Rezistența și rezistivitatea

Raportul dintre tensiunea aplicată unui conductor și intensitatea curentului care îl străbate este rezistența lui. Ea se măsoară direct cu ohmmetrul sau indirect, cu un ampermetru și un voltmetru. Piesa construită ca să aibă o anumită rezistență se numește rezistor; reostatul este un rezistor a cărui rezistență se poate modifica.

Un fir metalic lung și subțire se opune trecerii curentului mai mult decât unul scurt și gros din același material, la aceeași temperatură. Această opoziție este rezistența electrică $R$, măsurată în ohmi ($\Omega$). Materialul este caracterizat prin rezistivitatea $\rho$, măsurată în $\Omega \mathrm{m}$.

Pentru un fir uniform, $R=\rho l/S$, unde $l$ este lungimea și $S$ aria secțiunii. La aceeași secțiune, același material și aceeași temperatură, firul de două ori mai lung are rezistența de două ori mai mare. La aceeași lungime, dublarea secțiunii înjumătățește rezistența.

Exemplu rezolvat. Un prelungitor conține un fir de cupru lung de $100\mathrm{m}$, cu secțiunea de $2,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$. Rezistivitatea cuprului este $\rho =1,7\cdot 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$. Care este rezistența firului?

1. Transformăm aria în unități SI: $2,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=2,5\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$.
2. Aplicăm formula: $R=\rho l/S=1,7\cdot 10^{-8}\cdot 100/(2,5\cdot 10^{-6})$.
3. Obținem $R=0,68\Omega$, valoare mică, de aceea firele de cupru groase nu se încălzesc la curenți obișnuiți.

Dacă aceeași lungime ar fi un fir de fier cu aceeași secțiune, rezistența ar fi de câteva ori mai mare, deoarece rezistivitatea fierului este de aproximativ $1\cdot 10^{-7}\Omega \mathrm{m}$, iar cea a cuprului de aproximativ $1,7\cdot 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$.

De aceea prelungitoarele lungi se fac din fire mai groase decât cele scurte: la aceeași lungime, secțiunea mai mare înseamnă rezistență mai mică și încălzire mai slabă. Elementele de încălzire din fierul de călcat sau din reșou se fac, dimpotrivă, dintr-un aliaj cu rezistivitate mare, ca să se încălzească puternic.

Temperatura influențează materialele diferit. La metale, rezistivitatea crește când temperatura crește; la semiconductori și electroliți, în regimul obișnuit studiat aici, ea scade la încălzire. Pentru un metal și un interval în care coeficientul este constant, legea folosită în probleme este $R=R_0(1+\alpha t)$, unde $R_0$ este rezistența la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, iar $t$ temperatura în grade Celsius.

Un rezistor este o componentă fabricată pentru a avea o rezistență specificată. Becul cu filament nu se comportă ca un rezistor cu rezistență constantă: filamentul se încălzește și valoarea lui $R$ se schimbă. În calcule precizăm temperatura sau presupunem explicit că rezistența rămâne constantă.

Pentru un conductor omogen și uniform la o temperatură fixată, $R=\rho l/S$. Aria unui fir cu secțiune circulară de diametru $d$ este $S=\pi d^2/4$; de aceea rezistența este invers proporțională cu pătratul diametrului. Inversul rezistivității, $\sigma =1/\rho$, este conductivitatea electrică. Valorile uzuale la temperatura camerei sunt, în $\Omega \mathrm{m}$: cupru $1,7\cdot 10^{-8}$, aluminiu $2,8\cdot 10^{-8}$, wolfram $5,5\cdot 10^{-8}$, fier $1\cdot 10^{-7}$, nichelină $4,2\cdot 10^{-7}$. Cuprul și aluminiul se folosesc la conductoare, iar nichelina și alte aliaje cu rezistivitate mare, la rezistoare și elemente de încălzire. Graficul lui $R$ în funcție de $l$, la secțiune constantă, este o dreaptă care trece prin origine, iar graficul lui $R$ în funcție de $S$, la lungime constantă, este o hiperbolă; așa se vede imediat de ce dublarea secțiunii înjumătățește rezistența, iar dublarea lungimii o dublează. Rezistivitatea nu depinde de forma firului, ci numai de material și de temperatură, în timp ce rezistența depinde și de dimensiunile conductorului.

