Linia mijlocie în trapez și în triunghi, cu exemple

Pe scurt

În triunghiul $A B C$ , dacă $M$ este mijlocul lui $A B$ , iar $N$ este mijlocul lui $A C$ , atunci linia mijlocie $M N$ este paralelă cu $B C$ și $M N = B C /2$ . Dacă $B C = 10$ cm, atunci $M N = 5$ cm. Reciproca ajută când cunoști paralelismul: dreapta dusă prin mijlocul unei laturi, paralelă cu a doua latură, taie a treia latură la mijlocul ei. Verifici mereu care punct este cunoscut ca mijloc.

În trapez, linia mijlocie unește mijloacele laturilor neparalele. Este paralelă cu bazele și are lungimea $(B + b) /2$ , unde $B$ și $b$ sunt lungimile bazelor. Pentru baze de $14$ cm și $8$ cm, obții $(14 + 8) /2 = 11$ cm.

Exemplu rezolvat. Într-un trapez cu baze de $14$ cm și $8$ cm, unești mijloacele celor două diagonale.

Acest segment este paralel cu bazele.
Lungimea lui este semidiferența bazelor, nu semisuma: $(14 - 8) /2 = 3$ cm.
Compari cu linia mijlocie a trapezului, de $11$ cm; sunt segmente diferite, deși ambele folosesc mijloace.

O schiță cu diagonalele și laturile neparalele te ajută să nu le încurci.

Pentru linia mijlocie a unui triunghi cu a treia latură de $18$ cm, întâi identifici mijloacele celorlalte două laturi, apoi aplici jumătatea: $18/2 = 9$ cm. Dacă segmentul dintre mijloace are $9$ cm, latura paralelă cu el are $18$ cm. Aceste două calcule inverse se verifică unul pe altul.

Cele trei linii mijlocii ale unui triunghi formează triunghiul median, ale cărui laturi sunt jumătățile laturilor triunghiului dat; perimetrul lui este jumătate din perimetrul triunghiului inițial. Pentru un triunghi cu laturile de $10$ cm, $14$ cm și $16$ cm, perimetrul este $40$ cm, iar triunghiul median are laturile $5$ , $7$ și $8$ cm și perimetrul $20$ cm.

Exemplu rezolvat. Un trapez are bazele $B$ și $b$ , iar linia lui mijlocie are lungimea $12$ cm. Baza mare este cu $4$ cm mai lungă decât baza mică. Află bazele.

Linia mijlocie este $\frac{B + b}{2} = 12$ , deci $B + b = 24$ .
Din $B - b = 4$ și $B + b = 24$ rezultă, prin adunare, $2 B = 28$ , deci $B = 14$ cm.
Atunci $b = 24 - 14 = 10$ cm.

Verificare: $\frac{14 + 10}{2} = 12$ cm și $14 - 10 = 4$ cm.

Ce	Proprietatea
Linia mijlocie în triunghi ( $M$ , $N$ mijloacele lui $A B$ și $A C$ )	$M N ∥ B C$ și $M N = \frac{B C}{2}$
Triunghiul format de cele trei linii mijlocii	perimetrul lui este jumătate, iar aria un sfert din cele ale triunghiului inițial
Linia mijlocie în trapez ( $A B ∥ C D$ , $M$ , $N$ mijloacele lui $A D$ și $B C$ )	$M N ∥ A B$ și $M N = \frac{B + b}{2}$
Segmentul dintre mijloacele diagonalelor trapezului	$P Q = \frac{B - b}{2}$
Diagonalele împart linia mijlocie în segmentele	$\frac{b}{2}$ , $\frac{B - b}{2}$ , $\frac{b}{2}$
Aria trapezului	$A = M N \cdot h$

Desen la lecția „Linia mijlocie în triunghi și în trapez”

Greșeli frecvente

Greșit: linia mijlocie a triunghiului este egală cu a treia latură.
Corect: are jumătate din lungimea acelei laturi.
Greșit: linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu oricare latură.
Corect: este paralelă numai cu latura a treia, cea care nu conține mijloacele pe care le unește.
Greșit: segmentul dintre mijloacele diagonalelor trapezului are lungimea $(B + b) /2$ .
Corect: acesta are $(B - b) /2$ ; semisuma aparține liniei mijlocii a trapezului.

pentru adulți

Pentru părinți

Desenați un triunghi, marcați mijlocul unei laturi și trasați prin el o paralelă la a doua latură; copilul măsoară unde taie a treia latură. Desenați apoi un trapez cu bazele de $14$ cm și $8$ cm și calculați separat linia mijlocie și segmentul dintre mijloacele diagonalelor. Întrebați: „Care dintre cele două segmente are $11$ cm?”

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnainteRelații metrice în triunghiul dreptunghicProiecții ortogonale pe o dreaptă, teorema înălțimii și teorema catetei; aplicații în calculul distanțelor.DupăTeoremele lui Menelaus și CevaColiniaritate și concurență în triunghi: enunțuri, reciproce și aplicații.CapitolulGeometrie planăToate lecțiile capitolului „Geometrie plană”.

Întrebări frecvente

Cât este linia mijlocie într-un trapez?

Linia mijlocie a trapezului este semisuma bazelor: (B + b) / 2. De exemplu, pentru bazele de 16 cm și 10 cm, linia mijlocie are 13 cm.

Care este diferența dintre linia mijlocie și mediana unui triunghi?

Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Un triunghi are trei linii mijlocii și trei mediane.

Cât este segmentul dintre mijloacele diagonalelor unui trapez?

Este semidiferența bazelor, (B − b) / 2. Segmentul stă pe linia mijlocie, între punctele în care diagonalele o taie.

Surse și referințe

Redactare proprie, conform programei:

OMEN nr. 3393/28.02.2017, anexa 2, p. PDF 23, 24; rocnee.eu
OME 4730/2022, programa de examen EN VIII, confirmată pentru EN 2026 de OMEC 6058/2025 art. 3; edu.ro ; pentru conținutul detaliat, anexa 11 la OMEC 3472/2020, p. PDF 66–77: edu.ro

Documente consultate

Programa școlară de matematică, clasele V–VIII (OMEN 3393/2017, anexa 2), p. PDF 23–24; rocnee.eu

Desene: Redactare proprie (desen original)

Linia mijlocie în triunghi și în trapez