Linii importante în triunghi

Într-un triunghi $ABC$ se construiesc patru feluri de linii. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse: dacă $M$ este mijlocul lui $[BC]$ și $BC=8$ cm, atunci $BM=MC=4$ cm. Înălțimea este perpendiculara dusă dintr-un vârf pe dreapta laturii opuse. Într-un triunghi obtuzunghic, înălțimile din vârfurile unghiurilor ascuțite cad pe prelungirile laturilor, în exteriorul triunghiului. Într-un triunghi dreptunghic, două dintre înălțimi sunt chiar catetele. În același triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: pentru ipotenuza de $10$ cm, ea are $5$ cm. Un triunghi are trei mediane, trei înălțimi, trei bisectoare și trei mediatoare, câte una pentru fiecare vârf sau latură.

Bisectoarea unui unghi al triunghiului îl împarte în două unghiuri congruente: dintr-un unghi de $60^{\circ }$ rezultă două unghiuri de $30^{\circ }$. Mediatoarea unei laturi este perpendiculara pe latură în mijlocul ei și nu pleacă neapărat dintr-un vârf. Punctele mediatoarei unei laturi sunt egal depărtate de capetele laturii, iar punctele bisectoarei unui unghi sunt egal depărtate de laturile lui. Cu echerul construiești înălțimea, cu raportorul sau cu compasul bisectoarea, iar cu compasul mijlocul laturii și mediatoarea. Cele trei mediane sunt concurente în centrul de greutate, înălțimile în ortocentru, bisectoarele în centrul cercului înscris, iar mediatoarele în centrul cercului circumscris; lecția „Centrele triunghiului” le tratează pe fiecare.

În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, mediana, înălțimea și bisectoarea duse din $A$ coincid, iar mediatoarea bazei $[BC]$ este aceeași dreaptă. În triunghiul echilateral, această coincidență are loc din fiecare vârf.

Exemplu rezolvat. În triunghiul $ABC$, punctul $M$ este mijlocul lui $[BC]$, iar $BC=10$ cm.

1. Mijlocul împarte latura în două părți egale.
2. $BM=MC=10:2=5$ cm.
3. Segmentul $AM$ este mediană, deoarece unește vârful $A$ cu mijlocul laturii opuse.

Exemplu rezolvat. Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$ și $m(\sphericalangle B)=70^{\circ }$, iar $AD$ este bisectoarea unghiului $A$, cu $D\in BC$.

1. Unghiurile de la bază sunt congruente, deci $m(\sphericalangle C)=70^{\circ }$.
2. $m(\sphericalangle A)=180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }$.
3. Bisectoarea împarte unghiul $A$ în două unghiuri de $40^{\circ }:2=20^{\circ }$.
4. $AD$ este și înălțime, deci $m(\sphericalangle ADB)=90^{\circ }$.

Verificare în triunghiul $ABD$: $20^{\circ }+70^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$.

Înălțimile și aria. Dacă $S$ este aria triunghiului, atunci $S=\frac{a{h}_a}{2}=\frac{b{h}_b}{2}=\frac{c{h}_c}{2}$, deci $a{h}_a=b{h}_b=c{h}_c=2S$: laturii mai mari îi corespunde înălțimea mai mică. Cu sinusul, $h_a=b\sin C=c\sin B$. În triunghiul cu unghiul drept în $A$, egalitatea $a{h}_a=2S=bc$ dă $h_a=\frac{bc}{a}$; pentru catetele $6$ și $8$ și ipotenuza $10$ se obține $h_a=\frac{48}{10}=4,8$.

Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale, $S_{ABM}=S_{ACM}=\frac{S}{2}$, deoarece au aceeași înălțime din $A$ și bazele $BM=MC$. Lungimea unei mediane în funcție de laturi se află cu relația lui Stewart.

Locuri geometrice. Mediatoarea segmentului $[BC]$ este mulțimea punctelor $P$ ale planului cu $PB=PC$. Bisectoarea unui unghi este mulțimea punctelor din interiorul lui egal depărtate de laturi. Acestea explică de ce mediatoarele laturilor sunt concurente, într-un punct egal depărtat de vârfuri, și de ce bisectoarele sunt concurente, într-un punct egal depărtat de laturi.

