Transformările gazului ideal

Densitatea gazului ideal: $\rho =\frac{p\mu }{RT}$.

Un gaz poate trece dintr-o stare în alta: se încălzește, se comprimă sau se extinde. Pentru a descrie schimbarea, măsurăm presiunea $p$, volumul $V$ și temperatura absolută $T$. Dacă vasul este închis și gazul nu iese, cantitatea de substanță rămâne aceeași. Când menținem constantă una dintre cele trei mărimi, obținem o transformare izobară, izocoră sau izotermă.

La o transformare izotermă temperatura este constantă. La una izobară, presiunea rămâne constantă. La una izocoră, volumul nu se schimbă. O transformare adiabatică are schimb de căldură neglijabil cu mediul pe durata ei. Aceste nume spun ce condiție impunem; nu spun singure dacă gazul este încălzit sau răcit. Pentru aceasta trebuie să comparăm stările inițială și finală.

Pe o diagramă $p$–$V$, izoterma gazului ideal este o hiperbolă, izobara o dreaptă orizontală, iar izocora una verticală; adiabata cvasistatică este mai abruptă decât izoterma. În diagramele $p$–$T$ și $V$–$T$, transformările izocoră și izobară apar ca drepte când cantitatea de gaz este fixă. Graficele arată ce mărime rămâne constantă și cum evoluează celelalte.

Această lecție oferă imaginea de ansamblu. Relațiile și graficele fiecărei transformări se află în „Transformarea izotermă”, „Transformarea izobară”, „Transformarea izocoră” și „Transformarea adiabatică”. Pentru toate, începe cu alegerea sistemului și cu unități SI.

O stare de echilibru a unei cantități fixe de gaz ideal este fixată de două dintre mărimile $p$, $V$, $T$; a treia rezultă din ecuația de stare $pV=\nu RT$. Orice transformare între două stări respectă legea generală $\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$, iar fiecare condiție particulară (o mărime constantă, sau $Q=0$) o simplifică:

• izoterma ($T$ constantă): $p_1{V}_1=p_2{V}_2$;
• izobara ($p$ constantă): $V_1/T_1=V_2/T_2$;
• izocora ($V$ constant): $p_1/T_1=p_2/T_2$;
• adiabata cvasistatică ($Q=0$): $p_1{V}_1^{\gamma }=p_2{V}_2^{\gamma }$.

Mărimile $p$, $V$, $T$ și $U$ sunt mărimi de stare: valoarea lor depinde numai de starea gazului. Lucrul $L$ și căldura $Q$ sunt mărimi de proces: depind de drumul parcurs între stări. Variația energiei interne este aceeași pe orice drum, $\Delta U=\nu C_V\Delta T$, deoarece depinde numai de temperaturile extreme. Principiul I leagă cele trei mărimi: $Q=\Delta U+L$, cu $L>0$ la destindere și $Q>0$ la primire de căldură.

Pe diagrama $p$–$V$, lucrul este aria cu semn de sub curbă. Pentru un segment drept de la $(V_1,p_1)$ la $(V_2,p_2)$ aria este un trapez, $L=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)$. Temperatura este proporțională cu produsul $pV$, deci produsul $pV$ indică încălzirea sau răcirea fără să fie nevoie de $\nu$. O curbă în diagramă descrie o succesiune de stări de echilibru, adică o transformare cvasistatică; o comprimare bruscă, în care presiunea nu este aceeași în tot volumul, are stare inițială și stare finală reprezentabile, dar nu are curbă între ele.

Toate legile rezultă din ecuația termică de stare, $pV=\nu RT$, prezentată în noțiunile de termodinamică. Pentru o masă constantă de gaz, $\nu$ este constant, deci $\frac{pV}{T}=\nu R$ rămâne același. Dacă și unul dintre parametri e fix, ceilalți doi sunt legați simplu:

• la $T$ constant, $pV$ este constant: dacă micșorezi volumul de două ori, presiunea se dublează;
• la $p$ constant, $V$ este proporțional cu $T$: gazul încălzit într-un cilindru cu piston liber se dilată;
• la $V$ constant, $p$ este proporțional cu $T$: într-un vas închis, gazul încălzit apasă mai tare pe pereți.

