Gruparea generatoarelor

Unele lanterne folosesc două baterii așezate una după alta. Dacă sursele sunt legate în serie și au același sens, tensiunile lor electromotoare se adună. Aceasta este o grupare în serie a generatoarelor. În modelul simplu, două baterii de $1,5\mathrm{V}$ pot oferi împreună o t.e.m. de $3,0\mathrm{V}$. Orientarea contează: dacă întorci una dintre baterii, efectul ei se opune celeilalte.

O baterie reală nu este o sursă perfectă. Are rezistență internă, care produce o scădere de tensiune când prin ea trece curent. În serie, rezistențele interne se adună. Astfel, t.e.m. mai mare nu garantează că tensiunea la borne sub sarcină va fi exact suma valorilor scrise pe baterii.

Exemplu rezolvat. Trei baterii de câte $1,5\mathrm{V}$ și rezistență internă $0,5\Omega$ fiecare sunt legate în serie, cu bornele concordante, la un bec cu rezistența $8,5\Omega$.

1. T.e.m. echivalentă este suma celor trei: $E_s=3\cdot 1,5=4,5\mathrm{V}$.
2. Rezistența internă echivalentă este suma rezistențelor interne: $r_s=3\cdot 0,5=1,5\Omega$.
3. Intensitatea prin bec este $I=E_s/(R+r_s)=4,5/(8,5+1,5)=0,45\mathrm{A}$.

Dacă una dintre baterii ar fi întoarsă, t.e.m. echivalentă ar scădea la $1,5\mathrm{V}$, iar becul ar lumina foarte slab. De aceea telecomenzile și lanternele cu mai multe baterii au desenat în locașul lor semnele plus și minus: bateriile se așază una în continuarea celeilalte, cu borna pozitivă a uneia lipită de borna negativă a următoarei.

Generatoarele se pot lega și în paralel: bornele pozitive se unesc între ele, la fel și cele negative, iar consumatorul se leagă la cele două borne comune. Dacă $n$ baterii identice sunt grupate astfel, t.e.m. rămâne cea a unei singure baterii, iar rezistența internă echivalentă este de $n$ ori mai mică, $r_p=r/n$. Tensiunea nu crește, dar curentul debitat se împarte între baterii, fiecare se descarcă mai lent și ansamblul poate alimenta consumatorul mai mult timp. Două baterii de $1,5\mathrm{V}$ legate în paralel dau tot $1,5\mathrm{V}$. Aici trebuie mai multă grijă: sursele cu t.e.m. diferite pot trimite curent una prin alta chiar fără un consumator exterior, ceea ce poate fi periculos. În exerciții se presupun adesea surse identice. În practică, acumulatorii se conectează numai potrivit instrucțiunilor dispozitivului și cu protecții adecvate.

Pentru a recunoaște gruparea, urmărește bornele și nodurile. În serie, curentul trece succesiv prin surse pe același traseu. În paralel, bornele de același tip sunt conectate la aceleași două noduri, dacă sursele au aceeași orientare. Nu aplica o formulă de grupare până nu verifici polaritățile.

Gruparea generatoarelor se studiază înlocuind ansamblul cu un singur generator echivalent, care produce același curent și aceeași tensiune la borne în orice circuit exterior. Pentru surse reale în serie, t.e.m. echivalentă este suma algebrică $E_{\mathrm{ech}}={\sum }_i{s}_i{E}_i$, cu $s_i=\pm 1$ după orientare, iar $r_{\mathrm{ech}}={\sum }_i{r}_i$. Pentru $n$ surse identice în serie, $E_{\mathrm{ech}}=nE$ și $r_{\mathrm{ech}}=nr$. Pentru $n$ surse identice în paralel, toate cu aceeași t.e.m. $E$ și rezistență internă $r$, echivalentul are $E_{\mathrm{ech}}=E$ și $r_{\mathrm{ech}}=r/n$: tensiunea nu crește, dar scade rezistența internă, deci sursa poate debita un curent mai mare. Curentul total se împarte egal între cele $n$ surse, așa că fiecare se descarcă de $n$ ori mai încet, iar capacitatea totală a ansamblului este de $n$ ori mai mare decât a uneia singure.

Pentru generatoare cu t.e.m. $E_i$ și rezistențe interne $r_i$ montate în paralel și cu aceeași polaritate, $1/r_{\mathrm{ech}}={\sum }_{i}1/r_i$ și $E_{\mathrm{ech}}=({\sum }_i{E}_i/r_i)/({\sum }_{i}1/r_i)$. În cazul surselor cu t.e.m. diferite, ținem seama de curenții care pot circula între ele chiar fără rezistor exterior. Gruparea mixtă combină cele două moduri: $m$ ramuri paralele, fiecare cu câte $n$ surse în serie, au $E_{\mathrm{ech}}=nE$ și $r_{\mathrm{ech}}=nr/m$.

Exemplu rezolvat 1 — surse identice în paralel. Două generatoare identice, fiecare cu $E=6\mathrm{V}$ și $r=1\Omega$, alimentează în paralel un rezistor $R=5\Omega$.

1. Pentru surse identice puse corect în paralel, $E_{\mathrm{ech}}=6\mathrm{V}$, iar $r_{\mathrm{ech}}=r/2=0,5\Omega$.
2. Curentul exterior este $I=6/(5+0,5)=12/11\mathrm{A}\approx 1,09\mathrm{A}$.
3. Fiecare generator furnizează jumătate, aproximativ $0,545\mathrm{A}$.
4. Tensiunea la borne este $U=IR\approx 5,45\mathrm{V}$ și verifică $U=E-I{r}_{\mathrm{ech}}$.