Înălțimea în triunghiul obtuzunghic. Fie $B(0;0)$, $C(4;0)$ și $A(-1;3)$. Piciorul perpendicularei duse din $A$ pe dreapta $BC$, adică pe axa $Ox$, este $D(-1;0)$. El se află pe prelungirea lui $[CB]$, dincolo de $B$, deci unghiul $B$ este obtuz. Înălțimea are $AD=3$, iar aria este $\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6$. Formula ariei se aplică la fel, chiar dacă piciorul înălțimii este în afara laturii.

Coincidențe în triunghiul isoscel. Fie $AB=AC$ și $M$ mijlocul lui $[BC]$. Triunghiurile $ABM$ și $ACM$ sunt congruente prin LLL, deci $\sphericalangle BAM\equiv \sphericalangle CAM$ și $\sphericalangle AMB\equiv \sphericalangle AMC$. Ultimele două unghiuri sunt suplementare și congruente, deci fiecare are $90^{\circ }$. Astfel $AM$ este mediană, bisectoare și înălțime. Reciproc, dacă înălțimea $AM$ este și mediană, atunci $A$ se află pe mediatoarea lui $[BC]$, deci $AB=AC$.

Exemplu rezolvat. Triunghiul $ABC$ are $AB=13$, $BC=14$ și $CA=15$. Aflăm înălțimile.

1. Fie $D$ piciorul înălțimii din $A$ și $BD=x$. Din triunghiurile dreptunghice $ABD$ și $ACD$: $A{D}^2=13^2-x^2=15^2-(14-x{)}^2$.
2. Rezultă $169=29+28x$, deci $x=5$ și $A{D}^2=169-25=144$, adică $h_a=12$.
3. Aria este $S=\frac{14\cdot 12}{2}=84$. Atunci $h_b=\frac{2S}{CA}=\frac{168}{15}=\frac{56}{5}=11,2$ și $h_c=\frac{2S}{AB}=\frac{168}{13}$.
4. Mediana $AM$ împarte triunghiul în două triunghiuri de arie $42$ fiecare, iar $BM=7$.
5. Bisectoarea din $A$ taie $[BC]$ în $E$ cu $\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{13}{15}$ (teorema bisectoarei), deci $BE=\frac{13}{28}\cdot 14=6,5$ și $EC=7,5$.

Pe latura $[BC]$, piciorul înălțimii ($BD=5$), piciorul bisectoarei ($BE=6,5$) și mijlocul ($BM=7$) sunt trei puncte distincte, în această ordine de la $B$. Deci, într-un triunghi cu laturile $AB\ne AC$, înălțimea, bisectoarea și mediana din $A$ sunt trei drepte diferite.

Exemplu rezolvat. Triunghiul are vârfurile $A(0;0)$, $B(8;0)$ și $C(0;6)$. Unghiul din $A$ este drept. Aflăm punctul $P(x;y)$ egal depărtat de cele trei vârfuri, adică aflat pe mediatoarele laturilor.

1. Din $PA=PB$: $x^2+y^2=(x-8{)}^2+y^2$, deci $x=4$.
2. Din $PA=PC$: $x^2+y^2=x^2+(y-6{)}^2$, deci $y=3$. Obținem $P(4;3)$.
3. Mijlocul lui $[BC]$ este $M\left(\frac{8+0}{2};\frac{0+6}{2}\right)=(4;3)$, deci $P=M$. Ipotenuza are $BC=\sqrt{64+36}=10$, iar $AM=\sqrt{16+9}=5=\frac{BC}{2}$. Verificare: $PA=\sqrt{16+9}=5$, $PB=\sqrt{(4-8{)}^2+3^2}=5$ și $PC=\sqrt{4^2+(3-6{)}^2}=5$.

Greșeli frecvente

• Greșit: o mediană este obligatoriu perpendiculară pe latura opusă.
  Corect: ea ajunge la mijloc, fără cerință de perpendicularitate.
• Greșit: dacă bisectoarea pleacă dintr-un unghi de $60^{\circ }$, se presupune că împarte latura opusă în două segmente egale.
  Corect: ea împarte unghiul în două unghiuri de $30^{\circ }$; segmentele de pe latura opusă sunt egale dacă și numai dacă triunghiul este isoscel cu vârful în acel unghi.
• Greșit: mediatoarea pornește dintr-un vârf al triunghiului.
  Corect: este perpendiculara dusă prin mijlocul unei laturi.
• Greșit: într-un triunghi obtuzunghic toate înălțimile sunt în interiorul triunghiului.
  Corect: înălțimile din vârfurile unghiurilor ascuțite cad pe prelungirile laturilor opuse, în exterior.

Înainte și după