Aria trapezului

Notații: trapezul $ABCD$ are bazele $AB\parallel CD$, cu $AB=B$ (baza mare) și $CD=b$ (baza mică); $h$ este înălțimea, iar $m$ este linia mijlocie.

Elementele trapezului

Trapezul este un patrulater convex cu două laturi paralele, numite baze, și două laturi neparalele. Înălțimea este distanța dintre baze: un segment perpendicular pe ambele baze, cu capetele pe ele. Poți duce înălțimea din orice punct al bazei mici, iar lungimea ei este mereu aceeași.

De unde vine formula

Diagonala $AC$ împarte trapezul în două triunghiuri. Triunghiul $ABC$ are baza $AB$, iar triunghiul $ACD$ are baza $CD$. Amândouă au aceeași înălțime $h$, distanța dintre baze. Aduni ariile lor:

Exemplu rezolvat. Pentru bazele de $10$ cm și $6$ cm și înălțimea de $4$ cm, aria este $A=\frac{(10+6)\cdot 4}{2}=32$ cm².

Formula se poate citi și altfel: este aria unui dreptunghi care are înălțimea $h$ și lungimea egală cu media bazelor.

Trapezul dreptunghic

În trapezul dreptunghic, o latură neparalelă este perpendiculară pe baze. Ea este chiar înălțimea. Dacă $\angle A=90^{\circ }$, atunci $h=AD$.

Pentru cealaltă latură, $BC$, duci înălțimea $CE$, cu $E$ pe $AB$. Se formează dreptunghiul $AECD$, deci $AE=CD=b$ și $EB=B-b$. În triunghiul dreptunghic $CEB$ aplici teorema lui Pitagora: $B{C}^2=h^2+(B-b{)}^2$.

Trapezul isoscel

În trapezul isoscel, laturile neparalele sunt congruente. Duci înălțimile $DE$ și $CF$ din capetele bazei mici. Între ele se formează dreptunghiul $EFCD$, cu $EF=b$. Cele două triunghiuri dreptunghice de la margini sunt congruente, deci baza mare rămasă se împarte în mod egal:

Din triunghiul $AED$ afli înălțimea cu teorema lui Pitagora. Tot de aici afli și diagonala: în triunghiul dreptunghic $AFC$, cateta $AF$ are lungimea $B-\frac{B-b}{2}=\frac{B+b}{2}$.

Legătura cu linia mijlocie

Linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele și are lungimea $m=\frac{B+b}{2}$. Atunci $A=m\cdot h$. Dacă problema îți dă linia mijlocie, nu mai ai nevoie de fiecare bază în parte.

Problemele inverse

Uneori știi aria și trebuie să afli o bază sau înălțimea. Pornești de la $2A=(B+b)\cdot h$. Împarți la mărimea cunoscută și afli ce lipsește.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aplicarea directă a formulei

Un trapez are bazele de $12$ cm și $7$ cm, iar înălțimea de $6$ cm. Află aria.

1. Suma bazelor este $12+7=19$ cm.
2. $A=\frac{19\cdot 6}{2}=57$ cm².

Exemplul 2: trapezul dreptunghic

Trapezul dreptunghic $ABCD$ are $AB\parallel CD$, $\angle A=90^{\circ }$, $AB=15$ cm, $CD=9$ cm și $BC=10$ cm. Află înălțimea, aria și perimetrul.

1. Duci $CE\perp AB$, cu $E$ pe $AB$. Atunci $AE=9$ cm și $EB=15-9=6$ cm.
2. În triunghiul $CEB$: $CE=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ cm. Înălțimea este $8$ cm, deci și $AD=8$ cm.
3. $A=\frac{(15+9)\cdot 8}{2}=96$ cm².
4. $P=15+10+9+8=42$ cm.

Exemplul 3: trapezul isoscel și diagonala

Trapezul isoscel $ABCD$ are bazele $AB=14$ cm și $CD=4$ cm, iar laturile neparalele de $13$ cm. Află înălțimea, aria și diagonala $AC$.

