Energia cinetică și teorema variației sale

O minge care se rostogolește poate lovi și deplasa o cutie. Fiindcă se mișcă, mingea are energie cinetică. O minge nemișcată are energie cinetică zero față de masa pe care stă. O minge mai grea, la aceeași viteză, are mai multă energie cinetică; aceeași minge, dacă se mișcă mai repede, are și ea mai multă.

Energia cinetică se calculează cu $E_c=m{v}^2/2$, unde $m$ este masa în kilograme și $v$ este viteza în metri pe secundă. Rezultatul se exprimă în jouli ($\mathrm{J}$). Pentru o minge de $2\mathrm{kg}$ care se deplasează cu $3m/s$, $E_c=2\mathrm{kg}\cdot (3m/s{)}^2/2=9\mathrm{J}$.

Viteza apare la pătrat. Dacă aceeași minge își dublează viteza, energia ei cinetică devine de patru ori mai mare, nu de două ori. Un automobil de $1000\mathrm{kg}$ care merge cu $36km/h$, adică $10m/s$, are $50\mathrm{kJ}$; cu $72km/h$, adică $20m/s$, are $200\mathrm{kJ}$. Energia cinetică depinde de reperul ales: un pasager așezat în tren este în repaus față de tren, dar are energie cinetică față de șine.

Forțele pot schimba energia cinetică. Variația energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic total al forțelor care acționează asupra corpului: dacă lucrul total este pozitiv, corpul prinde viteză, iar dacă este negativ, corpul încetinește. Pentru a opri automobilul, forța de frânare trebuie să efectueze un lucru egal cu energia lui cinetică, $F\cdot d=E_c$. Cu o forță de frânare de $5000\mathrm{N}$, automobilul se oprește pe $10\mathrm{m}$ de la $36km/h$, dar pe $40\mathrm{m}$ de la $72km/h$.

Exemplu rezolvat. Un cărucior de $4\mathrm{kg}$ pornește din repaus și este împins pe o masă orizontală, fără frecare, cu o forță de $8\mathrm{N}$ pe distanța de $4\mathrm{m}$. Aflăm viteza lui la sfârșitul drumului.

1. Lucrul forței este $L=F\cdot d=8\mathrm{N}\cdot 4\mathrm{m}=32\mathrm{J}$.
2. Căruciorul pornește din repaus, deci energia lui cinetică finală este egală cu lucrul: $E_c=32\mathrm{J}$.
3. Din $m{v}^2/2=32$ rezultă $v^2=2\cdot 32/4=16$, adică $v=4m/s$.

Viteza finală a căruciorului este $4m/s$, aflată fără să cunoaștem durata mișcării.

Energia cinetică este o mărime de stare: depinde doar de masa și viteza corpului într-un anumit moment, nu de felul în care a ajuns la acea viteză. Un camion are mai multă energie cinetică decât o bicicletă la aceeași viteză.

Pentru un punct material de masă $m$, teorema variației energiei cinetice afirmă că $\Delta E_c=E_{c,f}-E_{c,i}=L_{\mathrm{rez}}={\sum }_i{L}_i$, unde lucrul mecanic al fiecărei forțe se adună cu semnul lui. Pentru o forță rezultantă constantă pe direcția mișcării, relația se deduce astfel: $F_{\mathrm{rez}}=ma$, iar din mișcarea uniform variată $v_f^2=v_i^2+2ad$. Înmulțind a doua relație cu $m/2$ se obține $F_{\mathrm{rez}}d=\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2$. Teorema rămâne valabilă și pentru forțe variabile și pentru traiectorii curbe. Avantajul ei este că nu cere accelerația și nici durata: leagă direct starea inițială, starea finală și lucrul efectuat între ele. Dacă rezultanta variază cu poziția, variația $\Delta E_c$ se citește pe graficul $F_x(x)$ ca suprafață cu semn dintre curbă și axă, măsurată pe tot drumul parcurs. Forțele perpendiculare pe deplasare, cum este normala unei suprafețe fixe, nu modifică suma.

