Gruparea rezistoarelor

Pentru două rezistoare, în serie $R_s=R_1+R_2$, iar în paralel $1/R_p=1/R_1+1/R_2$. Două rezistoare pot fi legate pe același traseu sau pe trasee separate. Dacă sunt în serie, curentul trece pe rând prin amândouă. Rezistența echivalentă este mai mare decât fiecare rezistență separat: obstacolele se adaugă pe același drum. Tensiunea totală între capetele grupării este suma tensiunilor pe fiecare rezistor.

Dacă rezistoarele sunt în paralel, ambele capete ale primului sunt legate la aceleași două noduri ca ambele capete ale celui de-al doilea. Curentul are două căi și se împarte între ele. Tensiunea este aceeași pe fiecare ramură, iar intensitatea totală este suma intensităților din ramuri. Rezistența echivalentă este mai mică decât cea mai mică rezistență a ramurilor.

Exemplu rezolvat. Rezistoarele $R_1=2\Omega$ și $R_2=3\Omega$ se leagă mai întâi în serie, apoi în paralel. Apoi două rezistoare de $12\Omega$ și $6\Omega$ în paralel se leagă la o sursă de $12\mathrm{V}$.

1. În serie: $R_s=2+3=5\Omega$.
2. În paralel: $R_p=(2\cdot 3)/(2+3)=1,2\Omega$, mai mică decât $2\Omega$.
3. Pentru gruparea paralel de $12\Omega$ și $6\Omega$: $R_p=12\cdot 6/(12+6)=4\Omega$, iar curentul total este $I=12/4=3\mathrm{A}$.
4. Prin ramuri trec $I_1=12/12=1\mathrm{A}$ și $I_2=12/6=2\mathrm{A}$, a căror sumă este $3\mathrm{A}$, ca la calculul cu rezistența echivalentă.

Nu confunda faptul că două rezistoare sunt desenate „unul sub altul” cu legarea în paralel. Contează nodurile, nu așezarea pe foaie. Un fir ideal poate fi redesenat fără să schimbi circuitul. Marchează cu aceeași culoare toate punctele unite prin fir ideal; dacă rezistoarele au aceleași două culori la capete, sunt în paralel.

Într-o instalație de locuință, aparatele sunt alimentate pe ramuri paralele, astfel încât oprirea unuia să nu întrerupă alimentarea celorlalte. Fiecare aparat nou conectat adaugă o ramură nouă, scade rezistența echivalentă și mărește curentul total, de aceea prea multe aparate pe aceeași priză pot încălzi firele. Schema reală include protecții și nu este un proiect de construit acasă. Pentru exerciții, folosește baterii mici și rezistoare potrivite, nu rețeaua electrică.

Pentru rezistoare în serie, $R_s={\sum }_i{R}_i$, $I_i=I$ și $U={\sum }_i{U}_i$. Pentru paralel, $1/R_p={\sum }_{i}1/R_i$, $U_i=U$ și $I={\sum }_i{I}_i$. Două rezistoare în paralel au $R_p=R_1{R}_2/(R_1+R_2)$. Pentru $n$ rezistoare identice de rezistență $R$, în serie $R_s=nR$, iar în paralel $R_p=R/n$. Notăm rezistența echivalentă a oricărei grupări cu $R_e$. Într-o rețea mixtă reducem întâi grupările interioare, apoi revenim la fiecare ramură pentru curent și tensiune. Rezistoarele în serie au tensiuni proporționale cu rezistențele lor, $U_i=U{R}_i/\sum R_j$ (divizor de tensiune), iar rezistoarele în paralel au curenți invers proporționali cu rezistențele (divizor de curent).

Formulele se deduc din legea lui Ohm. În serie, prin ambele rezistoare trece același curent, iar tensiunile se adună: $U=U_1+U_2=I(R_1+R_2)$, deci rezistența echivalentă, definită prin $U=I{R}_e$, este suma. În paralel, tensiunea este aceeași, iar curenții se adună: $I=I_1+I_2=U(1/R_1+1/R_2)$, de unde $1/R_e=1/R_1+1/R_2$. Rezistența echivalentă înlocuiește gruparea fără să schimbe curentul total și tensiunea la capetele ei.

