Transformarea izotermă

O transformare izotermă are temperatura constantă. Pentru o cantitate fixă de gaz ideal, legea Boyle–Mariotte este $pV=const.$: la înjumătățirea volumului, presiunea absolută se dublează. Într-un cilindru cu piston mobil și în contact termic cu un rezervor, deplasarea cvasistatică a pistonului permite schimbul de căldură necesar menținerii temperaturii.

La comprimarea izotermă a gazului ideal, mediul efectuează lucru asupra gazului, iar gazul cedează rezervorului aceeași cantitate de energie prin căldură: $Q=L<0$, cu $L$ lucrul făcut de gaz. La destinderea izotermă, gazul primește căldură și efectuează lucru egal cu ea: $Q=L>0$. Energia internă nu se schimbă deoarece temperatura rămâne constantă.

Relația $pV=const.$ cere o cantitate fixă de gaz ideal. Nu o aplica unui balon din care iese gaz sau unei comprimări care modifică temperatura.

În coordonate $(V,p)$, izoterma gazului ideal este o hiperbolă echilateră. Fiecare punct reprezintă o stare de echilibru la aceeași temperatură. Pentru un gaz real, mai ales lângă condensare, modelul ideal nu descrie exact măsurările.

Pentru o cantitate fixă de gaz ideal, ecuația de stare $pV=\nu RT$ cu $T$ constantă dă legea Boyle–Mariotte: $p_1{V}_1=p_2{V}_2=\nu RT$. Produsul $pV$ caracterizează izoterma: izoterma unei temperaturi mai mari are $pV$ mai mare și se află mai departe de axele $(V,p)$. În coordonatele $(1/V,p)$ ea devine o dreaptă prin origine, iar în diagramele $(p,T)$ și $(V,T)$ este un segment vertical, deoarece $T$ nu se schimbă. Presiunea este cea absolută, iar în calculele de energie volumul se exprimă în ${\mathrm{m}}^3$: $1\mathrm{L}=10^{-3}{\mathrm{m}}^3$.

O bulă de aer care urcă de la 20 m adâncime într-un lac trece de la presiunea $p=p_0+\rho gh=10^5+1000\cdot 10\cdot 20=3\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ la $10^5\mathrm{Pa}$. Dacă aerul din bulă rămâne la temperatura apei, volumul bulei se triplează. Un mol de gaz ideal la $300\mathrm{K}$ și $10^5\mathrm{Pa}$ ocupă $V=\nu RT/p\simeq 24,9\mathrm{L}$.

Energia internă a gazului ideal depinde numai de temperatură, deci $\Delta U=0$ și principiul I dă $Q=L$. Convenția este: $L>0$ când gazul efectuează lucru, $Q>0$ când gazul primește căldură. Pentru transformarea cvasistatică, lucrul este aria de sub hiperbolă:

La destindere $V_2>V_1$, deci $L>0$ și gazul primește căldura $Q=L$ de la rezervor. La comprimare $L<0$ și gazul cedează căldura $|Q|=|L|$. Izoterma nu este dreaptă, deci $L\ne p\Delta V$: la destindere, lucrul real se află între $p_2\Delta V$ și $p_1\Delta V$, deoarece presiunea scade de la $p_1$ la $p_2$.

Cazuri-limită: la destinderea în vid a gazului ideal, $Q=0$, $L=0$ și $T$ rămâne aceeași, dar procesul nu trece prin stări de echilibru, deci logaritmul nu se aplică. Sub temperatura critică, un gaz real comprimat izoterm începe să se condenseze, iar presiunea rămâne constantă cât timp coexistă lichidul și vaporii; hiperbola nu mai descrie curba.

Exemplu rezolvat 1. Un cilindru cu piston conține $\nu =0,50\mathrm{mol}$ de gaz ideal la $T=300\mathrm{K}$. Gazul se destinde izoterm și cvasistatic de la $V_1=2,0\mathrm{L}$ la $V_2=5,0\mathrm{L}$. Aflăm presiunile, lucrul și căldura schimbată cu rezervorul, cu $R=8,31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$.

1. Calculăm $\nu RT=0,50\cdot 8,31\cdot 300\mathrm{J}=1246,5\mathrm{J}$ și exprimăm volumele în ${\mathrm{m}}^3$: $V_1=2,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$, $V_2=5,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$.
2. Presiunea inițială este $p_1=\nu RT/V_1\simeq 6,23\cdot 10^5\mathrm{Pa}$.
3. Presiunea finală este $p_2=\nu RT/V_2\simeq 2,49\cdot 10^5\mathrm{Pa}$.
4. Lucrul este $L=\nu RT\ln (V_2/V_1)=1246,5\cdot \ln 2,5\mathrm{J}\simeq 1142\mathrm{J}$.
5. Deoarece $\Delta U=0$, căldura primită este $Q=L\simeq 1,14\mathrm{kJ}$.

Gazul primește de la rezervor $1,14\mathrm{kJ}$ și îi transformă integral în lucru efectuat asupra mediului. Valoarea se încadrează între $p_2\Delta V\simeq 748\mathrm{J}$ și $p_1\Delta V\simeq 1870\mathrm{J}$, cum cere forma hiperbolei.

