Legile lui Kirchhoff

Într-un circuit staționar, prima lege a lui Kirchhoff exprimă conservarea sarcinii la un nod: suma curenților care intră este egală cu suma curenților care ies. Dacă intră $3\mathrm{A}$ și pe o ramură ies $1\mathrm{A}$, pe cealaltă ies $2\mathrm{A}$, în absența altor ramuri.

A doua lege privește un drum închis, numit ochi. După ce parcurgi întregul ochi și revii în punctul de pornire, creșterile și scăderile de potențial electric se compensează. Sursa mărește energia pe unitatea de sarcină, iar rezistoarele transformă energia electrică în căldură. Legea exprimă conservarea energiei pentru circuitul modelat.

Pentru a nu greși semnele, alege un sens de parcurgere al ochiului și un sens de referință pentru fiecare curent. Sensurile sunt alegeri de calcul. Dacă rezultatul pentru un curent iese negativ, curentul real circulă invers față de săgeata desenată. Nu este un rezultat imposibil.

În circuite simple, verifici prima lege adunând algebric intensitățile curenților care intră și ies din fiecare nod, nu numărând ramurile. A doua se verifică adunând schimbările de tensiune pe un traseu închis. Lecția „Puntea Wheatstone” arată o rețea care se analizează prin aceste reguli.

Un nod este un punct al rețelei în care se întâlnesc cel puțin trei ramuri, o ramură este porțiunea dintre două noduri parcursă de același curent, iar un ochi este un drum închis format din ramuri. Legea nodurilor este $\sum I_{\mathrm{intrare}}=\sum I_{\text{ieșire}}$, echivalent cu suma algebrică zero. Legea ochiurilor este ${\sum }_{\mathrm{ochi}}\Delta V=0$ pentru circuite concentrate în regim staționar, fără flux magnetic variabil semnificativ prin ochi. Pentru un ochi parcurs într-un sens ales, ea se scrie $\sum E_k=\sum I_k{R}_k$, cu semnele stabilite consecvent: traversarea unui rezistor în sensul curentului produce o scădere $-IR$, iar traversarea unei surse ideale de la borna negativă la cea pozitivă produce $+E$. Rezistența internă a unei surse reale se trece în ecuație ca un rezistor în plus.

Pentru o rețea conexă cu $n$ noduri și $r$ ramuri, scriem $n-1$ ecuații independente ale nodurilor și $r-n+1$ ecuații independente ale ochiurilor; în total sunt $r$ ecuații pentru cei $r$ curenți de ramură. Ochiurile se aleg astfel încât fiecare să conțină o ramură nouă, neparcursă până atunci.

Exemplu rezolvat 1 — rețea cu o sursă. O sursă ideală de $12\mathrm{V}$ alimentează un rezistor de $2\Omega$ în serie cu două rezistoare de $6\Omega$ și $3\Omega$ conectate în paralel.

1. Rezistența echivalentă a ramurilor este $R_p=6\cdot 3/(6+3)=2\Omega$; deci $R_{\mathrm{tot}}=4\Omega$.
2. Curentul prin sursă și rezistorul serie este $I=12/4=3\mathrm{A}$.
3. Căderea pe rezistorul serie este $U_s=3\cdot 2=6\mathrm{V}$, așa că fiecare ramură paralelă primește $6\mathrm{V}$.
4. Curenții sunt $I_1=6/6=1\mathrm{A}$ și $I_2=6/3=2\mathrm{A}$.

La nod verificăm $3=1+2\mathrm{A}$; pe cele două ochiuri independente verificăm, în fiecare caz, $12-6-6=0\mathrm{V}$. Dacă sursa și rezistorul serie formează o singură ramură, rețeaua are $n=2$ noduri și $r=3$ ramuri: o ecuație nodală și două ecuații de ochi independente.

Exemplu rezolvat 2 — două surse care alimentează un consumator. Sursele $E_1=10\mathrm{V}$, $r_1=1\Omega$ și $E_2=6\mathrm{V}$, $r_2=2\Omega$ sunt legate în paralel la un rezistor $R=4\Omega$. Se aleg sensurile de referință ale curenților $I_1$ și $I_2$ de la surse spre nodul de sus, iar $I$ prin $R$ spre nodul de jos.