În coordonate $(V,T)$, izobara este o dreaptă care trece prin origine; în $(p,T)$, la fel izocora. O pantă mai mare înseamnă, în $(V,T)$, o presiune mai mică, iar în $(p,T)$, un volum mai mic.

Pașii pentru o problemă:

1. Verifici că masa de gaz este constantă (fără scăpări sau adăugări).
2. Treci temperaturile în kelvini; presiunile și volumele pot rămâne în aceleași unități de o parte și de alta a ecuației.
3. Identifici ce rămâne constant și alegi legea; dacă nu rămâne nimic constant, folosești legea generală.

Exemplu rezolvat 1. Un gaz ideal monoatomic trece din starea A ($p_A=1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$, $V_A=10\mathrm{L}$) în starea B ($p_B=2,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$, $V_B=30\mathrm{L}$). Pe drumul 1 gazul se încălzește întâi izocor până la $p_B$, apoi izobar până la $V_B$; pe drumul 2, întâi izobar până la $V_B$, apoi izocor până la $p_B$. Comparăm cele două drumuri.

1. Variația energiei interne este aceeași: $\Delta U=\frac{3}{2}(p_B{V}_B-p_A{V}_A)=\frac{3}{2}(6000-1000)\mathrm{J}=7500\mathrm{J}$, cu $p_B{V}_B=2,0\cdot 10^5\cdot 3,0\cdot 10^{-2}\mathrm{J}=6000\mathrm{J}$.
2. Pe drumul 1, gazul se destinde la $p_B$: $L_1=p_B(V_B-V_A)=2,0\cdot 10^5\cdot 2,0\cdot 10^{-2}\mathrm{J}=4000\mathrm{J}$.
3. Pe drumul 2, gazul se destinde la $p_A$: $L_2=1,0\cdot 10^5\cdot 2,0\cdot 10^{-2}\mathrm{J}=2000\mathrm{J}$.
4. Căldurile sunt $Q_1=\Delta U+L_1=11500\mathrm{J}$ și $Q_2=\Delta U+L_2=9500\mathrm{J}$.

Aceleași stări extreme, dar lucrul și căldura diferă cu $2000\mathrm{J}$, adică cu aria dreptunghiului închis de cele două drumuri.

Exemplu rezolvat 2. Un gaz ideal trece din A ($p_A=3,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$, $V_A=4,0\mathrm{L}$, $T_A=300\mathrm{K}$) în B ($p_B=1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$, $V_B=12\mathrm{L}$) pe segmentul de dreaptă AB din diagrama $p$–$V$. Aflăm temperaturile, lucrul și căldura.

1. Produsele sunt $p_A{V}_A=1200\mathrm{J}$ și $p_B{V}_B=1200\mathrm{J}$, deci $T_B=T_A=300\mathrm{K}$: cele două stări se află pe aceeași izotermă.
2. La mijlocul segmentului, $p=2,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ și $V=8,0\mathrm{L}$, deci $pV=1600\mathrm{J}$ și $T=300\cdot 1600/1200\mathrm{K}=400\mathrm{K}$.
3. Lucrul este aria trapezului: $L=\frac{3,0+1,0}{2}\cdot 10^5\cdot 8,0\cdot 10^{-3}\mathrm{J}=1600\mathrm{J}$.
4. Cum $\Delta T=0$, rezultă $\Delta U=0$ și $Q=L=1600\mathrm{J}$.

Dreapta AB iese din izotermă, iar temperatura atinge un maxim la mijloc. Pe izoterma dintre aceleași stări, lucrul ar fi doar $1200\ln 3\mathrm{J}\simeq 1318\mathrm{J}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 3: comprimarea izotermă

Un gaz ocupă $2\text{L}$ la presiunea de $10^5\text{Pa}$ și este comprimat izoterm până la $0,5\text{L}$. Ce presiune are?

1. $p_2=\frac{p_1{V}_1}{V_2}=\frac{10^5\cdot 2}{0,5}=4\cdot 10^5\text{Pa}$.

Volumul a scăzut de $4$ ori, presiunea a crescut de $4$ ori.