Rezistența apare pentru că electronii liberi, accelerați de câmpul electric, se ciocnesc de ionii rețelei cristaline și de impurități; cu cât rețeaua vibrează mai intens, adică la temperatură mai mare, cu atât ciocnirile sunt mai dese și rezistivitatea metalului crește. La semiconductori, încălzirea eliberează mai mulți purtători de sarcină, de aceea rezistivitatea lor scade; pe acest efect se bazează termistoarele. Inversul rezistenței, $G=1/R$, se numește conductanță și se măsoară în siemens, $1\mathrm{S}=1{\Omega }^{-1}$.

Dacă temperatura metalului crește de la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ la $t$, folosim $\rho ={\rho }_0(1+\alpha t)$ și, pentru dimensiuni considerate constante, $R=R_0(1+\alpha t)$. Coeficientul de temperatură al rezistivității $\alpha$ se exprimă în ${\mathrm{K}}^{-1}$; variația de $1{}^{\circ }\mathrm{C}$ are aceeași mărime ca variația de $1\mathrm{K}$. Relația liniară se aplică în domeniul în care $\alpha$ este tratat constant. Pe acest efect se bazează termometrul cu rezistență de platină, la care temperatura se află din valoarea măsurată a rezistenței, iar semnalul electric al senzorului se transmite ușor la distanță.

Rezistența unui fir omogen crește proporțional cu lungimea lui: un fir de două ori mai lung este ca două fire legate unul după altul. Ea scade când secțiunea crește: un fir de două ori mai gros, ca arie, este ca două fire legate alăturat. Când un fir este tăiat în $n$ bucăți egale, fiecare bucată are rezistența $\frac{R}{n}$. Când un fir este tras (trefilat), volumul $V=\ell S$ rămâne același: dacă lungimea crește de $k$ ori, secțiunea scade de $k$ ori, iar rezistența crește de $k^2$ ori. Din același motiv, filamentul unui bec are la rece o rezistență mult mai mică decât în funcționare.

Exemplu rezolvat 1 — fir de cupru și fir încălzit. Un fir de cupru are $l=10\mathrm{m}$, $S=1{\mathrm{mm}}^2=10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ și $\rho =1,7\cdot 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$ la temperatura dată.

1. Din $R=\rho l/S$ rezultă $R=1,7\cdot 10^{-8}\cdot 10/10^{-6}=0,17\Omega$.
2. Pentru un alt fir metalic cu $R_0=10\Omega$ la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, $\alpha =4\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ și $t=50{}^{\circ }\mathrm{C}$, calculăm $R=R_0(1+\alpha t)=10(1+0,004\cdot 50)=12\Omega$.
3. Creșterea de $2\Omega$ este efectul temperaturii în modelul dat, nu al lungimii sau secțiunii.

Exemplu rezolvat 2 — fir tras prin filieră. Un fir omogen are rezistența $R=2,0\Omega$. El este tras până ajunge de trei ori mai lung, la aceeași temperatură.

1. Volumul metalului se conservă, $lS=l^{\prime }{S}^{\prime }$, deci pentru $l^{\prime }=3l$ aria devine $S^{\prime }=S/3$.
2. Noua rezistență este $R^{\prime }=\rho l^{\prime }/S^{\prime }=\rho \cdot 3l/(S/3)=9\rho l/S=9R$.
3. Rezultă $R^{\prime }=9\cdot 2,0=18\Omega$: rezistența a crescut de $9$ ori, nu de $3$ ori, pentru că a crescut lungimea și a scăzut secțiunea.

Exemplu rezolvat 3 — termometru cu rezistență de platină. Un senzor are $R_0=100\Omega$ la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $\alpha =3,85\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$.

1. La $t=100{}^{\circ }\mathrm{C}$ rezistența este $R=100(1+3,85\cdot 10^{-3}\cdot 100)=138,5\Omega$.
2. Dacă un ohmmetru arată $119,25\Omega$, temperatura rezultă din $t=(R/R_0-1)/\alpha =(1,1925-1)/(3,85\cdot 10^{-3})$.
3. Obținem $t=50{}^{\circ }\mathrm{C}$. Rezultatul este plauzibil: $119,25\Omega$ se află între $100\Omega$ (la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$) și $138,5\Omega$ (la $100{}^{\circ }\mathrm{C}$), deci temperatura trebuie să fie între $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $100{}^{\circ }\mathrm{C}$, la mijlocul intervalului, pentru că $119,25$ se află la jumătatea distanței dintre cele două rezistențe și variația este liniară.

