Perimetre și arii plane

Perimetrul este lungimea conturului unei figuri. Pentru un dreptunghi, mergi cu degetul pe toate cele patru laturi și le aduni. Dacă laturile sunt $4$ cm și $2$ cm, conturul are $4+2+4+2=12$ cm. Scriem și $P=2(L+l)$. Pătratul cu latura $a$ are perimetrul $P=4\cdot a$.

Aria arată cât loc acoperă figura în interior. Un pătrățel cu latura de $1$ cm acoperă $1$ cm${}^2$. Dacă un dreptunghi are $4$ pătrățele pe un rând și $2$ rânduri, acoperă $4\cdot 2=8$ pătrățele, deci aria lui este $8$ cm${}^2$. Pentru dreptunghi, formula este $A=L\cdot l$, iar pentru pătrat $A=a\cdot a=a^2$. Perimetrul se măsoară în unități de lungime (cm, m), iar aria în unități pătrate (cm${}^2$, m${}^2$). Un pătrat cu latura de $1$ m are aria de $1$ m${}^2$; cum $1$ m $=100$ cm, aceeași arie este $100\cdot 100=10000$ cm${}^2$. Două figuri pot avea aceeași arie și perimetre diferite.

Perimetrul oricărui poligon se află adunând lungimile tuturor laturilor. Un poligon cu laturile de $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm și $6$ cm are perimetrul $3+4+5+6=18$ cm. Pentru o figură formată din mai multe dreptunghiuri, aria se află adunând ariile lor: un dreptunghi de $4$ cm pe $2$ cm și unul de $3$ cm pe $2$ cm, puse alăturat, acoperă $8+6=14$ cm${}^2$.

Exemplul 1. Un pătrat are latura de $3$ cm.

1. Perimetrul este $4\cdot 3=12$ cm.
2. Aria este $3\cdot 3=9$ cm${}^2$.
3. Verificăm: am folosit patru laturi pentru contur și trei rânduri de câte trei pătrățele pentru interior.

Exemplul 2. Un dreptunghi are aria de $24$ cm${}^2$ și lățimea de $4$ cm. Lungimea este $24:4=6$ cm, iar perimetrul este $2\cdot (6+4)=20$ cm.

Pentru alte figuri se folosesc formule, începând cu clasa a V-a. Triunghiul este jumătate dintr-un dreptunghi sau paralelogram cu aceeași bază și înălțime: $A=\frac{b\cdot h}{2}$. Paralelogramul are $A=b\cdot h$, trapezul cu bazele $B$ și $b$ are $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$, iar discul de rază $r$ are lungimea cercului $L=2\pi r$ și aria $A=\pi r^2$. Înălțimea $h$ este perpendiculară pe baza aleasă. În fiecare formulă, lungimile trebuie să fie în aceeași unitate. Desenează figura și arată ce este baza, latura ori raza înainte de a înlocui numerele. De exemplu, un triunghi cu baza de $10$ cm și înălțimea corespunzătoare de $6$ cm are aria $\frac{10\cdot 6}{2}=30$ cm${}^2$, jumătate din aria dreptunghiului cu aceleași dimensiuni, care are $60$ cm${}^2$.

Pentru un triunghi nedegenerat cu laturile $a,b,c>0$, formula lui Heron este $A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, unde $p=\frac{a+b+c}{2}$ este semiperimetrul. Lungimile trebuie să respecte inegalitățile triunghiului. Înălțimea pe latura $a$ este $h_a=\frac{2A}{a}$. Dacă sunt cunoscute două laturi și unghiul cuprins, $A=\frac{ab\sin C}{2}$, cu $0^{\circ }<C<180^{\circ }$. În particular, triunghiul echilateral de latură $l>0$ are înălțimea $\frac{l\sqrt{3}}{2}$, deci $A=\frac{1}{2}\cdot l\cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. Pentru o figură compusă, aria se află adunând sau scăzând arii cunoscute, iar perimetrul se obține numărând doar segmentele de pe contur.

Pentru romb, diagonalele perpendiculare dau $A=\frac{d_1{d}_2}{2}$. Pentru paralelogram, $A=bh$, iar pentru trapez, $A=\frac{(B+b)h}{2}$; înălțimea este perpendiculară pe baza aleasă. Formula trapezului rezultă din împărțirea lui cu o diagonală în două triunghiuri, cu ariile $\frac{Bh}{2}$ și $\frac{bh}{2}$. Lungimea cercului de rază $r>0$ este $L=2\pi r$. Arcul cu unghiul la centru $\alpha \in [0^{\circ };360^{\circ }]$ are lungimea $\frac{\alpha \pi r}{180^{\circ }}$, iar sectorul corespunzător are aria $A_s=\frac{\alpha \pi r^2}{360^{\circ }}$; pentru măsura în radiani $\theta \in [0;2\pi ]$, aceeași formulă este $A_s=\frac{r^2\theta }{2}$.