Energia cinetică este o mărime scalară, nenegativă, și depinde de reperul față de care se măsoară viteza. Variația ei poate fi negativă. Dacă rezultanta este perpendiculară pe viteză, cum se întâmplă în mișcarea circulară uniformă, $L_{\mathrm{rez}}=0$ și energia cinetică rămâne constantă. Unitatea $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$ a energiei cinetice coincide cu jouleul, unitatea lucrului mecanic, ceea ce este în acord cu teorema: cele două mărimi se compară direct, termen cu termen. Între energia cinetică și impuls există relația $E_c=p^2/(2m)$. Energia cinetică inițială, cea finală și variația lor se calculează în același reper; într-un alt reper, valorile se schimbă. Ca ordine de mărime, o minge de fotbal de $0,43\mathrm{kg}$ lovită cu $25m/s$ are $\frac{1}{2}\cdot 0,43\cdot 25^2\approx 134\mathrm{J}$.

Exemplu rezolvat 1. Un automobil de $1200\mathrm{kg}$ merge cu $90km/h$ și frânează cu o forță constantă de $6000\mathrm{N}$, până se oprește. Aflăm distanța de frânare.

1. Viteza în metri pe secundă: $v_i=90/3,6=25m/s$.
2. Energia cinetică inițială este $E_{c,i}=\frac{1}{2}\cdot 1200\cdot 25^2=375000\mathrm{J}$, iar cea finală este zero.
3. Lucrul forței de frânare este $L=-Fd$, deci $-Fd=0-375000$.
4. Rezultă $d=375000/6000=62,5\mathrm{m}$.

Dacă viteza inițială ar fi fost de două ori mai mică, distanța de frânare ar fi fost de patru ori mai mică, adică aproximativ $15,6\mathrm{m}$. Energia cinetică de $375\mathrm{kJ}$ este cât energia potențială a aceluiași automobil ridicat la $375000/(1200\cdot 10)=31,25\mathrm{m}$ înălțime.

Exemplu rezolvat 2. O sanie de $15\mathrm{kg}$ pornește din repaus și coboară o pantă lungă de $40\mathrm{m}$, cu diferența de nivel de $8\mathrm{m}$. Frecarea are modulul constant $12\mathrm{N}$; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Aflăm viteza la baza pantei.

1. Lucrul greutății este $L_G=mgh=15\cdot 10\cdot 8=1200\mathrm{J}$.
2. Lucrul frecării este $L_f=-12\cdot 40=-480\mathrm{J}$, iar normala nu efectuează lucru.
3. Lucrul total este $L_{\mathrm{rez}}=1200-480=720\mathrm{J}$, deci $\Delta E_c=720\mathrm{J}$.
4. Din $\frac{1}{2}m{v}^2=720$ rezultă $v=\sqrt{2\cdot 720/15}=\sqrt{96}\approx 9,8m/s$.

Fără frecare, lucrul total ar fi $1200\mathrm{J}$, iar viteza ar fi $\sqrt{160}\approx 12,6m/s$; frecarea consumă o parte din energia pe care greutatea ar fi dat-o mișcării. Pentru un sistem de corpuri, energia cinetică este suma energiilor cinetice ale corpurilor, fiecare calculată cu viteza ei.

Teorema este cea mai rapidă cale când problema leagă viteze de distanțe, fără să ceară timpul: viteza după o anumită distanță, distanța de oprire, viteza la baza unui plan înclinat. Nu ai nevoie de accelerație și nici de legile mișcării. Când problema cere timpul, ai nevoie de principiul fundamental și de legile mișcării uniform variate.

Lucrul total este suma lucrului mecanic al tuturor forțelor, cu semn: greutatea, forța de tracțiune, forța de frecare, forța elastică. Dacă lucrul total este pozitiv, corpul accelerează; dacă este negativ, încetinește; dacă este nul, viteza rămâne aceeași (mișcare uniformă).

Distanța de frânare și siguranța rutieră. O mașină care frânează pe un drum orizontal, cu roțile blocate, este oprită de forța de frecare. Lucrul ei, $-\mu mgd$, anulează energia cinetică inițială: $\mu mgd=\frac{m{v}_0^2}{2}$, deci $d=\frac{v_0^2}{2\mu g}$. Distanța nu depinde de masă, dar crește cu pătratul vitezei și se mărește mult pe un drum ud sau cu gheață, unde $\mu$ este mic.