Cazuri particulare utile: un rezistor al cărui capete sunt unite printr-un fir ideal este scurtcircuitat, nu are tensiune la borne, nu este parcurs de curent și se elimină din schemă. O ramură întreruptă nu conduce, deci nu intră în calcul. La rezistoare în paralel, dacă una dintre rezistențe este mult mai mică decât celelalte, rezistența echivalentă este practic egală cu ea. Când o ramură nouă se adaugă în paralel, rezistența echivalentă scade, iar curentul total furnizat de sursă crește. Explicația intuitivă este că fiecare ramură nouă oferă curentului o cale în plus, pe când în serie fiecare rezistor adăugat îngreunează singurul drum existent; de aceea, în serie rezistența echivalentă este mai mare decât oricare dintre rezistențe, iar în paralel este mai mică decât oricare dintre ele.

Exemplu rezolvat 1 — grupare mixtă. Un rezistor de $4\Omega$ este în serie cu rezistoarele de $6\Omega$ și $3\Omega$ conectate în paralel; tensiunea totală este $12\mathrm{V}$.

1. Calculăm $R_p=6\cdot 3/(6+3)=2\Omega$.
2. Rezistența echivalentă este $R_e=4+2=6\Omega$.
3. Curentul prin porțiunea serie este $I=12/6=2\mathrm{A}$, iar căderea de tensiune pe $4\Omega$ este $8\mathrm{V}$.
4. Gruparea paralelă primește $4\mathrm{V}$; curenții sunt $I_1=4/6\approx 0,67\mathrm{A}$ și $I_2=4/3\approx 1,33\mathrm{A}$.

Suma lor este $2\mathrm{A}$, în acord cu legea nodurilor.

Exemplu rezolvat 2 — trei rezistoare în paralel. Rezistoarele de $10\Omega$, $15\Omega$ și $30\Omega$ sunt legate în paralel la $15\mathrm{V}$.

1. Inversul rezistenței echivalente este $1/R_p=1/10+1/15+1/30=6/30=1/5$.
2. Rezultă $R_p=5\Omega$, mai mică decât cea mai mică dintre rezistențe.
3. Curentul total este $I=15/5=3\mathrm{A}$, iar prin ramuri trec $1,5\mathrm{A}$, $1,0\mathrm{A}$ și $0,5\mathrm{A}$; ramura cu rezistența cea mai mică preia curentul cel mai mare.

Exemplu rezolvat 3 — divizor de tensiune. Rezistoarele de $100\Omega$ și $200\Omega$ sunt legate în serie la $12\mathrm{V}$.

1. Rezistența totală este $300\Omega$, iar curentul este $I=12/300=0,040\mathrm{A}$.
2. Tensiunile sunt $U_1=0,040\cdot 100=4,0\mathrm{V}$ și $U_2=0,040\cdot 200=8,0\mathrm{V}$.
3. Rezistorul cu rezistența mai mare preia tensiunea mai mare, iar suma tensiunilor este $12\mathrm{V}$. Se verifică ușor că raportul tensiunilor, $4,0:8,0$, este egal cu raportul rezistențelor, $100:200$.

Gruparea în serie (clasa a VIII-a)

Rezistoarele legate unul după altul, fără ramificații între ele, sunt în serie. Prin toate trece același curent, iar tensiunea totală se împarte între ele proporțional cu rezistențele: $U=U_1+U_2+\dots$. Din legea lui Ohm, $I{R}_s=I{R}_1+I{R}_2+\dots$, deci rezistențele se adună. Rezistența echivalentă este mai mare decât fiecare rezistență din grupare.

Gruparea în paralel

Rezistoarele legate între aceleași două noduri sunt în paralel. Toate au aceeași tensiune la borne, iar curentul total se împarte între ele invers proporțional cu rezistențele (prin rezistorul mai mic trece curentul mai mare). Din prima lege a lui Kirchhoff, $I=I_1+I_2+\dots$, deci se adună inversele rezistențelor. Rezistența echivalentă este mai mică decât cea mai mică rezistență din grupare.

Gruparea mixtă

O grupare mixtă se rezolvă din interior spre exterior: înlocuiești fiecare porțiune simplă (serie sau paralel) cu rezistența ei echivalentă și reiei, până rămâne un singur rezistor. Apoi te întorci pe același drum ca să afli curenții și tensiunile din fiecare ramură.

