Aria paralelogramului

Ce înseamnă aria

Aria spune câte pătrățele-unitate acoperă o figură. Un dreptunghi de $5$ cm pe $3$ cm se împarte în $3$ rânduri a câte $5$ pătrățele de $1$ cm², deci are $15$ cm². De aici vine formula $A=L\cdot l$. Pătratul este un dreptunghi cu laturile egale, deci $A=l^2$.

Unitățile de arie

Unitatea principală este metrul pătrat, adică aria unui pătrat cu latura de $1$ m. Pentru că $1$ m $=10$ dm, un metru pătrat conține $10\cdot 10=100$ de decimetri pătrați. Așa se explică regula: la unitățile de arie, treptele sunt de $100$, nu de $10$.

Pentru terenuri se folosesc arul ($1$ ar $=100$ m²) și hectarul ($1$ ha $=100$ ari $=10000$ m²). Înainte să calculezi o arie, scrie toate lungimile în aceeași unitate.

Paralelogramul: bază și înălțime

Paralelogramul are laturile opuse paralele și egale. Înălțimea este distanța dintre două laturi opuse, măsurată pe o perpendiculară.

Dacă tai triunghiul de la un capăt al paralelogramului și îl muți la celălalt capăt, obții un dreptunghi. Acesta are aceeași bază și aceeași înălțime ca paralelogramul. De aceea

Exemplu rezolvat. Un paralelogram are baza de $7$ cm și înălțimea pe această bază de $4$ cm. Aria este $A=7\cdot 4=28$ cm².

Paralelogramul are două înălțimi, câte una pentru fiecare pereche de laturi paralele. Aria iese aceeași cu oricare pereche: $AB\cdot h_{AB}=AD\cdot h_{AD}$. Din egalitatea aceasta afli o înălțime când o știi pe cealaltă.

Diagonala împarte paralelogramul în două

O diagonală împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente. Fiecare are aria egală cu jumătate din aria paralelogramului. Legătura funcționează în ambele sensuri: aria triunghiului se obține din aria paralelogramului, iar aria paralelogramului este dublul ariei unui triunghi format de două laturi și o diagonală.

Un caz particular apare des: dacă diagonala $BD$ este perpendiculară pe latura $AD$, atunci $BD$ este chiar înălțimea pe $AD$ și $A=AD\cdot BD$.

Rombul

Rombul are toate laturile egale, iar diagonalele lui sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Diagonalele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente. Fiecare are catetele $\frac{d_1}{2}$ și $\frac{d_2}{2}$. Adunând ariile lor obții

Tot din aceste triunghiuri afli latura cu teorema lui Pitagora: $l^2={\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$.

Pătratul, prin diagonală

Pătratul este și romb, cu diagonalele egale. Formula rombului dă $A=\frac{d\cdot d}{2}=\frac{d^2}{2}$. E utilă când știi numai diagonala.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: dreptunghi și pătrat

a) Un dreptunghi are lungimea de $12$ cm și lățimea de $5$ cm. Aria este $12\cdot 5=60$ cm².

b) Un pătrat are perimetrul de $28$ cm. Latura este $28:4=7$ cm, deci aria este $7^2=49$ cm².

Exemplul 2: transformarea unităților

O grădină dreptunghiulară are $80$ m pe $45$ m. Află aria în metri pătrați, în ari și în hectare.

1. $A=80\cdot 45=3600$ m².
2. $1$ ar $=100$ m², deci $3600$ m² $=36$ de ari.
3. $1$ ha $=10000$ m², deci $3600$ m² $=0,36$ ha.

Exemplul 3: paralelogramul și cele două înălțimi

Paralelogramul $ABCD$ are $AB=14$ cm, $AD=10$ cm, iar înălțimea dusă pe $AB$ este de $6$ cm. Află aria și înălțimea dusă pe $AD$.

1. $A=AB\cdot h_{AB}=14\cdot 6=84$ cm².
2. $h_{AD}=\frac{A}{AD}=\frac{84}{10}=8,4$ cm.

Observație: înălțimea pe latura mai scurtă este mai lungă, pentru că produsul trebuie să rămână $84$.

Exemplul 4: rombul

Un romb are diagonalele de $16$ cm și $12$ cm. Află aria, latura și înălțimea.

1. $A=\frac{16\cdot 12}{2}=96$ cm².
2. Semidiagonalele au $8$ cm și $6$ cm, deci $l=\sqrt{64+36}=10$ cm.
3. Rombul este paralelogram, deci $A=l\cdot h$ și $h=\frac{96}{10}=9,6$ cm.

Exemplul 5: nivel de examen

În paralelogramul $ABCD$, $AB=10$ cm, $AD=6$ cm și $\angle DAB=30^{\circ }$. Află aria paralelogramului și înălțimea dusă pe latura $AD$.

1. Duci $DE\perp AB$, cu $E$ pe $AB$. Triunghiul $AED$ are unghiul drept în $E$ și $\angle A=30^{\circ }$.
2. Cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză, deci $DE=\frac{AD}{2}=3$ cm.
3. $A=AB\cdot DE=10\cdot 3=30$ cm².
4. Înălțimea pe $AD$: $h_{AD}=\frac{30}{6}=5$ cm.

Verificare: aria triunghiului $ABD$ este $\frac{AB\cdot DE}{2}=\frac{10\cdot 3}{2}=15$ cm², adică jumătate din aria paralelogramului.

Cum recunoști tipul: un unghi de $30^{\circ }$ într-un paralelogram îți dă înălțimea direct, din cateta opusă acestui unghi, fără teorema lui Pitagora.

Unde apare la examen

• Evaluarea Națională, clasa a VIII-a: proba de matematică din 2026 a avut un Subiect al II-lea cu 6 itemi de geometrie plană și în spațiu, cu alegere multiplă. În varianta 1, unul dintre acești itemi a cerut aria unui paralelogram (subiectele și baremele EN 2026). Ariile dreptunghiului și ale pătratului intră și în ariile laterale și totale ale corpurilor, la geometria în spațiu.

Greșeli frecvente

• Greșit: aria unui paralelogram oarecare este produsul a două laturi vecine, $AB\cdot AD$.
  Corect: $AB\cdot AD$ este aria numai la dreptunghi; la paralelogramul oarecare latura oblică este mai lungă decât înălțimea, deci aria este latura înmulțită cu înălțimea corespunzătoare.
• Greșit: o latură se înmulțește cu înălțimea dusă pe altă latură.
  Corect: înălțimea pe $AB$ se înmulțește cu $AB$, nu cu $AD$.
• Greșit: aria rombului este $d_1\cdot d_2$.
  Corect: $d_1\cdot d_2$ este aria dreptunghiului în care se încadrează rombul, de două ori mai mare; aria rombului este $\frac{d_1\cdot d_2}{2}$.
• Greșit: $1$ m² are $100$ cm², pentru că unitățile de arie se transformă ca cele de lungime.
  Corect: $1$ m² are $10000$ cm²; treptele unităților de arie sunt de $100$.
• Greșit: se înmulțește o lungime în metri cu una în centimetri.
  Corect: lungimile se aduc la aceeași unitate înainte de înmulțire.

Înainte și după

Întrebări frecvente