Lucru mecanic și putere mecanică

Ridici un ghiozdan de pe podea pe bancă: mâna trage în sus, iar ghiozdanul se deplasează în sus. Forța mâinii efectuează atunci lucru mecanic. Dacă doar ții ghiozdanul în aer, mușchii obosesc, dar punctul de aplicație al forței nu se deplasează, deci lucrul mecanic al forței tale este zero. În fizică, „lucru mecanic” are un înțeles precis, diferit de „muncă” din vorbirea de zi cu zi.

Când forța este constantă și are sensul deplasării, lucrul mecanic este produsul dintre forță și deplasare: $L=F\cdot d$. Unitatea de măsură este joule-ul: $1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot 1\mathrm{m}$. Dacă împingi o cutie cu $10\mathrm{N}$ pe distanța de $2\mathrm{m}$, în sensul forței, lucrul este $20\mathrm{J}$. Semnul lucrului depinde de orientarea forței față de deplasare:

• forța are sensul deplasării: lucrul este pozitiv (forța motorului unui tren care pornește din stație);
• forța are sens opus deplasării: lucrul este negativ (frâna care oprește bicicleta);
• forța este perpendiculară pe deplasare: lucrul este nul (pe un coridor orizontal, forța cu care ții ghiozdanul este verticală, iar deplasarea este orizontală).

Lucrul nu spune cât de repede a fost efectuat. Doi elevi urcă același sac pe același raft, dar unul îl urcă mai repede: lucrul este același, însă diferă puterea mecanică, $P=L/t$. Unitatea ei este wattul: $1\mathrm{W}=1J/s$. Un motor mai puternic nu efectuează neapărat mai mult lucru: o macara mică ridică o grindă în două minute, iar una mare în douăzeci de secunde. Lucrul este același, dar puterea macaralei mari este de șase ori mai mare.

Exemplu rezolvat. Un muncitor ridică uniform un sac de $20\mathrm{kg}$ la înălțimea de $1,5\mathrm{m}$, în $10\mathrm{s}$; $g=10N/kg$. Calculăm lucrul și puterea medie.

1. La ridicarea cu viteză constantă, forța muncitorului este egală cu greutatea sacului: $F=G=mg=20\cdot 10=200\mathrm{N}$.
2. Lucrul forței este $L=F\cdot d=200\mathrm{N}\cdot 1,5\mathrm{m}=300\mathrm{J}$.
3. Puterea medie este $P=L/t=300\mathrm{J}/10\mathrm{s}=30\mathrm{W}$.

Muncitorul efectuează $300\mathrm{J}$ de lucru cu o putere medie de $30\mathrm{W}$; dacă ar ridica sacul în $5\mathrm{s}$, lucrul ar rămâne $300\mathrm{J}$, iar puterea ar deveni $60\mathrm{W}$.

Lucrul mecanic al unei forțe constante $\vec{F}$ pe o deplasare rectilinie $\vec{d}$ a punctului ei de aplicație este $L=Fd\cos \alpha$, unde $\alpha$ este unghiul dintre forță și deplasare. Este o mărime scalară, iar semnul ei vine din $\cos \alpha$:

• pentru $0^{\circ }\le \alpha <90^{\circ }$, $L>0$: forța transferă energie corpului;
• pentru $\alpha =90^{\circ }$, $L=0$: așa este forța normală exercitată de o suprafață fixă pe un corp care alunecă pe ea;
• pentru $90^{\circ }<\alpha \le 180^{\circ }$, $L<0$: forța preia energie de la corp; la $\alpha =180^{\circ }$, $L=-Fd$.

Numai componenta forței pe direcția deplasării, $F\cos \alpha$, transferă energie corpului; componenta perpendiculară doar apasă pe suprafață sau schimbă direcția mișcării. De aceea o forță mereu perpendiculară pe viteză, cum este tensiunea unui fir care ține un corp pe o traiectorie circulară, nu efectuează lucru. Lucrul este o mărime de proces: se atribuie unei forțe pe o deplasare dată, nu unui corp aflat într-o stare.

Unitatea de lucru este $1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\mathrm{m}=1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$. În calculele cu energia electrică se folosește și $1\mathrm{kWh}=3,6\cdot 10^6\mathrm{J}$. Dacă asupra corpului acționează mai multe forțe constante, lucrul rezultantei este suma algebrică a lucrurilor forțelor: $L_{\mathrm{rez}}=L_1+L_2+\dots$

Puterea medie este $P_{\mathrm{med}}=L/\Delta t$, în wați, cu $1\mathrm{kW}=10^3\mathrm{W}$. Ca ordine de mărime, un elev de $60\mathrm{kg}$ care urcă $3\mathrm{m}$ de scări în $10\mathrm{s}$ dezvoltă $180\mathrm{W}$, iar motorul unui automobil dezvoltă zeci de kilowați. Dacă forța variază, lucrul se citește pe graficul $F_x(x)$ ca suprafață cu semn între curbă și axa deplasărilor: partea de deasupra axei contează pozitiv, cea de dedesubt negativ. Formulele pentru greutate, frecare și resort sunt în „Lucrul greutății, frecării și forței elastice”, iar puterea instantanee este în „Puterea mecanică”.