Legături. Înainte de această lecție: lucrul mecanic, cu lucrul greutății și al frecării, și transformarea km/h în m/s. Frecarea care apare în problemele de frânare este tratată în forța de frecare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: energia cinetică a unei mașini (clasa a VII-a)

Un autoturism cu masa de $1500\text{kg}$ merge cu $36\text{km/h}$. Ce energie cinetică are? Dar dacă viteza se dublează?

1. Viteza în SI: $36\text{km/h}=\frac{36000\text{m}}{3600\text{s}}=10\text{m/s}$.
2. $E_c=\frac{1500\cdot 10^2}{2}=\frac{1500\cdot 100}{2}=75000\text{J}=75\text{kJ}$.
3. La $20\text{m/s}$: $E_c=\frac{1500\cdot 400}{2}=300000\text{J}=300\text{kJ}$, adică de $4$ ori mai mult.

Exemplul 2: sania împinsă

O sanie cu masa de $20\text{kg}$ alunecă pe gheață, fără frecare, cu viteza de $3\text{m/s}$. Un copil o împinge pe o distanță de $6\text{m}$ cu o forță orizontală constantă de $30\text{N}$, în sensul mișcării. Ce viteză are sania la final?

1. Greutatea și forța de apăsare normală sunt perpendiculare pe deplasare, deci nu efectuează lucru. $L_{\text{total}}=Fd=30\cdot 6=180\text{J}$.
2. $\frac{m{v}^2}{2}-\frac{m{v}_0^2}{2}=180$, deci $v^2=v_0^2+\frac{2\cdot 180}{20}=9+18=27$ și $v\approx 5,2\text{m/s}$.

Exemplul 3: distanța de frânare

O mașină care merge cu $54\text{km/h}$ ($15\text{m/s}$) frânează cu roțile blocate pe un drum orizontal, cu $\mu =0,45$ ($g=10{\text{m/s}}^2$). Pe ce distanță se oprește? Dar de la $108\text{km/h}$?

1. $d=\frac{v_0^2}{2\mu g}=\frac{225}{2\cdot 0,45\cdot 10}=25\text{m}$.
2. De la $108\text{km/h}=30\text{m/s}$: $d=\frac{900}{9}=100\text{m}$.

Viteza s-a dublat, iar distanța de frânare a crescut de $4$ ori, nu de $2$ ori. La ea se adaugă, în realitate, drumul parcurs în timpul de reacție al șoferului.

Exemplul 4: căderea liberă

Un corp este lăsat să cadă liber de la înălțimea de $5\text{m}$. Cu ce viteză ajunge la sol, dacă rezistența aerului se neglijează?

1. Singura forță este greutatea: $L_G=mgh$.
2. $\frac{m{v}^2}{2}=mgh$, deci $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 5}=10\text{m/s}$.

Masa s-a simplificat: în absența aerului, toate corpurile lăsate de la aceeași înălțime ajung la sol cu aceeași viteză.

Exemplul 5: alunecarea pe un plan înclinat cu frecare (nivel de examen)

Un corp pornește din repaus din vârful unui plan înclinat cu unghiul $\alpha =30^{\circ }$ și lungimea de $5\text{m}$. Coeficientul de frecare este $\mu =0,2$ ($g=10{\text{m/s}}^2$, $\cos 30^{\circ }\approx 0,866$). Cu ce viteză ajunge la baza planului?

1. Lucrul greutății: corpul coboară $h=\ell \sin \alpha =2,5\text{m}$, deci $L_G=mgh=25m$ (în jouli, cu $m$ în kilograme).
2. Lucrul frecării: $N=mg\cos \alpha$, deci $L_f=-\mu mg\cos \alpha \cdot \ell \approx -0,2\cdot 10\cdot 0,866\cdot 5\cdot m\approx -8,66m$.
3. Forța de apăsare normală nu efectuează lucru. Teorema: $\frac{m{v}^2}{2}=25m-8,66m=16,34m$.
4. $v^2\approx 32,7$, deci $v\approx 5,7\text{m/s}$.

Verificare: fără frecare, viteza ar fi $\sqrt{2gh}=\sqrt{50}\approx 7,1\text{m/s}$; frecarea consumă aproximativ o treime din lucrul greutății. Masa s-a simplificat: rezultatul este același pentru orice corp cu același coeficient de frecare.

