Legea lui Hooke

Un resort de pix se întinde dacă îl tragi și se comprimă dacă îl apeși, apoi își recapătă forma când îl lași liber. O asemenea deformare, care dispare după încetarea forței, se numește deformare elastică. Dacă forța este prea mare, resortul rămâne întins sau strâmbat, iar deformarea se numește permanentă sau plastică: plastilina se deformează întotdeauna în acest fel. Un corp deformat elastic exercită asupra corpului care îl deformează o forță elastică, orientată astfel încât să readucă forma inițială: resortul întins trage înapoi, resortul comprimat împinge înapoi. Tot așa lucrează arcul unei trambuline, coarda arcului de tras cu săgeata sau saltelele cu arcuri.

Măsurăm deformarea unui resort prin alungire. Fie $l_0$ lungimea resortului nedeformat și $l$ lungimea lui după deformare. Alungirea este diferența $\Delta l=l-l_0$ (la comprimare, $\Delta l=l_0-l$) și se exprimă în metri. Alungirea nu este lungimea resortului.

În urma experimentelor cu resorturi, legea lui Hooke afirmă că, în limitele deformării elastice, valoarea forței elastice este direct proporțională cu alungirea: $F_e=k\cdot \Delta l$. Mărimea $k$ se numește constanta elastică a resortului și se măsoară în $N/m$. Ea arată câți newtoni sunt necesari pentru ca resortul să se alungească cu un metru. Un resort cu $k$ mare este „tare”, un resort cu $k$ mic este „moale”. Graficul forței în funcție de alungire este o dreaptă care trece prin origine. Dinamometrul funcționează pe baza acestei legi: scara lui este gradată în newtoni la intervale egale, pentru că alungirea este proporțională cu forța.

Când un corp stă agățat nemișcat de un resort, forța elastică este egală cu greutatea corpului și de sens opus, deci greutatea poate fi aflată din alungire.

Exemplu rezolvat. Un resort are lungimea nedeformată $l_0=12\mathrm{cm}$. Când se agață de el un corp de $200\mathrm{g}$, lungimea resortului devine $l=17\mathrm{cm}$. Se cer constanta elastică și lungimea resortului cu un corp de $300\mathrm{g}$, pentru $g=10N/kg$.

1. Greutatea corpului de $200\mathrm{g}$ este $G=0,2\cdot 10=2\mathrm{N}$, deci forța elastică este $F_e=2\mathrm{N}$.
2. Alungirea este $\Delta l=17-12=5\mathrm{cm}=0,05\mathrm{m}$, iar $k=F_e/\Delta l=2/0,05=40N/m$.
3. Pentru corpul de $300\mathrm{g}$, $F_e=3\mathrm{N}$, deci $\Delta l=3/40=0,075\mathrm{m}=7,5\mathrm{cm}$, iar $l=12+7,5=19,5\mathrm{cm}$.

Alungirea a crescut de $1,5$ ori când greutatea a crescut de $1,5$ ori, adică s-au păstrat proporționalitatea și valoarea lui $k$.

Într-un domeniu limitat de deformări, forța elastică a unui resort este proporțională cu deformarea. Dacă alegem axa $Ox$ cu originea în capătul liber al resortului nedeformat și sensul pozitiv în sensul alungirii, forța elastică exercitată de resort are componenta $F_{e,x}=-kx$, unde $x=l-l_0$ este coordonata capătului. Semnul minus arată că forța este de revenire: pentru $x>0$ (resort întins) forța are sens negativ, iar pentru $x<0$ (resort comprimat) are sens pozitiv. Modulul este $|F_e|=k|x|$.

Constanta $k$ nu depinde de forță și nici de alungire: caracterizează resortul. Depinde de materialul sârmei, de diametrul ei, de diametrul spirelor și de numărul lor. Un resort tăiat la jumătate are constanta dublă, pentru că fiecare jumătate se alungește de două ori mai puțin la aceeași forță. Ordinele de mărime sunt: $20$–$100N/m$ la un dinamometru de laborator și circa $2\cdot 10^{4}N/m$ la resortul de suspensie al unui autoturism.

Proporționalitatea are limite. Până la limita de proporționalitate graficul $F(\Delta l)$ este o dreaptă. Puțin dincolo de ea resortul mai revine la forma inițială, dar legea nu mai este valabilă. Dincolo de limita de elasticitate rămâne o deformare permanentă, iar la forțe și mai mari resortul se rupe.

