Arii și volume

Aria arată cât acoperă o suprafață. Dacă o față a unei cutii are $3$ pătrățele pe lungime și $2$ pe lățime, acoperă $3\cdot 2=6$ pătrățele. Dacă fiecare pătrățel are latura de $1$ cm, aria feței este $6$ cm${}^2$. Ca să afli aria tuturor fețelor unei cutii, calculezi aria fiecăreia și le aduni.

Volumul arată cât loc ocupă corpul. Îți poți imagina o cutie umplută cu cubulețe egale, fără goluri. Dacă încap $3$ cubulețe pe lungime, $2$ pe lățime și $2$ pe înălțime, încap $3\cdot 2\cdot 2=12$ cubulețe. Când latura unui cubuleț este $1$ cm, volumul este $12$ cm${}^3$.

Unitățile îți spun ce ai măsurat: cm pentru lungime, cm${}^2$ pentru arie, cm${}^3$ pentru volum. Nu le aduna între ele. În clasele mai mari vei calcula și ariile laterale sau totale ale prismelor și piramidelor, precum și volumele corpurilor rotunde. Începe însă cu imaginea cutiei și a cubulețelor; ea explică de ce la volum înmulțești trei dimensiuni.

Pentru un dreptunghi cu lungimea $L$ și lățimea $l$, aria este $L\cdot l$, iar pentru un pătrat cu latura $a$ aria este $a\cdot a$. Aria unei cutii se află adunând ariile celor șase fețe: la o cutie cu dimensiunile $4$, $2$ și $3$ cm, două fețe de $4\cdot 2$, două de $4\cdot 3$ și două de $2\cdot 3$ dau $16+24+12=52$ cm${}^2$. Perimetrul și aria sunt mărimi diferite: perimetrul se măsoară în cm și arată lungimea conturului, iar aria se măsoară în cm${}^2$.

Exemplu rezolvat. O cutie are lungimea $4$ cm, lățimea $2$ cm și înălțimea $3$ cm.

1. Pe baza ei încap $4\cdot 2=8$ cubulețe unitate.
2. Sunt $3$ straturi.
3. Volumul este $8\cdot 3=24$ cm${}^3$.

Pentru o prismă dreaptă, $V=A_{b}h$ și $A_l=P_{b}h$, unde $A_b$ și $P_b$ sunt aria și perimetrul bazei; aria totală este $A_t=A_l+2A_b$. Pentru o piramidă, $V=A_{b}h/3$. Pentru cilindru, $V=\pi r^{2}h$, $A_l=2\pi rh$; pentru con, $V=\pi r^{2}h/3$, $A_l=\pi rg$, cu generatoarea $g$; pentru sferă, $A=4\pi r^2$ și volumul bilei este $V=4\pi r^3/3$.

Exemplu rezolvat. Un cilindru are $r=2$ cm, $h=5$ cm.

1. Aria bazei este $\pi r^2=4\pi$ cm${}^2$.
2. Volumul este $V=4\pi \cdot 5=20\pi$ cm${}^3$.
3. Aria laterală este $2\pi rh=20\pi$ cm${}^2$.

În formulele corpurilor de rotație, generatoarea conului drept se află din triunghiul dreptunghic al secțiunii axiale: $g=\sqrt{r^2+h^2}$. Aria totală a conului este $A_t=\pi rg+\pi r^2$, fiind suma ariei laterale și a bazei. Exemplu rezolvat. Pentru un con cu $r=3$ cm și $h=4$ cm, calculăm $g=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. Aria laterală este $15\pi$ cm${}^2$, aria bazei $9\pi$ cm${}^2$, deci aria totală $24\pi$ cm${}^2$. Volumul este $\pi \cdot 3^2\cdot 4/3=12\pi$ cm${}^3$; unitatea cubică arată că nu l-am confundat cu aria.

Aria totală a unei prisme drepte se obține prin descompunere: aria laterală $A_l=P_{b}h$ este aria unui dreptunghi lung, obținut prin desfășurarea fețelor laterale, la care se adaugă ariile celor două baze. Pentru o prismă cu baza un triunghi dreptunghic cu catetele $3$ cm și $4$ cm (ipotenuza $5$ cm) și înălțimea $10$ cm, perimetrul bazei este $12$ cm, aria laterală $120$ cm${}^2$, aria bazei $6$ cm${}^2$, deci aria totală $120+12=132$ cm${}^2$, iar volumul $6\cdot 10=60$ cm${}^3$. Verifică mereu că toate dimensiunile sunt în aceeași unitate înainte de calcul și scrie unitatea la răspuns. Dacă toate lungimile unui corp se înmulțesc cu $k$, aria se înmulțește cu $k^2$, iar volumul cu $k^3$. Un cub cu muchia $2$ cm are aria $6\cdot 4=24$ cm${}^2$ și volumul $8$ cm${}^3$; dacă muchia se dublează, la $4$ cm, aria devine $96$ cm${}^2$ (de $4$ ori mai mare), iar volumul $64$ cm${}^3$ (de $8$ ori mai mare). Relațiile dintre unități sunt $1{\mathrm{m}}^3=1000{\mathrm{dm}}^3$ și $1{\mathrm{dm}}^3=1\mathrm{l}$, deci un volum în decimetri cubi se citește direct în litri.

Exemplu rezolvat. Un rezervor în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea $2$ m, lățimea $1,5$ m și înălțimea $1$ m. Câți litri de apă încap în el și câtă tablă este necesară pentru pereții laterali și fund, dacă este deschis deasupra?

1. Volumul este $2\cdot 1,5\cdot 1=3$ m${}^3$ $=3000$ dm${}^3$ $=3000$ l.
2. Fundul are aria $2\cdot 1,5=3$ m${}^2$.
3. Pereții laterali: două fețe de $2\cdot 1=2$ m${}^2$ și două fețe de $1,5\cdot 1=1,5$ m${}^2$, adică $2\cdot 2+2\cdot 1,5=7$ m${}^2$.
4. Tabla necesară are aria $3+7=10$ m${}^2$.

Răspuns: $3000$ l de apă și $10$ m${}^2$ de tablă.

Arii și volume intuitive de tipărit

Două fișe despre arii și volume intuitive, potrivite pentru exersare după lecție. Fiecare are șase sarcini și cheia pe ultima pagină.

• 

  Arii pe pătrățele și cubulețe

  Deschide fișa
• 

  Cubulețe în straturi

  Deschide fișa

Greșeli frecvente

• Greșit: dacă muchia unui cub se dublează, volumul se dublează.
  Corect: se înmulțește cu $2^3=8$, iar aria cu $2^2=4$.
• Greșit: volumul se măsoară în cm${}^2$.
  Corect: se măsoară în unități cubice, precum cm${}^3$.
• Greșit: aria totală a prismei este doar aria laterală.
  Corect: se adaugă și cele două baze.
• Greșit: formula volumului piramidei este identică cu a prismei de aceeași bază și înălțime.
  Corect: volumul piramidei este o treime.

Înainte și după

Întrebări frecvente