Exemplu rezolvat 2. Aerul dintr-o seringă etanșă ocupă $V_1=20\mathrm{mL}$ la $p_1=10^5\mathrm{Pa}$. Pistonul este împins foarte lent până la $V_2=5,0\mathrm{mL}$, iar aerul rămâne la temperatura camerei. Aflăm presiunea finală și căldura cedată.

1. Exprimăm volumul inițial în ${\mathrm{m}}^3$: $V_1=2,0\cdot 10^{-5}{\mathrm{m}}^3$. Raportul $V_2/V_1=0,25$ nu depinde de unitate.
2. Presiunea finală este $p_2=p_1{V}_1/V_2=4,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ (absolută); presiunea manometrică ar fi doar $3,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$.
3. Produsul $p_1{V}_1$ este $10^5\cdot 2,0\cdot 10^{-5}\mathrm{J}=2,0\mathrm{J}$.
4. Lucrul este $L=p_1{V}_1\ln (V_2/V_1)=2,0\cdot \ln 0,25\mathrm{J}\simeq -2,77\mathrm{J}$.
5. Cu $\Delta U=0$, rezultă $Q=L\simeq -2,77\mathrm{J}$.

Ambele semne sunt negative: mediul face asupra aerului un lucru de $2,77\mathrm{J}$, iar aerul cedează camerei aceeași energie ca și căldură. Temperatura nu crește, deoarece pistonul se mișcă lent.

La Bacalaureat și la admitere, izoterma apare în patru situații tipice. Prima este gazul închis într-un tub cu un dop de mercur de lungime $h$: presiunea gazului este $p_0+h$ când tubul stă cu gura în sus și $p_0-h$ când stă cu gura în jos (în cmHg sau mmHg). Aria secțiunii este aceeași, deci în legea Boyle–Mariotte se pun direct lungimile coloanei de gaz. Pentru $p_0=76\mathrm{cmHg}$, $h=19\mathrm{cm}$ și $l_1=30\mathrm{cm}$, răsturnarea tubului dă $(76+19)\cdot 30=(76-19)\cdot l_2$, adică $l_2=50\mathrm{cm}$, cu condiția ca dopul să rămână în tub.

A doua situație este un piston de masă $m$ și arie $S$, la care $p=p_0+mg/S$; după adăugarea lentă a unei mase, noua presiune se scrie cu masa totală. A treia este legarea a două recipiente printr-un robinet, cu același gaz la aceeași temperatură: cantitatea totală de gaz se conservă, deci $p(V_1+V_2)=p_1{V}_1+p_2{V}_2$. A patra este calculul lucrului din raportul volumelor sau al presiunilor, cu $\ln x\simeq 2,3\lg x$. Enunțul precizează valoarea logaritmului necesar.

Capcane frecvente: presiunea manometrică luată drept absolută; cantitatea de gaz care se modifică (un pneu care pierde aer nu respectă $pV=const.$); logaritmul zecimal în loc de cel natural; $L=p\Delta V$ aplicată izotermei. Raportul $V_2/V_1$ se poate face în orice unitate, dar produsul $\nu RT$ sau $p_1{V}_1$ trebuie să fie în jouli.

Doi moli de gaz ideal se destind izoterm și cvasistatic, la $T=300\mathrm{K}$, de la $V_1=4,0\mathrm{L}$ la $V_2=12\mathrm{L}$. Se dau $R=8,31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ și $\ln 3\simeq 1,10$. Lucrul efectuat de gaz este:

• a) $2,38\mathrm{kJ}$
• b) $4,99\mathrm{kJ}$
• c) $5,48\mathrm{kJ}$
• d) $9,97\mathrm{kJ}$

Rezolvare.

1. Procesul este izoterm cvasistatic, deci $L=\nu RT\ln (V_2/V_1)$, cu $V_2/V_1=3$.
2. Calculăm $\nu RT=2\cdot 8,31\cdot 300\mathrm{J}=4986\mathrm{J}$.
3. Obținem $L=4986\cdot 1,10\mathrm{J}\simeq 5,48\mathrm{kJ}$.
4. Varianta a) folosește logaritmul zecimal, b) omite logaritmul, iar d) aplică formula izobară $p_1\Delta V$ cu presiunea inițială.

Răspuns corect: c).

Greșeli frecvente

• Greșit: la izotermă $\Delta T=0$, deci $Q=0$.
  Corect: la gazul ideal, $\Delta U=0$ și, cu convenția lucrului făcut de gaz, $Q=L$.
• Greșit: a folosi presiunea manometrică în locul presiunii absolute.
  Corect: în legea Boyle–Mariotte se folosește presiunea absolută.
• Greșit: la destinderea izotermă gazul își micșorează energia internă fiindcă efectuează lucru.
  Corect: $\Delta U=0$, iar lucrul efectuat este acoperit de căldura primită de la rezervor.
• Greșit: a calcula lucrul izotermei cu $L=p\Delta V$.
  Corect: presiunea variază pe parcurs, deci $L=\nu RT\ln (V_2/V_1)$.
• Greșit: a calcula lucrul cvasistatic pentru un proces cu frecare.
  Corect: formula $L=\nu RT\ln (V_2/V_1)$ se aplică izotermei cvasistatice fără frecare.

Înainte și după