Construcții geometrice

O construcție geometrică este un desen făcut cu instrumente, după reguli precise, astfel încât proprietățile cerute să fie adevărate, nu doar să pară adevărate. Cu rigla trasezi drepte și segmente. Cu compasul trasezi cercuri și arce, păstrând aceeași deschidere pentru lungimi egale. Cu echerul și cu raportorul construiești sau măsori unghiuri.

Mediatoarea unui segment $AB$ se construiește astfel:

1. Cu centrul în $A$ și cu o deschidere a compasului mai mare decât jumătate din $AB$, tragi un arc de cerc.
2. Cu aceeași deschidere și cu centrul în $B$, tragi un al doilea arc, care taie primul în punctele $M$ și $N$.
3. Unești $M$ cu $N$. Dreapta $MN$ trece prin mijlocul lui $AB$ și este perpendiculară pe $AB$.

Construcția este corectă, deoarece $MA=MB=NA=NB$, deci $AMBN$ este romb, iar diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc.

Bisectoarea unghiului $xOy$ se construiește astfel:

1. Cu centrul în $O$, tragi un arc care taie laturile unghiului în $P$ și $Q$.
2. Cu centrul în $P$, apoi în $Q$, și cu aceeași deschidere (mai mare decât jumătate din $PQ$), tragi două arce care se taie într-un punct $R$ din interiorul unghiului.
3. Semidreapta $OR$ este bisectoarea, pentru că triunghiurile $OPR$ și $OQR$ sunt congruente (LLL), deci unghiurile $POR$ și $QOR$ sunt congruente.

Cu aceleași instrumente se construiesc perpendiculara într-un punct al unei drepte, paralela printr-un punct exterior, simetricul unei figuri față de o dreaptă, un unghi congruent cu unul dat, tangenta într-un punct al cercului (perpendiculara pe rază) și hexagonul regulat înscris într-un cerc. La o problemă de construcție, desenează mai întâi o schiță și marchează datele. Un desen făcut „din ochi” nu dovedește egalitatea a două lungimi.

Exemplu rezolvat. Construiește triunghiul $ABC$ cu $AB=5$ cm, $AC=6$ cm și $BC=7$ cm.

1. Trasezi segmentul $BC=7$ cm.
2. Cu centrul în $B$ tragi un arc de rază $5$ cm, iar cu centrul în $C$ un arc de rază $6$ cm.
3. Arcele se taie în $A$; unești $A$ cu $B$ și cu $C$.

Construcția reușește fiindcă fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două: $7<5+6$.

O construcție de liceu are patru etape: analiza (presupui problema rezolvată și cauți legăturile dintre elemente), construcția, demonstrația (arăți că figura obținută are proprietățile cerute) și discuția (condițiile de existență și numărul soluțiilor).

Discuția pornește de la intersecția cercurilor. Cercurile de raze $R\ge r$ și cu distanța dintre centre $d$ nu au niciun punct comun dacă $d>R+r$ sau $d<R-r$, au exact unul dacă $d=R+r$ sau $d=R-r$ și au două puncte comune dacă $R-r<d<R+r$. Triunghiul cu laturile $a$, $b$ și $c$ se construiește numai dacă fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.

Tangentele dintr-un punct exterior $P$ la cercul $\mathcal{C}(O,r)$ se construiesc cu ajutorul unghiului înscris într-un semicerc: se construiește mijlocul $M$ al lui $OP$, apoi cercul de centru $M$ și rază $MO$. Acesta taie cercul dat în $A$ și $B$. Unghiul $OAP$ este înscris într-un semicerc, deci are $90^{\circ }$, iar $PA$ este tangentă. Construcția are două soluții dacă $OP>r$, una dacă $OP=r$ și niciuna dacă $OP<r$.

Dintr-un poligon regulat înscris în cerc se obține cel cu număr dublu de laturi, prin mediatoarele laturilor. Un segment se împarte în $n$ părți egale prin teorema lui Thales: pe o semidreaptă auxiliară cu originea într-un capăt se marchează $n$ segmente congruente, ultimul punct se unește cu celălalt capăt, iar paralelele la această dreaptă prin punctele marcate taie segmentul în $n$ părți egale.

Segmentul de lungime $\sqrt{ab}$ se construiește pe un diametru $AC=a+b$, cu $B$ între $A$ și $C$, $AB=a$ și $BC=b$: perpendiculara în $B$ pe diametru taie semicercul în $D$, iar teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic $ADC$ dă $B{D}^2=a\cdot b$.

Exemplul 1. Pot construi un triunghi cu laturile $2$, $3$ și $6$ cm?

1. Suma laturilor mai mici este $2+3=5$ cm.
2. Cum $5<6$, cercurile cu razele $2$ cm și $3$ cm, cu centrele la capetele laturii de $6$ cm, nu se intersectează.
3. Triunghiul nu există.

Exemplul 2. Două cercuri au razele $7$ cm și $3$ cm. Câte puncte comune au pentru $d=3$, $4$, $8$, $10$ și $11$ cm?

1. Aici $R-r=4$ cm și $R+r=10$ cm.
2. Pentru $d=3$ avem $d<4$, deci niciun punct comun; pentru $d=4$ și $d=10$ cercurile sunt tangente, deci un singur punct.
3. Pentru $d=8$ avem $4<8<10$, deci două puncte; pentru $d=11$ avem $d>10$, deci niciun punct.

Exemplul 3. Din punctul $P$, aflat la $13$ cm de centrul unui cerc cu raza de $5$ cm, se construiesc tangentele.

1. Se construiește mijlocul $M$ al lui $OP$, la $6,5$ cm de $O$ și de $P$.
2. Cercul de centru $M$ și rază $6,5$ cm taie cercul dat în $A$ și $B$.
3. Triunghiul $OAP$ este dreptunghic în $A$, deci $PA=\sqrt{13^2-5^2}=12$ cm; la fel, $PB=12$ cm.

Greșeli frecvente

• Greșit: un desen aproximativ dovedește perpendicularitatea.
  Corect: se folosește o construcție sau verificare geometrică precisă.
• Greșit: compasul își poate schimba deschiderea când se copiază o lungime.
  Corect: se păstrează aceeași deschidere.
• Greșit: orice trei lungimi pozitive formează triunghi.
  Corect: fiecare latură trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două.
• Greșit: la mediatoarea unui segment de $6$ cm se poate folosi o deschidere a compasului de $2$ cm.
  Corect: deschiderea trebuie să fie mai mare decât jumătatea segmentului, deci mai mare de $3$ cm; altfel arcele nu se taie.
• Greșit: dintr-un punct exterior unui cerc se poate construi o singură tangentă.
  Corect: se pot construi două, de aceeași lungime.

Înainte și după