Exemple rezolvate

Exemplul 4: un conductor de aluminiu

Ce rezistență are un conductor de aluminiu ($\rho =2,8\cdot 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$) cu lungimea de $20\text{m}$ și secțiunea de $2{\text{mm}}^2$?

1. $S=2{\text{mm}}^2=2\cdot 10^{-6}{\text{m}}^2$.
2. $R=\rho \frac{\ell }{S}=2,8\cdot 10^{-8}\cdot \frac{20}{2\cdot 10^{-6}}=0,28\Omega$.

Exemplul 5: firul cu diametrul dat

Un fir de constantan ($\rho =5\cdot 10^{-7}\Omega \cdot \text{m}$) are lungimea de $3\text{m}$ și diametrul de $0,5\text{mm}$. Ce rezistență are?

1. Secțiunea: $S=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot (5\cdot 10^{-4}{)}^2}{4}\approx 1,96\cdot 10^{-7}{\text{m}}^2$.
2. $R=5\cdot 10^{-7}\cdot \frac{3}{1,96\cdot 10^{-7}}\approx 7,6\Omega$.

Exemplul 6: încălzirea unei bobine de cupru

O bobină din fir de cupru are rezistența de $8\Omega$ la $0{}^{\circ }\text{C}$; coeficientul termic al rezistivității cuprului este $\alpha =4,3\cdot 10^{-3}{\text{K}}^{-1}$. Cât este rezistența la $80{}^{\circ }\text{C}$? La ce temperatură rezistența devine $9,72\Omega$? (Dilatarea se neglijează.)

1. $R=R_0(1+\alpha t)=8\cdot (1+4,3\cdot 10^{-3}\cdot 80)=8\cdot 1,344\approx 10,75\Omega$.
2. $1+\alpha t=\frac{9,72}{8}=1,215$, deci $t=\frac{0,215}{4,3\cdot 10^{-3}}=50{}^{\circ }\text{C}$.

Exemplul 7: firul întins cu 10 %

Un fir cu rezistența de $50\Omega$ este întins uniform până când lungimea lui crește cu $10\%$, volumul rămânând același. Ce rezistență are acum?

1. ${\ell }^{\prime }=1,1\ell$, iar din $\ell S={\ell }^{\prime }{S}^{\prime }$ rezultă $S^{\prime }=\frac{S}{1,1}$.
2. $R^{\prime }=\rho \frac{1,1\ell }{S/1,1}=1,1^2\cdot \rho \frac{\ell }{S}=1,21\cdot 50=60,5\Omega$.

O alungire de $10\%$ mărește rezistența cu $21\%$, nu cu $10\%$: lungimea crește, iar secțiunea scade în același timp.

Exemplul 8: două fire cu aceeași masă

Două fire din același material au aceeași masă, iar diametrul primului este de două ori mai mare decât al celui de-al doilea. Care este raportul rezistențelor lor?

1. Aceeași masă și același material înseamnă același volum: ${\ell }_1{S}_1={\ell }_2{S}_2=V$, deci $\ell =\frac{V}{S}$.
2. Atunci $R=\rho \frac{\ell }{S}=\frac{\rho V}{S^2}$: rezistența este invers proporțională cu pătratul secțiunii, adică cu puterea a patra a diametrului.
3. $\frac{R_2}{R_1}={\left(\frac{d_1}{d_2}\right)}^4=2^4=16$.

Firul subțire, care este și de $4$ ori mai lung, are o rezistență de $16$ ori mai mare.