Exemplul 4: încălzirea izobară

Aerul dintr-un cilindru închis cu un piston care alunecă liber ocupă $4\text{L}$ la $7{}^{\circ }\text{C}$. Cilindrul este încălzit până la $77{}^{\circ }\text{C}$, presiunea rămânând cea atmosferică. Ce volum ocupă aerul?

1. $T_1=280\text{K}$, $T_2=350\text{K}$.
2. $V_2=V_1\frac{T_2}{T_1}=4\cdot \frac{350}{280}=5\text{L}$.

Dacă ai fi folosit grade Celsius, ai fi obținut $4\cdot \frac{77}{7}=44\text{L}$, un rezultat absurd.

Exemplul 5: un tub de spray încălzit

Un tub metalic închis conține gaz la $3\cdot 10^5\text{Pa}$ și $20{}^{\circ }\text{C}$. Ce presiune ar avea gazul dacă tubul ar ajunge la $300{}^{\circ }\text{C}$ (volumul se consideră constant)?

1. $T_1=293\text{K}$, $T_2=573\text{K}$.
2. $p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}=3\cdot 10^5\cdot \frac{573}{293}\approx 5,9\cdot 10^5\text{Pa}$.

Presiunea aproape se dublează; de aceea pe astfel de tuburi scrie să nu fie expuse la căldură.

Exemplul 6: transformarea generală

O masă de gaz trece din starea $p_1=1,2\cdot 10^5\text{Pa}$, $V_1=5\text{L}$, $T_1=290\text{K}$ în starea cu $p_2=2\cdot 10^5\text{Pa}$ și $T_2=348\text{K}$. Ce volum are în starea finală?

1. $V_2=V_1\cdot \frac{p_1}{p_2}\cdot \frac{T_2}{T_1}=5\cdot \frac{1,2}{2}\cdot \frac{348}{290}=5\cdot 0,6\cdot 1,2=3,6\text{L}$.

Exemplul 7: balonul meteorologic

Un balon meteorologic conține la sol $2{\text{m}}^3$ de heliu, la presiunea de $10^5\text{Pa}$ și temperatura de $17{}^{\circ }\text{C}$. Balonul urcă până unde presiunea aerului este $0,5\cdot 10^5\text{Pa}$, iar temperatura $-23{}^{\circ }\text{C}$. Ce volum are heliul acolo? (Învelișul este elastic, deci presiunea heliului este egală cu a aerului din jur; heliul nu scapă.)

1. Temperaturile: $T_1=290\text{K}$, $T_2=250\text{K}$.
2. Se schimbă și presiunea, și temperatura, deci folosești legea generală: $V_2=V_1\cdot \frac{p_1}{p_2}\cdot \frac{T_2}{T_1}=2\cdot 2\cdot \frac{250}{290}\approx 3,45{\text{m}}^3$.

Fără răcire, volumul s-ar fi dublat, la $4{\text{m}}^3$; răcirea îl micșorează cu aproximativ $14\%$ față de această valoare.

La examen, aceeași transformare este dată într-una dintre trei diagrame, iar problema cere trecerea în alta. Tabloul transformărilor pentru o cantitate fixă de gaz ideal:

• izoterma: hiperbolă în $p$–$V$, segment vertical în $p$–$T$ și în $V$–$T$;
• izobara: segment orizontal în $p$–$V$ și în $p$–$T$, semidreaptă prin origine în $V$–$T$;
• izocora: segment vertical în $p$–$V$, semidreaptă prin origine în $p$–$T$, segment orizontal în $V$–$T$.

Metoda este aceeași pentru orice ciclu: se numerotează stările, se află cu legea generală mărimile lipsă, apoi se calculează pe fiecare etapă $L$ (aria), $\Delta U$ (din $\nu C_V\Delta T$ sau din $\Delta (pV)$) și $Q=\Delta U+L$. Pe un ciclu complet $\Delta U=0$ și $L_{\mathrm{net}}=Q_{\mathrm{net}}$; lucrul net este pozitiv când conturul se parcurge în sensul acelor de ceasornic în diagrama $p$–$V$. Capcane: o dreaptă oarecare în $p$–$T$ sau în $V$–$T$ nu este izocoră sau izobară decât dacă, prelungită, trece prin origine; axele cu grade Celsius mută originea la $-273{}^{\circ }\mathrm{C}$; sensul de parcurs schimbă semnul lucrului.