1. Legea nodurilor: $I=I_1+I_2$.
2. Ochiul primei surse și al rezistorului: $E_1-I_1{r}_1-IR=0$, adică $10-I_1-4I=0$.
3. Ochiul celei de-a doua surse și al rezistorului: $E_2-I_2{r}_2-IR=0$, adică $6-2I_2-4I=0$.
4. Din ecuațiile 2 și 3, $I_1=10-4I$ și $I_2=3-2I$; înlocuim în prima: $I=13-6I$, deci $I=13/7\approx 1,86\mathrm{A}$.
5. Rezultă $I_1\approx 2,57\mathrm{A}$ și $I_2\approx -0,71\mathrm{A}$. Semnul minus arată că prin a doua sursă curentul circulă în sens invers sensului ales: sursa mai slabă este încărcată de cea mai puternică.
6. Verificare: $I_1+I_2\approx 1,86\mathrm{A}=I$, iar tensiunea pe $R$ este $4\cdot 13/7\approx 7,43\mathrm{V}$ și se obține la fel din ambele ochiuri.

Nod, ramură, ochi

O rețea electrică este un circuit cu mai multe surse sau consumatori legați în mai multe căi. Un nod este un punct în care se întâlnesc cel puțin trei conductoare. O ramură este porțiunea dintre două noduri vecine; prin toate elementele ei trece același curent. Un ochi este un drum închis format din ramuri.

Prima lege: nodurile

Sarcina electrică nu se creează și nu se acumulează într-un nod, deci câtă sarcină intră pe secundă, atâta iese. Dacă iei curenții care intră cu semnul $+$ și pe cei care ies cu semnul $-$, suma lor este zero. Pentru o rețea cu $n$ noduri, ecuațiile a $n-1$ dintre ele sunt independente; ecuația ultimului nod rezultă din celelalte.

A doua lege: ochiurile

Pe un ochi, alegi un sens de parcurgere. Apoi:

• o t.e.m. se scrie cu $+$ dacă sensul de parcurgere trece prin sursă de la borna $-$ la borna $+$ și cu $-$ în caz contrar;
• un produs $RI$ se scrie cu $+$ dacă sensul ales pentru curentul din acea ramură coincide cu sensul de parcurgere și cu $-$ în caz contrar;
• rezistența internă a unei surse intră în suma $\sum RI$, ca orice rezistență a ramurii.

Legea exprimă faptul că, după un tur complet al ochiului, te întorci la același potențial. Pentru un circuit simplu, cu o singură sursă și un singur rezistor, ea redă legea lui Ohm pentru circuitul întreg: $E=IR+Ir$.

Algoritmul

1. Numerotezi ramurile și alegi pentru fiecare un sens al curentului (la întâmplare, dacă nu știi sensul real).
2. Scrii $n-1$ ecuații de nod.
3. Alegi $r-n+1$ ochiuri independente (fiecare să conțină o ramură nefolosită de celelalte) și scrii ecuațiile lor.
4. Rezolvi sistemul. Un curent negativ circulă, de fapt, în sens opus celui ales.

Puntea echilibrată

Patru rezistoare formează un patrulater $ACBD$: $R_1$ între $A$ și $C$, $R_2$ între $C$ și $B$, $R_3$ între $A$ și $D$, $R_x$ între $D$ și $B$. Sursa este legată între $A$ și $B$, iar un galvanometru între $C$ și $D$. Puntea este echilibrată când prin galvanometru nu trece curent; atunci punctele $C$ și $D$ au același potențial, iar din legea a doua pe ochiurile $ACDA$ și $CBDC$ rezultă $\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_x}$. Așa se măsoară o rezistență necunoscută.