1. Fiecare înălțime dusă din capetele bazei mici taie din baza mare $\frac{14-4}{2}=5$ cm.
2. $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ cm.
3. $A=\frac{(14+4)\cdot 12}{2}=108$ cm².
4. Fie $F$ piciorul înălțimii din $C$. Atunci $AF=14-5=9$ cm, iar $AC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$ cm.

Verificare: linia mijlocie este $\frac{14+4}{2}=9$ cm, iar $9\cdot 12=108$ cm².

Exemplul 4: o bază din arie

Un trapez are aria de $84$ cm², înălțimea de $7$ cm și baza mare de $15$ cm. Află baza mică și linia mijlocie.

1. Din $(B+b)\cdot 7=2\cdot 84=168$ rezultă $B+b=24$ cm.
2. Baza mică este $24-15=9$ cm.
3. Linia mijlocie este $\frac{24}{2}=12$ cm.

Exemplul 5: nivel de examen

Trapezul isoscel $ABCD$ are baza mare $AB=16$ cm, laturile neparalele $AD=BC=6$ cm și $\angle DAB=60^{\circ }$. Află baza mică, înălțimea, aria și perimetrul.

1. Duci $DE\perp AB$. În triunghiul dreptunghic $AED$, $\angle A=60^{\circ }$, deci $\angle ADE=30^{\circ }$.
2. Cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză: $AE=\frac{6}{2}=3$ cm. La fel, $FB=3$ cm.
3. Baza mică este $CD=EF=16-3-3=10$ cm.
4. $h=DE=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ cm.
5. $A=\frac{(16+10)\cdot 3\sqrt{3}}{2}=39\sqrt{3}$ cm².
6. $P=16+10+6+6=38$ cm.

Cum recunoști tipul: un unghi de $60^{\circ }$ la baza mare îți dă direct proiecția laturii, fără să știi baza mică. Apoi afli tot restul din ea.

Unde apare la examen

• Evaluarea Națională, clasa a VIII-a: la proba de matematică din iunie 2026, Subiectul al II-lea a avut 6 itemi de geometrie plană și în spațiu, cu câte patru variante de răspuns. La acești itemi, baremul punctează doar rezultatul: fie cinci puncte, fie zero puncte. În varianta 1, doi dintre itemi au cerut arii, una a unui triunghi și una a unui paralelogram; trapezul nu a apărut explicit în această variantă (subiectele și baremele EN 2026). Aria trapezului face parte din programa clasei a VII-a, iar programa de examen pentru 2026 a fost cea aprobată prin OM 4.730/2022 (art. 3 din OMEC 6.058/2025).
• Trapezele isoscele apar și la geometria în spațiu, de exemplu ca fețe laterale ale trunchiului de piramidă regulată, în capitolul despre corpuri geometrice.

Greșeli frecvente

• Greșit: aria trapezului este $(B+b)\cdot h$.
  Corect: produsul $(B+b)\cdot h$ este dublul ariei, deci se împarte la $2$; rezultatul se verifică cu linia mijlocie, pentru că $m\cdot h$ trebuie să dea același număr.
• Greșit: în locul înălțimii se folosește latura neparalelă.
  Corect: latura oblică este mai lungă decât înălțimea; numai la trapezul dreptunghic latura perpendiculară pe baze este înălțime.
• Greșit: la trapezul isoscel, proiecția unei laturi neparalele pe baza mare este $B-b$.
  Corect: diferența bazelor se împarte între cele două margini, deci fiecare proiecție are $\frac{B-b}{2}$.
• Greșit: la trapezul dreptunghic, proiecția laturii oblice este $\frac{B-b}{2}$.
  Corect: există o singură latură oblică, deci proiecția ei are toată diferența, $B-b$.
• Greșit: linia mijlocie este egală cu baza mică.
  Corect: linia mijlocie stă la jumătatea înălțimii și este mai lungă decât baza mică, pentru că $m=\frac{B+b}{2}$.
• Greșit: lungimile se folosesc în unități diferite sau aria se exprimă în unități de lungime.
  Corect: toate lungimile se scriu în aceeași unitate înainte de calcul, iar aria se exprimă în unități pătrate.

Înainte și după

Întrebări frecvente