}{A _{2} A _{3}} = \frac{B _{1} B _{2}}{B _{2} B _{3}}$ . Când aplici teorema, alege întâi segmentele care formează raportul pe o latură, de exemplu partea $A D$ și întregul $A B$ , apoi scrie pe cealaltă latură partea și întregul în aceeași ordine: $A E$ și $A C$ .

Reciproca. Dacă $D \in (A B)$ , $E \in (A C)$ și $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ , atunci $D E ∥ B C$ . Aspectul desenului nu este dovadă: se calculează rapoartele corespunzătoare și se compară.

Exemplu rezolvat. Fie $D E ∥ B C$ , $A B = 6$ cm, $A C = 9$ cm și $A D = 2$ cm. Aflăm $A E$ , $D B$ și $E C$ .

Scriem $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ , adică $\frac{2}{6} = \frac{A E}{9}$ .
$A E = \frac{9 \cdot 2}{6} = 3$ cm.
$D B = A B - A D = 4$ cm și $E C = A C - A E = 6$ cm.

Verificare: $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ și $\frac{A E}{E C} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Exemplu rezolvat. Fie $A B = 10$ cm, $A D = 4$ cm, $A C = 15$ cm, $D \in (A B)$ , $E \in (A C)$ . Este $D E ∥ B C$ dacă $A E = 6$ cm? Dar dacă $A E = 7$ cm?

$D B = 10 - 4 = 6$ cm. Raportul de pe $A B$ este $\frac{A D}{D B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
Pentru $A E = 6$ : $E C = 9$ cm și $\frac{A E}{E C} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Rapoartele sunt egale, deci $D E ∥ B C$ (reciproca).
Pentru $A E = 7$ : $E C = 8$ cm și $\frac{7}{8} \neq = \frac{2}{3}$ , deci $D E$ nu este paralelă cu $B C$ .

Exemplu rezolvat. Împărțim un segment $[A B]$ de $20$ cm în părți proporționale cu $2$ și $3$ .

Din $A$ duci o semidreaptă oarecare și marchezi pe ea cu compasul cinci segmente congruente: $A P_{1}$ , $P_{1} P_{2}$ , …, $P_{4} P_{5}$ .
Unești $P_{5}$ cu $B$ și duci prin $P_{2}$ paralela la $P_{5} B$ ; ea taie $[A B]$ în $M$ .
Din Thales, $\frac{A M}{M B} = \frac{A P _{2}}{P _{2} P _{5}} = \frac{2}{3}$ , deci $A M = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8$ cm și $M B = 12$ cm.

În trapez, dacă $A B ∥ C D$ , $M \in [A D]$ , $N \in [B C]$ și $M N ∥ A B$ , atunci $\frac{A M}{M D} = \frac{B N}{N C}$ , pentru puncte interioare $M$ și $N$ .

Greșeli frecvente

Greșit: pentru $A B = 6$ , $A D = 2$ , $A C = 9$ și $D E ∥ B C$ , se scrie $A D / A B = A E / E C$ .
Corect: raportul segment–întreg este $A D / A B = A E / A C$ , de unde $A E = 3$ .
Greșit: în aceleași date, $D B = A B + A D = 8$ .
Corect: $D$ este între $A$ și $B$ , deci $D B = 6 - 2 = 4$ .
Greșit: egalitatea $A D = A E$ dovedește singură $D E ∥ B C$ .
Corect: reciproca cere egalitatea rapoartelor corespunzătoare, nu a două segmente izolate.
Greșit: din $D E ∥ B C$ rezultă $\frac{A D}{D B} = \frac{D E}{B C}$ .
Corect: $\frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A B}$ ; pentru $A D = 2$ , $A B = 6$ și $B C = 12$ se obține $D E = 4$ , nu $6$ .

pentru adulți

Pentru părinți

Desenați un triunghi cu $A B = 6$ cm și $A C = 9$ cm. Marcați $D$ astfel încât $A D = 2$ cm și trasați prin el paralela la $B C$ până la $E$ . Copilul calculează $A E$ din $2/6 = A E /9$ , apoi măsoară $A E$ cu rigla și verifică. Întrebați: „De ce comparăm $A D$ cu $A B$ și $A E$ cu $A C$ ?” Apoi mutați $D$ la $4$ cm de $A$ și cereți-i să prevadă $A E$ înainte să măsoare.

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnainteAsemănarea triunghiurilorCriterii, rapoarte și aplicații.DupăTeorema lui PitagoraRelația în triunghiul dreptunghic și aplicații.CapitolulGeometrie planăToate lecțiile capitolului „Geometrie plană”.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Thales?

O paralelă la o latură a unui triunghi, care taie celelalte două laturi, le împarte în segmente proporționale. Pentru DE paralelă cu BC: AD / DB = AE / EC.

Ce spune reciproca teoremei lui Thales?

Dacă punctele D și E sunt pe laturile AB și AC și AD / DB = AE / EC, atunci dreapta DE este paralelă cu BC. Cu reciproca demonstrezi că două drepte sunt paralele.

Pot scrie cu teorema lui Thales raportul DE / BC?

Nu. Teorema lui Thales leagă numai segmentele de pe laturile AB și AC. Raportul DE / BC = AD / AB vine din teorema fundamentală a asemănării, pentru că triunghiurile ADE și ABC sunt asemenea.

Surse și referințe

Redactare proprie, conform programei:

OMEN nr. 3393/28.02.2017, anexa 2, p. PDF 23, 24; rocnee.eu
OME 4730/2022, programa de examen EN VIII, confirmată pentru EN 2026 de OMEC 6058/2025 art. 3; edu.ro ; pentru conținutul detaliat, anexa 11 la OMEC 3472/2020, p. PDF 66–77: edu.ro

Documente consultate

Programa școlară pentru disciplina Matematică, clasele a V-a – a VIII-a (anexa nr. 2 la OMEN 3393/2017), p. PDF 23–24; rocnee.eu
Subiectele și baremele Evaluării Naționale 2026; subiecte2026.edu.ro

Desene: Redactare proprie (desen original)