Exemplu rezolvat 1. O valiză este trasă pe un peron orizontal, pe distanța de $12\mathrm{m}$, cu o forță de $50\mathrm{N}$ ce face $60^{\circ }$ cu orizontala. Aflăm lucrul forței.

1. Unghiul dintre forță și deplasare este $\alpha =60^{\circ }$, iar $\cos 60^{\circ }=0,5$.
2. Înlocuim în $L=Fd\cos \alpha$: $L=50\mathrm{N}\cdot 12\mathrm{m}\cdot 0,5$.
3. Rezultă $L=300\mathrm{J}$.

Componenta verticală a forței, $50\sin 60^{\circ }\mathrm{N}$, este perpendiculară pe deplasare și nu efectuează lucru. Rezultatul are sens fizic: doar jumătate din forță acționează pe direcția deplasării, deci valiza primește aceeași energie ca de la o forță orizontală de $25\mathrm{N}$ pe aceeași distanță, $25\cdot 12=300\mathrm{J}$.

Exemplu rezolvat 2. O ladă de $40\mathrm{kg}$ este trasă pe $5\mathrm{m}$ de o forță orizontală de $150\mathrm{N}$; frecarea cu solul are modulul $100\mathrm{N}$. Aflăm lucrul fiecărei forțe și lucrul rezultantei.

1. Tracțiunea are sensul deplasării: $L_F=150\cdot 5=750\mathrm{J}$.
2. Frecarea are sens opus, $\alpha =180^{\circ }$: $L_f=-100\cdot 5=-500\mathrm{J}$.
3. Greutatea și normala sunt perpendiculare pe deplasare: $L_G=L_N=0\mathrm{J}$.
4. Suma algebrică este $L_{\mathrm{rez}}=750-500=250\mathrm{J}$.

Verificare: rezultanta orizontală este $150-100=50\mathrm{N}$, iar $50\cdot 5=250\mathrm{J}$. Dacă deplasarea durează $10\mathrm{s}$, puterea medie a tracțiunii este $75\mathrm{W}$, iar a rezultantei $25\mathrm{W}$.

Definiția și semnul (clasa a VII-a)

O forță efectuează lucru mecanic când punctul ei de aplicație se deplasează pe direcția forței. Dacă forța și deplasarea au aceeași direcție și același sens, $L=Fd$. Dacă forța face unghiul $\alpha$ cu deplasarea, contează numai componenta ei pe direcția deplasării, $F\cos \alpha$, deci $L=Fd\cos \alpha$.

Semnul lucrului spune rolul forței:

• $0\le \alpha <90^{\circ }$: $L>0$, lucru motor (forța ajută mișcarea);
• $\alpha =90^{\circ }$: $L=0$ (forța perpendiculară pe deplasare, cum este forța de apăsare normală pe un drum orizontal);
• $90^{\circ }<\alpha \le 180^{\circ }$: $L<0$, lucru rezistent (forța frânează mișcarea).

Lucrul greutății și al frecării

Când un corp coboară de la înălțimea $h_1$ la $h_2$, greutatea efectuează lucrul $L_G=mg(h_1-h_2)$, pozitiv la coborâre și negativ la urcare. Rezultatul nu depinde de drum: pe verticală sau pe un plan înclinat, pentru aceeași diferență de înălțime lucrul greutății este același. Forțele cu această proprietate se numesc conservative.

Forța de frecare la alunecare are sens opus mișcării, deci $\alpha =180^{\circ }$ și $L_f=-F_{f}d=-\mu Nd$. Ea depinde de lungimea drumului: pe un drum dus-întors, lucrul greutății este zero, dar lucrul frecării se dublează. Frecarea este o forță neconservativă.

Interpretarea geometrică și lucrul forței elastice (clasa a IX-a)

Dacă desenezi graficul forței în funcție de poziție, lucrul mecanic este aria dintre grafic și axa poziției. Pentru o forță constantă, aria este un dreptunghi, $F\cdot d$. Forța elastică crește liniar cu deformarea, $F=kx$, deci aria este un triunghi: o forță exterioară care întinde resortul de la $0$ la $x$ efectuează lucrul $\frac{k{x}^2}{2}$, iar forța elastică efectuează în același timp $-\frac{k{x}^2}{2}$.