Gruparea generatoarelor (clasa a X-a)

Pentru generatoare identice, gruparea în serie mărește t.e.m., dar și rezistența internă; gruparea în paralel păstrează t.e.m. și micșorează rezistența internă. Gruparea în serie este avantajoasă când rezistența exterioară este mare față de cea internă, iar gruparea în paralel când rezistența exterioară este mică. În gimnaziu, gruparea generatoarelor identice se studiază experimental.

Divizorul de tensiune

Două rezistoare în serie, legate la tensiunea $U$, împart tensiunea proporțional cu rezistențele: pe $R_2$ cade $U\frac{R_2}{R_1+R_2}$. Dacă la bornele lui $R_2$ se leagă un consumator sau un voltmetru, acesta e în paralel cu $R_2$ și schimbă tensiunea (exemplul 5).

Înainte și după

• Înainte: legea lui Ohm și rezistența electrică.
• După: legile lui Kirchhoff, pentru rețelele care nu se reduc la grupări serie și paralel; energia și puterea electrică a consumatorilor grupați.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: serie și paralel (clasa a VIII-a)

Ai un rezistor de $8\Omega$ și unul de $24\Omega$. Ce rezistență obții dacă îi legi unul după altul și ce rezistență obții dacă îi legi între aceleași două puncte?

1. Serie: $R_s=8+24=32\Omega$.
2. Paralel: $R_p=\frac{8\cdot 24}{8+24}=\frac{192}{32}=6\Omega$, mai mică decât $8\Omega$.

Exemplul 2: o grupare mixtă

Rezistorul $R_1=5\Omega$ este legat în serie cu o grupare paralel formată din $R_2=4\Omega$ și $R_3=12\Omega$. Ansamblul este legat la o sursă ideală de $16\text{V}$. Află curenții prin fiecare rezistor.

1. Gruparea paralel: $R_{23}=\frac{4\cdot 12}{16}=3\Omega$; rezistența totală $R=5+3=8\Omega$.
2. Curentul total, prin $R_1$: $I=\frac{16}{8}=2\text{A}$.
3. Tensiunea pe gruparea paralel: $U_{23}=I{R}_{23}=6\text{V}$.
4. $I_2=\frac{6}{4}=1,5\text{A}$, $I_3=\frac{6}{12}=0,5\text{A}$.

Verificare: $I_2+I_3=2\text{A}=I$, iar $U_1+U_{23}=10+6=16\text{V}$.

Exemplul 3: becuri identice în paralel

Mai multe becuri identice sunt legate în paralel la o sursă ideală de $12\text{V}$. Prin fiecare bec trece $0,5\text{A}$, iar curentul total dat de sursă este $3\text{A}$. Câte becuri sunt, ce rezistență are fiecare și ce rezistență are gruparea?

1. În paralel, curentul total este suma curenților: $n=\frac{3}{0,5}=6$ becuri.
2. Fiecare bec are tensiunea $12\text{V}$: $R=\frac{12}{0,5}=24\Omega$.
3. Gruparea: $R_p=\frac{R}{n}=\frac{24}{6}=4\Omega$.

Verificare: $\frac{U}{I}=\frac{12}{3}=4\Omega$.

Exemplul 4: acumulatoare în serie și în paralel

Cinci acumulatoare identice, fiecare cu $E=1,2\text{V}$ și $r=0,2\Omega$, alimentează un rezistor $R=5\Omega$. Ce curent trece prin rezistor dacă acumulatoarele sunt legate în serie? Dar dacă sunt legate în paralel?

1. Serie: $E_s=6\text{V}$, $r_s=1\Omega$, deci $I=\frac{6}{5+1}=1\text{A}$.
2. Paralel: $E_p=1,2\text{V}$, $r_p=0,04\Omega$, deci $I=\frac{1,2}{5,04}\approx 0,24\text{A}$.

Rezistența exterioară este mare față de cea internă, deci gruparea în serie dă un curent mult mai mare.

Exemplul 5: voltmetrul care încarcă divizorul (nivel de examen)

Un divizor de tensiune este format din două rezistoare de $10\text{k}\Omega$, legate în serie la o sursă ideală de $9\text{V}$. La bornele celui de-al doilea se leagă un voltmetru cu rezistența internă de $20\text{k}\Omega$. Ce tensiune ar trebui să fie pe rezistor și ce indică voltmetrul?