Pentru același material și aceeași temperatură, dacă $l$ se dublează și $S$ se înjumătățește, noua rezistență este $R^{\prime }=4R$. Pentru $R=2\Omega$, obținem $R^{\prime }=8\Omega$. La temperatură variabilă, folosim separat $R=R_0(1+\alpha t)$ și precizăm temperatura de referință. Transformă ${\mathrm{mm}}^2$ în ${\mathrm{m}}^2$ înainte să introduci $\rho$ în $\Omega \mathrm{m}$. La problemele cu fir tras sau întins, păstrează volumul constant, iar la problemele cu fire de același material compară rapoartele $l/S$. Când firele sunt din materiale diferite, raportul rezistențelor este $R_2/R_1=({\rho }_2{l}_2{S}_1)/({\rho }_1{l}_1{S}_2)$. De exemplu, un fir de aluminiu ($2,8\cdot 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$) cu $l=3\mathrm{m}$ și $S=1,5\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ are față de un fir de cupru ($1,7\cdot 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$) cu $l=2\mathrm{m}$ și $S=1\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ o rezistență de aproximativ $1,65$ ori mai mare, deși firul de aluminiu este mai gros, pentru că este mai lung și are rezistivitatea mai mare. Înainte de calcul, estimează sensul rezultatului: un fir mai lung, mai subțire sau dintr-un material cu rezistivitate mai mare trebuie să aibă rezistența mai mare; dacă numărul obținut iese în sens opus, rapoartele au fost inversate.

Exemplu în format de grilă. Un fir omogen are rezistența $R$. Prin tragere, fără pierdere de material și la aceeași temperatură, firul devine de trei ori mai lung. Noua sa rezistență este:

• a) $3R$
• b) $9R$
• c) $R/3$
• d) $R/9$

Rezolvare.

1. Volumul se conservă, deci $l^{\prime }{S}^{\prime }=lS$ și, pentru $l^{\prime }=3l$, rezultă $S^{\prime }=S/3$.
2. Rezistența este $R^{\prime }=\rho l^{\prime }/S^{\prime }=\rho \cdot 3l\cdot 3/S=9R$.
3. Varianta a) ar rezulta dacă s-ar ține cont numai de creșterea lungimii și s-ar uita că secțiunea scade. Varianta c) ar rezulta dacă s-ar considera că secțiunea crește de trei ori, lungimea rămânând aceeași, iar varianta d) dacă s-ar inversa ambele schimbări, adică lungimea împărțită la $3$ și secțiunea înmulțită cu $3$.

Răspuns corect: b).

Unde apare la examen

• Admiterea la Medicină, UMF „Carol Davila”: rezistența și rezistivitatea fac parte din tema „Legea lui Ohm”, la curentul continuu, în tematica de fizică 2026 (tematica 2026).
• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul C, programa de examen cere rezistența electrică, unitatea ei de măsură, rezistența unui conductor liniar, rezistivitatea și dependența rezistivității de temperatură (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).
• Înainte și după: înainte de această lecție ai nevoie de legea lui Ohm, din care vine definiția rezistenței, și de aria cercului, de la matematică. După ea urmează gruparea rezistoarelor în serie și în paralel și energia și puterea electrică disipate într-un rezistor.

Greșeli frecvente

• Greșit: a confunda rezistența $R$ a unui fir cu rezistivitatea $\rho$ a materialului.
  Corect: ρ caracterizează materialul; R depinde de material, lungime și secțiune.
• Greșit: a folosi diametrul în locul ariei secțiunii în $R=\rho l/S$.
  Corect: în R = ρl/S se folosește aria S = πd²/4.
• Greșit: a presupune că rezistența rămâne constantă la orice temperatură.
  Corect: la metale rezistența crește cu temperatura: $R=R_0(1+\alpha t)$.
• Greșit: Cu $\rho$ în $\Omega \cdot \text{m}$, secțiunea de $1{\text{mm}}^2$ se scrie $10^{-3}{\text{m}}^2$.
  Corect: $1{\text{mm}}^2=10^{-6}{\text{m}}^2$.
• Greșit: Rezistența depinde de tensiune, pentru că $R=\frac{U}{I}$.
  Corect: relația doar măsoară rezistența; ea depinde de material, de dimensiuni și de temperatură.
• Greșit: La un fir trefilat, rezistența crește proporțional cu lungimea.
  Corect: lungimea crește și secțiunea scade, deci rezistența crește cu pătratul factorului de lungire.
• Greșit: Pentru un bec, rezistența calculată din valorile nominale este cea de la rece.
  Corect: este rezistența filamentului fierbinte.

Înainte și după

Întrebări frecvente