Un gaz ideal parcurge în diagrama $p$–$V$ ciclul $1\to 2\to 3\to 1$. Transformarea $1\to 2$ este izocoră, cu $V=3,0\mathrm{L}$, de la $p_1=1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ la $p_2=2,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$; transformarea $2\to 3$ este izobară, până la $V_3=6,0\mathrm{L}$; transformarea $3\to 1$ este un segment de dreaptă. Lucrul efectuat de gaz într-un ciclu este:

• a) $-150\mathrm{J}$
• b) $150\mathrm{J}$
• c) $300\mathrm{J}$
• d) $600\mathrm{J}$

Rezolvare.

1. Ciclul închide un triunghi cu catetele $\Delta p=1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ și $\Delta V=3,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$, deci aria este $\frac{1}{2}\cdot 10^5\cdot 3,0\cdot 10^{-3}\mathrm{J}=150\mathrm{J}$.
2. Conturul urcă pe $1\to 2$, merge spre dreapta pe $2\to 3$ și revine în $1$: sensul este orar, deci $L>0$.
3. Verificare pe etape: $L_{12}=0$, $L_{23}=2,0\cdot 10^5\cdot 3,0\cdot 10^{-3}\mathrm{J}=600\mathrm{J}$, $L_{31}=\frac{2,0+1,0}{2}\cdot 10^5\cdot (-3,0\cdot 10^{-3})\mathrm{J}=-450\mathrm{J}$; suma este $150\mathrm{J}$.
4. Varianta a) schimbă sensul de parcurs, c) ia aria dreptunghiului în loc de triunghi, iar d) reține numai etapa izobară.

Răspuns corect: b).

Unde apare la examen

• Admiterea la Medicină, UMF „Carol Davila”: transformările gazului ideal intră în tema „Aplicarea principiului I al termodinamicii la transformările gazului ideal”, din tematica de fizică 2026 (tematica 2026).
• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul B, programa de examen cere transformările simple ale gazului ideal (izobară, izocoră, izotermă, adiabatică), cu energia internă, lucrul mecanic și căldura pentru fiecare (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).
• Înainte și după: înainte de această lecție ai nevoie de ecuația termică de stare și de temperatura absolută, din noțiunile de termodinamică, și de presiunea hidrostatică, din mecanică. După ea urmează principiul I al termodinamicii, cu căldura și lucrul mecanic în fiecare transformare, și motoarele termice.

Greșeli frecvente

• Greșit: a confunda „izoterm” cu „adiabatic”: primul fixează $T$, al doilea impune $Q=0$.
  Corect: izoterma păstrează $T$ constantă, adiabata are $Q=0$.
• Greșit: a calcula lucrul gazului numai din stările finale fără să cunoască traseul procesului.
  Corect: lucrul gazului depinde de traseu și este aria de sub graficul $p(V)$.
• Greșit: a folosi temperatura Celsius în legea gazului ideal.
  Corect: în $pV=\nu RT$, temperatura se exprimă în kelvin.
• Greșit: variația energiei interne depinde de drumul dintre două stări, ca lucrul.
  Corect: $\Delta U=\nu C_V\Delta T$ depinde numai de temperaturile extreme, iar $L$ și $Q$ depind de drum.
• Greșit: orice dreaptă din diagrama $p$–$T$ este o izocoră.
  Corect: izocora este o dreaptă care, prelungită, trece prin origine.
• Greșit: La adâncimea $h$ într-un lichid, presiunea este doar $\rho gh$.
  Corect: presiunea este $p_0+\rho gh$.
• Greșit: Legile transformărilor se aplică și când gazul scapă dintr-o butelie.
  Corect: legile sunt pentru o masă constantă; când gazul scapă, folosești ecuația de stare pentru fiecare stare, cu $\nu$ diferit.
• Greșit: În $pV=\nu RT$ volumul poate rămâne în litri și presiunea în pascali.
  Corect: în rapoartele dintre stări unitățile se simplifică, dar în $pV=\nu RT$ volumul trebuie în ${\text{m}}^3$.

Înainte și după

Întrebări frecvente