1. Fără voltmetru: $U_2=9\cdot \frac{10}{10+10}=4,5\text{V}$.
2. Cu voltmetrul în paralel: $R_{2V}=\frac{10\cdot 20}{10+20}\approx 6,67\text{k}\Omega$.
3. Voltmetrul indică $U_2^{\prime }=9\cdot \frac{6,67}{10+6,67}=3,6\text{V}$.

Un voltmetru real schimbă circuitul pe care îl măsoară; abaterea este mică doar dacă rezistența lui este mult mai mare decât rezistența pe care o măsoară.

Redesenează schema marcând nodurile cu litere și caută întâi grupările evidente, serie sau paralel. Dacă un fir ideal leagă două noduri, ele sunt un singur nod. Dacă niciun rezistor nu este în serie sau în paralel cu altul, circuitul se rezolvă cu legile lui Kirchhoff sau prin simetrie.

Problemă rezolvată. Avem trei rezistoare identice de $6\Omega$. Determină toate rezistențele echivalente distincte obținute folosindu-le pe toate trei.

1. Toate în serie: $R_e=6+6+6=18\Omega$.
2. Toate în paralel: $1/R_e=3/6$, deci $R_e=2\Omega$.
3. Două în paralel, apoi în serie cu al treilea: $R_e=3+6=9\Omega$.
4. Două în serie, apoi în paralel cu al treilea: $R_e=12\cdot 6/(12+6)=4\Omega$.

Rezultatele distincte sunt $2$, $4$, $9$ și $18\Omega$.

Exemplu în format de grilă. Două rezistoare de câte $12\Omega$ sunt legate în paralel, iar gruparea este legată în serie cu un al treilea rezistor, de $6\Omega$. Rezistența echivalentă între capetele grupării este:

• a) $3\Omega$
• b) $4,8\Omega$
• c) $12\Omega$
• d) $30\Omega$

Rezolvare.

1. Cele două rezistoare de $12\Omega$ în paralel au $R_p=12/2=6\Omega$.
2. Gruparea este în serie cu rezistorul de $6\Omega$, deci $R_e=6+6=12\Omega$.
3. Varianta a) apare dacă toate trei se consideră în paralel, varianta b) dacă cele două de $12\Omega$ se pun în serie și apoi în paralel cu cel de $6\Omega$, iar varianta d) dacă toate se consideră în serie.

Răspuns corect: c).

Unde apare la examen

• Admiterea la Medicină, UMF „Carol Davila”: „Gruparea rezistoarelor și a generatoarelor electrice” este una dintre temele curentului continuu din tematica de fizică 2026 (tematica 2026). Formatul probei este pe pagina admiterii la Medicină Carol Davila.
• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul C, programa de examen cere rezistența echivalentă a grupării serie, paralel sau mixte a mai multor rezistoare și rezistența internă și t.e.m. echivalente ale grupării serie sau paralel a generatoarelor (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).
• Clasa a VIII-a: programa de gimnaziu are gruparea rezistoarelor și, ca studiu experimental, gruparea generatoarelor identice (OMEN 3393/2017).

Greșeli frecvente

• Greșit: a aduna rezistențele în paralel ca și cum ar fi în serie.
  Corect: în paralel $1/R_p=\sum 1/R_i$.
• Greșit: a spune că intensitatea este aceeași în toate ramurile paralele.
  Corect: în paralel tensiunea e aceeași, curenții se împart invers proporțional cu rezistențele.
• Greșit: a reduce rezistoare care par vecine, dar au un nod cu altă ramificație între ele.
  Corect: două rezistoare sunt în serie doar dacă între ele nu există niciun nod.
• Greșit: a aplica formula $\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$ la trei rezistoare.
  Corect: formula este valabilă numai pentru două rezistoare; pentru trei sau mai multe se adună inversele.
• Greșit: a opri calculul la $\frac{1}{R_p}$, scriind $R_p=\frac{1}{3}\Omega$ din $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$.
  Corect: se inversează rezultatul final, $R_p=3\Omega$.
• Greșit: a aduna rezistențele interne ale $n$ generatoare identice legate în paralel.
  Corect: în paralel rezistența internă scade la $\frac{r}{n}$, iar t.e.m. rămâne aceeași.

Înainte și după

Întrebări frecvente