La figuri asemenea, raportul lungimilor $k>0$ produce raportul ariilor $k^2$. Ariile regiunilor cu interioare disjuncte se adună, iar segmentele interioare comune nu intră în perimetrul exterior.

Exemplul 1. Triunghiul cu laturile $13;14;15$ cm are $p=\frac{13+14+15}{2}=21$ cm. Factorii sunt $p-a=8$, $p-b=7$ și $p-c=6$. Rezultă $A=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$ cm${}^2$. Înălțimea pe latura de $14$ cm este $\frac{2\cdot 84}{14}=12$ cm.

Exemplul 2. Un trapez isoscel are bazele de $20$ cm și $8$ cm, iar laturile neparalele de câte $10$ cm. Aflați perimetrul și aria.

1. Perimetrul este $20+8+10+10=48$ cm.
2. Înălțimile duse din capetele bazei mici taie din baza mare segmente de $\frac{20-8}{2}=6$ cm.
3. Înălțimea este $\sqrt{10^2-6^2}=8$ cm.
4. Aria este $\frac{(20+8)\cdot 8}{2}=112$ cm${}^2$.

Exemplul 3. Un sector de cerc are raza de $6$ cm și unghiul la centru de $60^{\circ }$. Lungimea arcului este $\frac{60\pi \cdot 6}{180}=2\pi$ cm, iar aria sectorului este $\frac{60\pi \cdot 36}{360}=6\pi$ cm${}^2$. Perimetrul sectorului este $6+6+2\pi =12+2\pi$ cm.

Exemplul 4. Un romb are diagonalele de $12$ cm și $16$ cm. Aria este $\frac{12\cdot 16}{2}=96$ cm${}^2$. Latura este $\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm, deci din $A=bh$ înălțimea rombului este $\frac{96}{10}=9,6$ cm.

Exemplul 5. Triunghiul $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este asemenea cu $ABC$, cu raportul de asemănare $k=\frac{3}{2}$. Triunghiul $ABC$ are perimetrul de $24$ cm și aria de $40$ cm${}^2$. Perimetrul lui $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este $\frac{3}{2}\cdot 24=36$ cm, iar aria lui este ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2\cdot 40=90$ cm${}^2$.

Exemplul 6. Dintr-un dreptunghi de $8$ cm pe $5$ cm decupăm un pătrat de latură $2$ cm dintr-un colț.

1. Aria inițială este $8\cdot 5=40$ cm${}^2$.
2. Aria eliminată este $2^2=4$ cm${}^2$, deci rămân $36$ cm${}^2$.
3. Perimetrul inițial este $2(8+5)=26$ cm.
4. Decuparea elimină $2$ segmente exterioare de câte $2$ cm și adaugă alte $2$ de aceeași lungime. Perimetrul rămâne $26$ cm, deși aria scade.

Perimetre și arii plane de tipărit

Două fișe despre perimetre și arii plane, pentru lucru după lecție. Fiecare fișă are șase sarcini scurte din lecție și o cheie cu răspunsurile.

• 

  Perimetrul figurilor

  Deschide fișa
• 

  Aria dreptunghiului și pătratului

  Deschide fișa

Greșeli frecvente

• Greșit: $1$ m${}^2=100$ cm${}^2$.
  Corect: $1$ m${}^2=100^2=10000$ cm${}^2$.
• Greșit: după decupare perimetrul scade odată cu aria, la $26-4=22$ cm.
  Corect: dispar $2$ segmente de câte $2$ cm, dar apar alte $2$ de câte $2$ cm; perimetrul rămâne $26$ cm.
• Greșit: un dreptunghi cu laturile de $5$ cm și $3$ cm are aria $16$ cm.
  Corect: $16$ cm este perimetrul; aria este $5\cdot 3=15$ cm${}^2$, iar unitatea ei este pătrată.
• Greșit: un triunghi cu baza de $10$ cm și înălțimea de $6$ cm are aria $60$ cm${}^2$.
  Corect: se împarte la $2$, deci aria este $30$ cm${}^2$.
• Greșit: la trapezul isoscel cu laturile neparalele de $10$ cm, înălțimea este $10$ cm.
  Corect: latura neparalelă este oblică și este ipotenuza unui triunghi dreptunghic; înălțimea este $8$ cm.

Înainte și după

Întrebări frecvente