Experimental, constanta $k$ se determină atârnând pe rând de resort corpuri cu mase cunoscute și măsurând de fiecare dată lungimea $l$. Punctele $(\Delta l;F)$ se trec pe un grafic, se trasează dreapta care trece cât mai aproape de ele, iar $k$ este panta ei, $k=\Delta F/\Delta (\Delta l)$. Metoda este mai exactă decât o singură măsurătoare, fiindcă erorile de citire cu rigla se compensează în mai multe puncte.

Legarea resorturilor. În serie (unul după altul) prin fiecare resort trece aceeași forță, iar alungirile se adună: $\frac{1}{k_s}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$. În paralel (alungire comună) forțele se adună: $k_p=k_1+k_2$. Legate în serie, resorturile sunt mai moi; legate în paralel, sunt mai tari.

Exemplu rezolvat 1. Un corp cu masa de $2\mathrm{kg}$ se agață de resorturi cu constantele $k_1=100N/m$ și $k_2=300N/m$, mai întâi legate în serie, apoi în paralel. Se cer alungirile totale, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Greutatea este $G=mg=20\mathrm{N}$ și este aceeași în ambele montaje.
2. În serie, $k_s=\frac{100\cdot 300}{100+300}=75N/m$, deci $\Delta l_s=20/75\approx 0,267\mathrm{m}$. Se verifică prin adunare: $20/100+20/300=0,2+0,067\approx 0,267\mathrm{m}$.
3. În paralel, $k_p=100+300=400N/m$, deci $\Delta l_p=20/400=0,05\mathrm{m}$.

Alungirea în serie este de peste cinci ori mai mare decât în paralel.

Exemplu rezolvat 2. Un resort cu lungimea nedeformată $l_0=20\mathrm{cm}$ are lungimea de $24\mathrm{cm}$ când susține un corp de $0,5\mathrm{kg}$. Care este lungimea lui când susține un corp de $1,2\mathrm{kg}$? Se ia $g=10m/{\mathrm{s}}^2$ și se presupune că resortul rămâne în domeniul elastic.

1. Din primul caz: $F_1=0,5\cdot 10=5\mathrm{N}$ și $\Delta l_1=0,04\mathrm{m}$, deci $k=5/0,04=125N/m$.
2. În al doilea caz: $F_2=1,2\cdot 10=12\mathrm{N}$, iar $\Delta l_2=12/125=0,096\mathrm{m}=9,6\mathrm{cm}$.
3. Lungimea resortului este $l_2=20+9,6=29,6\mathrm{cm}$.

Lungimea nu este proporțională cu masa corpului, numai alungirea este.

Deformări elastice și forța elastică (clasa a VII-a)

Un resort de care atârni un corp se alungește, iar după ce scoți corpul revine la lungimea inițială: deformarea a fost elastică. Dacă tragi prea tare, resortul rămâne alungit; ai depășit domeniul de elasticitate, iar legea lui Hooke nu mai este valabilă.

În domeniul elastic, alungirea este proporțională cu forța deformatoare: o forță de două ori mai mare produce o alungire de două ori mai mare. Raportul $k=\frac{F}{\Delta \ell }$ este constanta elastică a resortului: un resort „tare” are $k$ mare, un resort „moale” are $k$ mic. Pe acest principiu funcționează dinamometrul.

Resortul deformat acționează și el asupra corpului cu forța elastică, egală în modul cu forța deformatoare și orientată spre poziția nedeformată. De aici semnul minus din forma vectorială: forța elastică are sens opus deformării.

Corp în echilibru agățat de un resort

Când un corp atârnă în repaus de un resort, forța elastică echilibrează greutatea: $k\Delta \ell =mg$. Din această egalitate afli fie constanta elastică (cunoscând masa și alungirea), fie alungirea (cunoscând masa și constanta).

Efortul unitar și modulul de elasticitate (clasa a IX-a)

Constanta $k$ depinde de obiect. Pentru o bară sau un fir, legea lui Hooke se scrie cu mărimi care depind numai de material: efortul unitar $\sigma =\frac{F}{S_0}$ (forța pe unitatea de suprafață a secțiunii) este proporțional cu alungirea relativă $\epsilon =\frac{\Delta \ell }{{\ell }_0}$, iar constanta de proporționalitate $E$ este modulul de elasticitate (modulul lui Young), măsurat în pascali. Comparând cele două forme ale legii se obține $k=\frac{E{S}_0}{{\ell }_0}$: un fir mai gros este mai greu de alungit, iar un fir mai lung se alungește mai mult sub aceeași forță.

Tensiunea din fir

Un fir inextensibil și de masă neglijabilă transmite forța de la un capăt la altul; forța cu care firul trage de corpuri se numește tensiune în fir. Ea este o forță elastică, dar alungirea firului este atât de mică încât se neglijează.