Exemplu rezolvat 2 — surse în opoziție. O sursă cu $E_1=9\mathrm{V}$ și $r_1=1\Omega$ este legată în serie cu o a doua, cu $E_2=3\mathrm{V}$ și $r_2=1\Omega$, orientată invers, iar ansamblul alimentează un rezistor $R=4\Omega$.

1. T.e.m. echivalentă este diferența: $E_{\mathrm{ech}}=9-3=6\mathrm{V}$.
2. Rezistența internă echivalentă este suma: $r_{\mathrm{ech}}=1+1=2\Omega$.
3. Intensitatea este $I=6/(4+2)=1,0\mathrm{A}$, în sensul impus de sursa mai puternică.

Exemplu rezolvat 3 — surse diferite în paralel. Sursele $E_1=6\mathrm{V}$, $r_1=1\Omega$ și $E_2=3\mathrm{V}$, $r_2=2\Omega$ sunt legate în paralel, cu bornele de același semn unite.

1. Rezistența echivalentă este $1/r_{\mathrm{ech}}=1/1+1/2=1,5$, adică $r_{\mathrm{ech}}\approx 0,67\Omega$.
2. T.e.m. echivalentă este $E_{\mathrm{ech}}=(6/1+3/2)/1,5=5,0\mathrm{V}$.
3. Chiar fără consumator exterior circulă între surse curentul $I=(6-3)/(1+2)=1,0\mathrm{A}$, iar tensiunea la borne este $6-1\cdot 1=5\mathrm{V}$, în acord cu $E_{\mathrm{ech}}$.

Exemplu rezolvat 4 — cum se grupează șase elemente. Șase elemente identice, cu $E=1,5\mathrm{V}$ și $r=0,5\Omega$, alimentează un rezistor $R=5,0\Omega$. Se compară patru grupări.

1. Toate în serie: $E_{\mathrm{ech}}=9,0\mathrm{V}$, $r_{\mathrm{ech}}=3,0\Omega$, deci $I=9,0/8,0\approx 1,13\mathrm{A}$.
2. Două ramuri de câte trei în serie: $E_{\mathrm{ech}}=4,5\mathrm{V}$, $r_{\mathrm{ech}}=0,75\Omega$, deci $I=4,5/5,75\approx 0,78\mathrm{A}$.
3. Trei ramuri de câte două: $E_{\mathrm{ech}}=3,0\mathrm{V}$, $r_{\mathrm{ech}}\approx 0,33\Omega$, deci $I\approx 0,56\mathrm{A}$.
4. Toate în paralel: $E_{\mathrm{ech}}=1,5\mathrm{V}$, $r_{\mathrm{ech}}\approx 0,083\Omega$, deci $I\approx 0,30\mathrm{A}$.

Rezistența exterioară fiind mult mai mare decât rezistența internă a unui element, cel mai mare curent se obține cu gruparea în serie. Gruparea în paralel este avantajoasă numai când rezistența exterioară este mică.

Înainte de calcul, stabilește polaritățile: sursele concordante își adună t.e.m., cele în opoziție și le scad. Pentru două surse identice de $E=1,5\mathrm{V}$ și $r=0,5\Omega$, în serie concordantă rezultă $E_{\mathrm{ech}}=3,0\mathrm{V}$ și $r_{\mathrm{ech}}=1,0\Omega$; în paralel rezultă $E_{\mathrm{ech}}=1,5\mathrm{V}$ și $r_{\mathrm{ech}}=0,25\Omega$. Nu confunda t.e.m. cu tensiunea la borne sub sarcină. Gruparea în serie dă tensiune mai mare, gruparea în paralel dă curent maxim mai mare, iar gruparea mixtă cu $m$ ramuri și $n$ surse pe ramură folosește $nm$ surse. Curentul prin rezistorul exterior este maxim, pentru un număr dat de surse, când rezistența internă echivalentă este cât mai apropiată de rezistența exterioară; verifică această condiție înainte de a alege varianta de grupare. La final, controlează rezultatul: tensiunea la bornele grupării este mai mică decât $E_{\mathrm{ech}}$ și trebuie să fie egală cu produsul dintre curent și rezistența exterioară.

Exemplu în format de grilă. Trei surse identice, fiecare cu $E=4\mathrm{V}$ și $r=1\Omega$, se leagă în serie, cu bornele concordante, la un rezistor cu rezistența $R=9\Omega$. Intensitatea curentului prin rezistor este:

• a) $1,0\mathrm{A}$
• b) $1,2\mathrm{A}$
• c) $1,33\mathrm{A}$
• d) $0,43\mathrm{A}$

Rezolvare.

1. T.e.m. echivalentă este $E_s=3\cdot 4=12\mathrm{V}$, iar rezistența internă echivalentă este $r_s=3\cdot 1=3\Omega$.
2. Rezistența totală este $R+r_s=9+3=12\Omega$.
3. Intensitatea este $I=E_s/(R+r_s)=12/12=1,0\mathrm{A}$.
4. Varianta b) apare dacă rezistența internă nu se triplează ($12/10$), varianta c) dacă se neglijează rezistența internă ($12/9$), iar varianta d) dacă sursele se consideră în paralel ($4/(9+1/3)$).

Răspuns corect: a).

Greșeli frecvente

• Greșit: a aduna t.e.m. ale unor surse montate în opoziție ca și cum ar fi concordante.
  Corect: la sursele în opoziție tensiunile electromotoare se scad, $E_{\mathrm{ech}}=E_1-E_2$, dacă prima sursă are t.e.m. mai mare.
• Greșit: a spune că paralelul a două surse identice dublează t.e.m.
  Corect: în paralel, sursele identice dau aceeași t.e.m. $E$; se înjumătățește rezistența internă.
• Greșit: a ignora rezistența internă atunci când se cere tensiunea la borne.
  Corect: în regim de debitare, $U=E-Ir$.

Înainte și după