Puterea și randamentul

Puterea arată cât de repede se efectuează lucrul mecanic: $P=\frac{L}{\Delta t}$, în wați ($1\text{W}=1\text{J/s}$). De exemplu, un motor care ridică uniform $200\text{kg}$ la $15\text{m}$ în $20\text{s}$ efectuează $L=mgh=30000\text{J}$, deci are puterea utilă $P=1500\text{W}$. Randamentul unei mașini simple este raportul dintre lucrul util și lucrul consumat; la planul înclinat fără frecare ar fi $1$, iar frecarea îl micșorează (exemplul 4).

Înainte și după

• Înainte: forțele și principiile mecanicii, din capitolul Mecanica; forța elastică, din lecția despre legea lui Hooke.
• După: energia cinetică și teorema care leagă lucrul mecanic de variația ei; lucrul mecanic al gazului, în termodinamică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: forță orizontală și forță oblică

O ladă este trasă pe orizontală pe o distanță de $12\text{m}$ cu o forță de $40\text{N}$. Află lucrul mecanic al forței dacă ea este orizontală și dacă face un unghi de $60^{\circ }$ cu orizontala.

1. Forță orizontală: $L=Fd=40\cdot 12=480\text{J}$.
2. Forță oblică: $L=Fd\cos 60^{\circ }=40\cdot 12\cdot 0,5=240\text{J}$.

Numai componenta orizontală a forței, de $20\text{N}$, efectuează lucru; componenta verticală nu.

Exemplul 2: lucrul greutății

Un ghiozdan cu masa de $3\text{kg}$ este ridicat de pe podea pe o masă înaltă de $2\text{m}$ și apoi lăsat să cadă înapoi ($g=10{\text{m/s}}^2$). Ce lucru efectuează greutatea la urcare, la coborâre și pe tot drumul?

1. La urcare: $L_G=mg(h_1-h_2)=3\cdot 10\cdot (0-2)=-60\text{J}$.
2. La coborâre: $L_G=3\cdot 10\cdot (2-0)=+60\text{J}$.
3. Pe tot drumul: $-60+60=0$, pentru că poziția finală coincide cu cea inițială.

Exemplul 3: lucrul forței de frecare

O cutie cu masa de $5\text{kg}$ alunecă $10\text{m}$ pe o podea orizontală, cu $\mu =0,2$. Ce lucru efectuează forța de frecare?

1. Pe orizontală, $N=mg=50\text{N}$, deci $F_f=\mu N=10\text{N}$.
2. $L_f=-F_{f}d=-10\cdot 10=-100\text{J}$.

Exemplul 4: lada urcată pe o rampă (nivel de examen)

O ladă cu masa de $10\text{kg}$ este împinsă uniform în sus pe o rampă de încărcare lungă de $4\text{m}$, înclinată la $30^{\circ }$, cu o forță paralelă cu rampa. Coeficientul de frecare este $\mu =0,2$ ($g=10{\text{m/s}}^2$, $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$). Află forța de împingere, lucrul fiecărei forțe și randamentul rampei.

1. Mișcarea este uniformă, deci forța rezultantă de-a lungul rampei este nulă: $F=mg\sin \alpha +\mu mg\cos \alpha \approx 100\cdot 0,5+0,2\cdot 100\cdot 0,866\approx 50+17,3=67,3\text{N}$.
2. Lucrul forței de împingere: $L_F=F\ell \approx 67,3\cdot 4\approx 269,3\text{J}$.
3. Lucrul greutății: lada urcă $h=\ell \sin \alpha =2\text{m}$, deci $L_G=-mgh=-200\text{J}$.
4. Lucrul frecării: $L_f=-\mu mg\cos \alpha \cdot \ell \approx -17,3\cdot 4\approx -69,3\text{J}$; forța de apăsare normală nu efectuează lucru.
5. Randamentul: lucrul util este cel făcut pentru a ridica lada, $200\text{J}$, iar lucrul consumat este $269,3\text{J}$: $\eta \approx \frac{200}{269,3}\approx 0,743=74,3\%$.

Verificare: suma lucrurilor este $269,3-200-69,3=0$, cum trebuie pentru o mișcare cu viteză constantă (energia cinetică nu se schimbă).

Exemplul 5: lucrul forței elastice

Un resort cu $k=200\text{N/m}$ este întins încet, de la lungimea nedeformată, cu $10\text{cm}$. Ce lucru efectuează forța exterioară și ce lucru efectuează forța elastică?