Înainte și după

• Înainte: legea lui Ohm pentru o porțiune de circuit și pentru circuitul întreg; sistemele de ecuații liniare, de la matematică.
• După: gruparea rezistoarelor și a generatoarelor, ale cărei formule rezultă din cele două legi; energia și puterea electrică în fiecare ramură a rețelei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: legea nodurilor

Într-un nod intră doi curenți, de $1,5\text{A}$ și de $2,5\text{A}$, iar dintr-o a treia ramură iese un curent de $3,2\text{A}$. Ce curent trece prin a patra ramură legată la nod, și în ce sens?

1. Presupui că și al patrulea curent iese: $1,5+2,5=3,2+I$.
2. Rezultă $I=0,8\text{A}$, pozitiv, deci curentul chiar iese din nod.

Exemplul 2: surse în opoziție

Într-un singur ochi sunt legate în serie un rezistor $R=5\Omega$ și două surse cu bornele de același semn față în față: $E_1=9\text{V}$, $r_1=0,5\Omega$ și $E_2=3\text{V}$, $r_2=0,5\Omega$. Află curentul și tensiunea la bornele sursei a doua.

1. Parcurgi ochiul în sensul în care sursa mai mare împinge curentul. $E_1$ intră cu $+$, $E_2$ cu $-$: $E_1-E_2=I(R+r_1+r_2)$.
2. $I=\frac{9-3}{5+0,5+0,5}=\frac{6}{6}=1\text{A}$.
3. Prin sursa a doua curentul trece de la borna $+$ spre borna $-$, deci sursa se încarcă: $U_2=E_2+I{r}_2=3+0,5=3,5\text{V}$.

Verificare: la bornele primei surse, $U_1=E_1-I{r}_1=8,5\text{V}$, iar $U_1=IR+U_2=5+3,5=8,5\text{V}$.

Exemplul 3: două surse în paralel pe un rezistor (nivel de examen)

Între nodurile $A$ și $B$ sunt legate trei ramuri: ramura 1 conține o sursă cu $E_1=8\text{V}$ și $r_1=1\Omega$; ramura 2, o sursă cu $E_2=4\text{V}$ și $r_2=2\Omega$; ramura 3, un rezistor $R=6\Omega$. Ambele surse au borna $+$ spre nodul $A$. Află curenții din ramuri.

1. Alegi sensurile: $I_1$ și $I_2$ intră în $A$ prin surse, $I_3$ iese din $A$ prin rezistor. Rețeaua are $n=2$ noduri și $r=3$ ramuri, deci scrii o ecuație de nod și două de ochi.
2. Nodul $A$: $I_1+I_2=I_3$.
3. Ochiul ramurilor 1 și 3: $E_1=I_1{r}_1+I_{3}R$, adică $8=I_1+6I_3$.
4. Ochiul ramurilor 2 și 3: $E_2=I_2{r}_2+I_{3}R$, adică $4=2I_2+6I_3$.
5. Înlocuiești $I_3=I_1+I_2$: $8=7I_1+6I_2$ și $4=6I_1+8I_2$. Din prima, $I_1=\frac{8-6I_2}{7}$; în a doua, $28=48-36I_2+56I_2$, deci $I_2=-1\text{A}$.
6. Apoi $I_1=\frac{8+6}{7}=2\text{A}$ și $I_3=2-1=1\text{A}$.

Interpretare: $I_2$ ieșit negativ înseamnă că prin sursa a doua curentul de $1\text{A}$ circulă de la $A$ spre $B$, adică intră pe la borna $+$: sursa mai slabă este încărcată de cea mai puternică. Verificare: $U_{AB}=I_{3}R=6\text{V}$; pe ramura 1, $E_1-I_1{r}_1=8-2=6\text{V}$; pe ramura 2, $E_2+1\cdot r_2=4+2=6\text{V}$.

Exemplul 4: puntea echilibrată

Într-o punte ca cea descrisă mai sus, $R_1=200\Omega$, $R_2=120\Omega$ și $R_3=50\Omega$. Galvanometrul nu indică niciun curent. Cât este $R_x$?

1. Puntea este echilibrată: $\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_x}$.
2. $R_x=\frac{R_2{R}_3}{R_1}=\frac{120\cdot 50}{200}=30\Omega$.