Înainte și după

• Înainte: forța și măsurarea ei cu dinamometrul, greutatea, principiile mecanicii, din capitolul Mecanica.
• După: lucrul mecanic, unde lucrul forței elastice se calculează ca arie sub graficul forței; energia potențială elastică și conservarea energiei mecanice.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: constanta unui resort (clasa a VII-a)

Un corp cu masa de $200\text{g}$ atârnă în repaus de un resort și îl alungește cu $4\text{cm}$ ($g=10\text{N/kg}$). Află constanta elastică și alungirea produsă de un corp de $300\text{g}$.

1. Greutatea corpului: $G=mg=0,2\cdot 10=2\text{N}$.
2. La echilibru, $F_e=G$, deci $k=\frac{G}{\Delta \ell }=\frac{2\text{N}}{0,04\text{m}}=50\text{N/m}$.
3. Pentru $300\text{g}$: $\Delta \ell =\frac{0,3\cdot 10}{50}=0,06\text{m}=6\text{cm}$.

Verificare: masa a crescut de $1,5$ ori, iar alungirea tot de $1,5$ ori ($4\text{cm}\to 6\text{cm}$).

Exemplul 2: lungimea inițială din două măsurători

Sub o forță de $4\text{N}$, un resort are lungimea de $15\text{cm}$; sub o forță de $10\text{N}$, lungimea lui este $18\text{cm}$. Află constanta elastică și lungimea resortului nedeformat.

1. Diferența de forță, $6\text{N}$, produce o alungire suplimentară de $3\text{cm}$: $k=\frac{6\text{N}}{0,03\text{m}}=200\text{N/m}$.
2. Sub $4\text{N}$, alungirea este $\Delta \ell =\frac{4}{200}=0,02\text{m}=2\text{cm}$.
3. Lungimea nedeformată: ${\ell }_0=15-2=13\text{cm}$.

Verificare: sub $10\text{N}$, alungirea este $5\text{cm}$, iar $13+5=18\text{cm}$.

Exemplul 3: firul de oțel (clasa a IX-a)

Un fir de oțel cu lungimea de $3\text{m}$ și secțiunea de $0,5{\text{mm}}^2$ susține o forță de $150\text{N}$. Modulul de elasticitate al oțelului este $E=2\cdot 10^{11}\text{Pa}$. Cu cât se alungește firul?

1. Secțiunea în SI: $S_0=0,5{\text{mm}}^2=5\cdot 10^{-7}{\text{m}}^2$.
2. Efortul unitar: $\sigma =\frac{F}{S_0}=\frac{150}{5\cdot 10^{-7}}=3\cdot 10^8\text{Pa}$.
3. Alungirea relativă: $\epsilon =\frac{\sigma }{E}=\frac{3\cdot 10^8}{2\cdot 10^{11}}=1,5\cdot 10^{-3}$.
4. Alungirea: $\Delta \ell =\epsilon {\ell }_0=1,5\cdot 10^{-3}\cdot 3=4,5\cdot 10^{-3}\text{m}=4,5\text{mm}$.

Verificare cu $k$: $k=\frac{E{S}_0}{{\ell }_0}=\frac{2\cdot 10^{11}\cdot 5\cdot 10^{-7}}{3}\approx 3,33\cdot 10^4\text{N/m}$, iar $\frac{F}{k}=\frac{150\cdot 3}{10^5}=4,5\text{mm}$.

Exemplul 4: resortul și corpul scufundat (nivel de examen)

Un corp cu masa de $0,4\text{kg}$ și volumul de $100{\text{cm}}^3$ atârnă în repaus de un resort cu $k=100\text{N/m}$. Apoi corpul este scufundat complet în apă ($\rho =1000{\text{kg/m}}^3$, $g=10{\text{m/s}}^2$), fără să atingă vasul. Cu cât se scurtează resortul?

1. În aer: $k\Delta {\ell }_1=mg$, deci $\Delta {\ell }_1=\frac{4}{100}=0,04\text{m}=4\text{cm}$.
2. În apă apare și forța arhimedică: $F_A=\rho gV=1000\cdot 10\cdot 10^{-4}=1\text{N}$.
3. La echilibru: $k\Delta {\ell }_2=mg-F_A=3\text{N}$, deci $\Delta {\ell }_2=3\text{cm}$.
4. Resortul se scurtează cu $4-3=1\text{cm}$.