Teorema se aplică la examen în trei feluri: aflarea vitezei finale când se cunoaște lucrul total, aflarea unei forțe medii sau a unei distanțe de oprire și citirea lucrului pe un grafic $F(x)$. Formulele de pornire sunt $E_c=m{v}^2/2$, $\Delta E_c=L_{\mathrm{rez}}$ și $E_c=p^2/(2m)$. La coborârea pe un plan înclinat, lucrul total are cel puțin doi termeni: greutatea și frecarea.

Greșelile apar în trei locuri. Variația energiei cinetice este $\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$, nu $\frac{1}{2}m(v_f-v_i{)}^2$. Masa în grame și lungimile în centimetri se transformă în unități SI. Dacă o forță efectuează lucru negativ, semnul se păstrează în sumă. Când corpul pornește din repaus și lucrul total $L$ este cunoscut, viteza finală este $v=\sqrt{2L/m}$. Semnul lucrului oferă o verificare rapidă: o forță de frânare efectuează lucru negativ, deci energia cinetică scade, iar dacă din calcul ar rezulta un pătrat al vitezei negativ, semnele sau datele au fost introduse greșit.

Exemplu în formatul examenului. Un glonț de $10\mathrm{g}$ care are viteza de $400m/s$ pătrunde într-un perete pe adâncimea de $5\mathrm{cm}$ și se oprește. Forța medie de rezistență a peretelui are modulul:

• a) $160\mathrm{N}$
• b) $16\mathrm{kN}$
• c) $32\mathrm{kN}$
• d) $40\mathrm{N}$

Rezolvare.

1. Masa și adâncimea în unități SI: $m=0,01\mathrm{kg}$ și $d=0,05\mathrm{m}$.
2. Variația energiei cinetice este $\Delta E_c=0-\frac{1}{2}\cdot 0,01\cdot 400^2=-800\mathrm{J}$.
3. Lucrul forței medii de rezistență este $-Fd$, deci $-Fd=-800\mathrm{J}$.
4. Rezultă $F=800/0,05=16000\mathrm{N}=16\mathrm{kN}$.

Răspunsul a) citește $5\mathrm{cm}$ ca $5\mathrm{m}$, c) uită factorul $\frac{1}{2}$, iar d) uită ridicarea vitezei la pătrat.

Răspuns corect: b).

Unde apare la examen

• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul A, Mecanică, programa de examen are tema „Teorema variației energiei cinetice a punctului material” și cere energia cinetică și teorema ei (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012, citată în sursele lecției).
• Admiterea la Politehnica București (ACS, ETTI): energia și legile de conservare fac parte din capitolul de mecanică al programei de fizică (Regulamentul UNSTPB 2026, Anexa XI, citat în sursele lecției).

Greșeli frecvente

• Greșit: a considera că energia cinetică se dublează când viteza se dublează.
  Corect: la viteză dublă, energia cinetică devine de patru ori mai mare.
• Greșit: a spune că o energie cinetică poate fi negativă; negativă poate fi variația ei.
  Corect: energia cinetică este nenegativă, dar variația sa poate fi negativă.
• Greșit: a egala variația energiei cinetice cu lucrul unei singure forțe, ignorând celelalte forțe.
  Corect: $\Delta E_c$ este egală cu suma lucrului mecanic al tuturor forțelor.
• Greșit: $\Delta E_c=\frac{1}{2}m(v_f-v_i{)}^2$.
  Corect: $\Delta E_c=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$; viteza se ridică la pătrat înainte de scădere.
• Greșit: a lăsa viteza în km/h când se calculează energia în jouli.
  Corect: viteza se transformă în m/s ($36\text{km/h}=10\text{m/s}$, se împarte la $3,6$).
• Greșit: a trata energia cinetică ca pe un vector, cu două corpuri de viteze opuse care „își anulează” energiile.
  Corect: energia cinetică este scalară și nu are direcție.
• Greșit: a folosi teorema variației energiei cinetice pentru a afla timpul mișcării.
  Corect: teorema leagă vitezele de distanțe; pentru durată sunt necesare legile cinematicii.

Înainte și după

Întrebări frecvente