Observă că rezultatul nu depinde de sursă: o baterie mai slabă sau mai puternică lasă puntea echilibrată.

Notează pe desen polaritățile și sensurile înainte de a scrie ecuațiile. Pentru un nod cu $I_1=5\mathrm{A}$ intrare și $I_2=2\mathrm{A}$ ieșire, curentul rămas este $I_3=3\mathrm{A}$ ieșire. Într-un ochi, verifică semnul fiecărei traversări, nu memora o succesiune fixă de semne. Numără ecuațiile: ai nevoie de atâtea ecuații independente câți curenți necunoscuți sunt. Dacă o sursă are rezistență internă, ea intră în suma $IR$ a ochiului din care face parte. După rezolvare, verifică rezultatul cu un ochi pe care nu l-ai folosit la scrierea sistemului: dacă suma căderilor de tensiune nu este zero, a apărut o eroare de semn sau de calcul.

Exemplu în format de grilă. Într-un ochi simplu sunt două surse în opoziție, cu tensiunile electromotoare $E_1=12\mathrm{V}$ și $E_2=4\mathrm{V}$, iar rezistența totală a ochiului, incluzând rezistențele interne, este $4\Omega$. Intensitatea curentului din ochi este:

• a) $4\mathrm{A}$
• b) $2\mathrm{A}$
• c) $3\mathrm{A}$
• d) $1\mathrm{A}$

Rezolvare.

1. Se alege sensul curentului dat de sursa mai puternică, $E_1$; sursa $E_2$ are polaritatea opusă și intră în ecuație cu semn negativ.
2. Legea a doua a lui Kirchhoff dă $E_1-E_2=I(R_{\mathrm{tot}})$, adică $12-4=4I$.
3. Rezultă $I=8/4=2\mathrm{A}$.
4. Varianta a) apare dacă t.e.m. se adună în loc să se scadă ($16/4$), varianta c) dacă se uită sursa $E_2$ ($12/4$), iar varianta d) dacă se folosește numai $E_2$ ($4/4$).

Răspuns corect: b).

Unde apare la examen

• Admiterea la Medicină, UMF „Carol Davila”: „Legile lui Kirchhoff” este una dintre temele capitolului „Producerea și utilizarea curentului continuu” din tematica de fizică 2026, la clasa a X-a (tematica 2026). Formatul probei este pe pagina admiterii la Medicină Carol Davila.
• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul C, programa de examen cere rețeaua electrică, nodul de rețea, ochiul de rețea și legile lui Kirchhoff (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).
• Clasa a VIII-a: programa de gimnaziu are teoremele lui Kirchhoff numai ca extindere (OMEN 3393/2017); ele se predau complet în clasa a X-a.

Greșeli frecvente

• Greșit: a trata un curent negativ calculat drept eroare, în loc să inverseze sensul săgeții.
  Corect: un curent calculat negativ arată că sensul real este opus săgeții alese.
• Greșit: a schimba regula semnelor la mijlocul parcurgerii ochiului.
  Corect: aceeași regulă a semnelor se păstrează pe tot ochiul de circuit.
• Greșit: a aplica suma tensiunilor zero unui traseu prin care fluxul magnetic variabil induce o t.e.m. neconsiderată.
  Corect: dacă fluxul magnetic prin ochi variază, se include tensiunea electromotoare indusă.
• Greșit: a scrie $n$ ecuații de nod pentru o rețea cu $n$ noduri.
  Corect: numai $n-1$ ecuații sunt independente; a $n$-a nu aduce nimic nou și sistemul rămâne nedeterminat.
• Greșit: a stabili semnul unei t.e.m. după sensul curentului.
  Corect: semnul depinde de sensul de parcurgere a ochiului; de la borna $-$ la borna $+$ prin sursă, t.e.m. se scrie cu $+$.
• Greșit: a uita rezistența internă a surselor la scrierea ochiului.
  Corect: rezistența internă face parte din ramură și intră în $\sum RI$.

Înainte și după

Întrebări frecvente