1. Aria triunghiului de sub graficul $F=kx$: $L_{\text{ext}}=\frac{k{x}^2}{2}=\frac{200\cdot 0,1^2}{2}=1\text{J}$.
2. Forța elastică are sens opus deformării: $L_e=-1\text{J}$.

Atenție: $Fd=20\cdot 0,1=2\text{J}$ este greșit, pentru că forța nu a fost $20\text{N}$ pe tot drumul, ci a crescut de la $0$ la $20\text{N}$.

Problemele de lucru mecanic combină aproape întotdeauna mai multe forțe. Se cer, pe rând, lucrul unei forțe oblice, lucrul rezultantei ca sumă algebrică și lucrul citit pe un grafic $F(d)$, unde aria unui trapez sau a unui triunghi se numără cu semn. Se folosesc $L=Fd\cos \alpha$, $L_{\mathrm{rez}}=\sum L_i$ și $P_{\mathrm{med}}=L/\Delta t$.

Trei greșeli revin des în rezolvări. Unghiul din formulă este cel dintre forță și deplasare, nu unghiul planului înclinat și nu cel cu verticala. Distanțele date în $\mathrm{km}$ sau $\mathrm{cm}$ și timpii în minute se transformă în unități SI înainte de calcul. Lucrul nu depinde de durata deplasării, deci o durată dată într-un enunț cu cerința „lucru” este o dată de care nu ai nevoie.

La sfârșit, verifică semnul rezultatului: o forță care frânează corpul trebuie să dea lucru negativ, iar o suprafață de sub axa deplasărilor, pe un grafic, se scade din cea de deasupra.

Exemplu în formatul examenului. Un copil trage o sanie pe un drum orizontal de $0,4\mathrm{km}$, cu o forță constantă de $30\mathrm{N}$, care face $60^{\circ }$ cu orizontala. Lucrul mecanic efectuat de această forță este:

• a) $6\mathrm{J}$
• b) $6\mathrm{kJ}$
• c) $10,4\mathrm{kJ}$
• d) $12\mathrm{kJ}$

Rezolvare.

1. Exprimăm deplasarea în metri: $d=0,4\mathrm{km}=400\mathrm{m}$.
2. Unghiul dintre forță și deplasare este $60^{\circ }$, deci $\cos 60^{\circ }=0,5$.
3. $L=Fd\cos \alpha =30\cdot 400\cdot 0,5\mathrm{J}=6000\mathrm{J}=6\mathrm{kJ}$.

Variantele greșite provin din erori reale: a) kilometrii nu au fost transformați în metri, c) s-a folosit $\sin 60^{\circ }$ în loc de $\cos 60^{\circ }$, d) s-a omis factorul $\cos \alpha$.

Răspuns corect: b).

Unde apare la examen

• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul A, Mecanică, programa de examen cere lucrul mecanic ca mărime de proces, interpretarea lui geometrică, lucrul greutății, al forței de frecare la alunecare și al forței elastice, puterea mecanică și randamentul planului înclinat (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).
• Admiterea la Politehnica București (ACS, ETTI): lucrul mecanic, puterea și randamentul planului înclinat fac parte din capitolul de mecanică al programei de fizică (Regulamentul UNSTPB 2026, Anexa XI).

Greșeli frecvente

• Greșit: ții cartea nemișcată, deci efectuezi lucru mecanic.
  Corect: fără deplasare lucrul este zero, chiar dacă obosești.
• Greșit: $L=Fd$ pentru orice forță.
  Corect: $L=Fd\cos \alpha$; forța opusă deplasării are lucru negativ.
• Greșit: lucrul unei forțe este mai mare dacă deplasarea durează mai puțin.
  Corect: lucrul depinde de $F$, $d$ și $\alpha$, nu de durată; durata schimbă puterea.
• Greșit: jouli și wați sunt același lucru.
  Corect: lucrul se măsoară în jouli ($\mathrm{J}$), iar puterea în wați ($\mathrm{W}$), unde $1\mathrm{W}=1J/s$.
• Greșit: a scrie pozitiv lucrul forței de frecare la alunecare pe o suprafață fixă.
  Corect: lucrul este negativ, $L_f=-\mu Nd$; altfel bilanțul energetic nu mai iese.
• Greșit: a calcula lucrul greutății pe un plan înclinat cu lungimea planului, $mg\ell$.
  Corect: greutatea lucrează pe diferența de înălțime, $mg\ell \sin \alpha$.
• Greșit: a trata forța elastică drept constantă, cu lucrul $kx\cdot x$.
  Corect: forța crește de la $0$ la $kx$, iar lucrul ei este $\frac{k{x}^2}{2}$ în modul.

Înainte și după

Întrebări frecvente