Cum recunoști tipul: la echilibru, forța elastică este egală cu suma celorlalte forțe pe direcția resortului; orice forță nouă (arhimedică, frecare, tracțiune) schimbă alungirea.

Problemele combină legea lui Hooke cu echilibrul sau cu dinamica unui corp. Condiția de echilibru pe verticală este $k\Delta l=mg$; pe un plan înclinat de unghi $\alpha$, fără frecare, este $k\Delta l=mg\sin \alpha$, iar dacă există frecare statică ea se adaugă cu semnul potrivit. La un resort care accelerează corpul, forța elastică intră în $ma=\sum F$ ca oricare altă forță, cu valoarea $k|x|$ și cu sensul de revenire. Pentru resortul tăiat în $n$ părți egale, fiecare parte are constanta $nk$. Se obține și constanta unui resort din grafic: panta dreptei $F(\Delta l)$, calculată în $N/m$, cu alungirile transformate din $\mathrm{cm}$ în $\mathrm{m}$.

Rezultatul se verifică înainte de a alege varianta: unitățile din $k\Delta l$ trebuie să dea newtoni, iar pentru un resort cu $k$ de câteva sute de newtoni pe metru, încărcat cu câțiva kilograme, alungirea este de ordinul centimetrilor sau al zecilor de centimetri. O valoare de câțiva metri arată de obicei că s-a uitat transformarea din grame sau centimetri.

Exemplu în formatul examenului. Un corp cu masa de $4\mathrm{kg}$ este ținut în repaus pe un plan înclinat cu unghiul de $30^{\circ }$ față de orizontală, fără frecare, de un resort paralel cu planul și cu constanta $k=200N/m$. Pentru $g=10m/{\mathrm{s}}^2$, alungirea resortului este:

• a) $17,3\mathrm{cm}$
• b) $20\mathrm{cm}$
• c) $10\mathrm{cm}$
• d) $40\mathrm{cm}$

Rezolvare.

1. Echilibrul pe direcția planului dă $k\Delta l=mg\sin \alpha$.
2. Calculăm: $mg\sin 30^{\circ }=4\cdot 10\cdot 0,5=20\mathrm{N}$.
3. Alungirea este $\Delta l=20/200=0,1\mathrm{m}=10\mathrm{cm}$.
4. Varianta a) folosește $\cos \alpha$ în loc de $\sin \alpha$, varianta b) uită factorul $\sin \alpha$ și ia toată greutatea, iar varianta d) împarte la $\sin \alpha$ în loc să înmulțească cu el.

Răspuns corect: c)

Unde apare la examen

• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul A, Mecanică, programa de examen are tema „Legea lui Hooke. Tensiunea în fir” și cere legea lui Hooke, forța elastică și lucrul mecanic efectuat de forța elastică (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).
• Admiterea la Politehnica București (ACS, ETTI): legea lui Hooke face parte din capitolul de mecanică al programei de fizică (Regulamentul UNSTPB 2026, Anexa XI).
• Clasa a IX-a, programa nouă: în proiectul programei de clasa a IX-a (2025), „Forța deformatoare. Legea lui Hooke. Forța elastică. Tensiunea mecanică” este o temă a capitolului despre principiile mecanicii, iar determinarea constantei elastice a unui resort apare printre lucrările experimentale. Programa este aprobată prin OMEC 6930/2025, anexa 30; detaliile de mai sus sunt citite pe proiect.

Greșeli frecvente

• Greșit: $F=kl$, cu lungimea totală a resortului.
  Corect: $F=k\Delta l$, cu alungirea $\Delta l=l-l_0$.
• Greșit: forța elastică se scrie $+kx$ pe axa orientată în sensul alungirii.
  Corect: componenta ei este $-kx$, de sens opus deformării.
• Greșit: legea lui Hooke se aplică și după ce resortul s-a deformat permanent.
  Corect: ea este valabilă numai în domeniul elastic, până la limita de proporționalitate.
• Greșit: constanta elastică $k$ crește când mărim forța.
  Corect: $k$ caracterizează resortul și are aceeași valoare în tot domeniul elastic.
• Greșit: la două resorturi legate în serie constantele se adună.
  Corect: la legarea în serie se adună inversele constantelor, iar la legarea în paralel se adună constantele.
• Greșit: a lăsa alungirea în centimetri când $k$ este în $\text{N/m}$.
  Corect: alungirea se ia în metri, $4\text{cm}=0,04\text{m}$.
• Greșit: a introduce masa în kilograme în locul greutății în $k\Delta \ell =mg$.
  Corect: forța care alungește resortul este greutatea $mg$, în newtoni.

Înainte și după

Întrebări frecvente