Lucrul greutății, frecării și forței elastice

Când o minge cade, greutatea o trage în jos, în același sens cu deplasarea ei: lucrul greutății este pozitiv. Când ridici mingea, greutatea rămâne orientată în jos, opus deplasării: lucrul ei este negativ. Dacă o muți orizontal la aceeași înălțime, lucrul greutății este zero în modelul cu gravitație verticală uniformă. Semnul arată dacă forța are o componentă în sensul deplasării (lucru pozitiv) sau în sens opus (lucru negativ).

Forța de frecare la alunecare se opune deplasării relative dintre corp și suprafață. Pe o masă fixă, când o cutie alunecă, frecarea face lucru negativ. Dacă modulul frecării este $3\mathrm{N}$ și cutia alunecă $2\mathrm{m}$, lucrul este $-6\mathrm{J}$. Frecarea transformă o parte din energia mecanică în energie internă, de exemplu încălzire.

Un resort întins trage corpul spre poziția în care resortul este nedeformat. Dacă întinzi resortul mai departe, forța lui se opune deplasării și face lucru negativ. Când îl lași să revină, forța elastică face lucru pozitiv asupra corpului atașat. Forța resortului nu are aceeași mărime la toate alungirile, așa că nu înmulțim pur și simplu forța finală cu drumul.

Pentru greutate, contează diferența de înălțime; poți urca pe scară sau pe o rampă și obții același lucru al greutății între aceleași niveluri. Pentru frecarea la alunecare, contează lungimea drumului: un ocol mai lung produce un lucru negativ mai mare ca modul. Acest contrast te ajută să alegi formula potrivită.

Greutatea. În câmp gravitațional uniform, lucrul greutății depinde numai de diferența de nivel: $L_G=mg(h_i-h_f)$, cu înălțimile măsurate pe verticală, în sus. La coborâre $L_G>0$, la urcare $L_G<0$, iar pe un traseu care revine la nivelul de plecare $L_G=0$. Pe un plan înclinat de unghi $\alpha$, greutatea are o componentă $mg\sin \alpha$ paralelă cu planul; la o coborâre pe distanța $d$, $L_G=mgd\sin \alpha =mgh$, același rezultat ca în formula generală.

Frecarea la alunecare. Pe o suprafață fixă, forța de frecare are modulul $F_f=\mu N$ și sens opus deplasării, deci $L_f=-F_{f}d=-\mu Nd$, unde $d$ este lungimea drumului parcurs, nu distanța dintre capetele traseului. Pe un plan înclinat, $N=mg\cos \alpha$. Forța normală este perpendiculară pe deplasare și nu efectuează lucru. Modulul lucrului frecării la alunecare este egal cu energia mecanică transformată în energie internă a corpurilor aflate în contact: $Q=\mu Nd$.

Forța elastică. Pentru resortul ideal, $F_x=-kx$, unde $x$ este deformarea față de lungimea naturală: pozitivă la alungire, negativă la comprimare. Forța variază liniar cu deformarea, așa că lucrul nu este un produs forță $\times$ deplasare. Interpretarea geometrică: pe graficul modulului forței, $F=k|x|$, lucrul este aria suprafeței dintre grafic și axa deformărilor, luată cu semn. Între deformările $x_i$ și $x_f$, de aceeași parte a poziției naturale, suprafața este un trapez cu aria $\frac{1}{2}(k{x}_i+k{x}_f)|x_i-x_f|$, de unde $L_e=\frac{1}{2}k(x_i^2-x_f^2)$. Formula rămâne valabilă și la trecerea de la comprimare la alungire, fiindcă depinde de pătratele deformărilor. Lucrul este negativ când $|x|$ crește și pozitiv când $|x|$ scade.

Exemplu rezolvat 1. O sanie de $4\mathrm{kg}$ coboară $5\mathrm{m}$ pe o pantă înclinată la $30^{\circ }$, cu coeficientul de frecare la alunecare $\mu =0,2$; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Aflăm lucrul fiecărei forțe.

1. Greutatea: $L_G=mgd\sin \alpha =4\cdot 10\cdot 5\cdot 0,5=100\mathrm{J}$.
2. Normala are modulul $N=mg\cos \alpha =40\cdot 0,866=34,6\mathrm{N}$, deci frecarea are modulul $F_f=\mu N=6,9\mathrm{N}$.
3. Frecarea: $L_f=-F_{f}d=-34,6\mathrm{J}$.
4. Normala este perpendiculară pe deplasare: $L_N=0$.

Suma lucrurilor este $100-34,6=65,4\mathrm{J}$, lucrul total al forțelor care acționează asupra saniei. Rezultatul este plauzibil: frecarea consumă circa o treime din lucrul greutății, pentru un coeficient mic și o pantă de $30^{\circ }$. Pe o pantă mai lină, $\sin \alpha$ scade, iar frecarea ia o parte tot mai mare din lucrul greutății.

Exemplu rezolvat 2. Un resort cu $k=250N/m$ este întins de la lungimea naturală până la alungirea $x_1=0,08\mathrm{m}$, apoi până la $x_2=0,20\mathrm{m}$. Aflăm lucrul forței elastice pe fiecare etapă.

1. Prima etapă: $L_1=\frac{1}{2}k(0-x_1^2)=\frac{1}{2}\cdot 250\cdot (-0,0064)=-0,8\mathrm{J}$.
2. A doua etapă: $L_2=\frac{1}{2}k(x_1^2-x_2^2)=125\cdot (0,0064-0,04)=-4,2\mathrm{J}$.
3. Verificare pe grafic: forța crește de la $20\mathrm{N}$ la $50\mathrm{N}$ pe $0,12\mathrm{m}$, iar aria trapezului este $\frac{20+50}{2}\cdot 0,12=4,2\mathrm{J}$, cu semn negativ.

De la $0$ la $0,20\mathrm{m}$, lucrul total este $-5\mathrm{J}$. Deformarea a crescut de $2,5$ ori, de la $0,08\mathrm{m}$ la $0,20\mathrm{m}$, iar modulul lucrului de la $0,8\mathrm{J}$ la $5\mathrm{J}$, adică de $2,5^2=6,25$ ori: lucrul crește cu pătratul deformării, nu liniar.

Problemele combină aceste trei forțe pe același corp: un schior pe pantă, un bloc lansat de un resort pe o suprafață rugoasă, o ladă trasă pe un plan înclinat. Se cer lucrul fiecărei forțe, lucrul total ca sumă algebrică sau lucrul citit pe un grafic $F(x)$ format din triunghiuri și trapeze, la care aria de sub axă se scade din cea de deasupra. Calculele se sprijină pe $L_G=mg(h_i-h_f)$, $L_f=-\mu Nd$ și $L_e=\frac{1}{2}k(x_i^2-x_f^2)$. La final, verifică semnele: la coborâre lucrul greutății este pozitiv, iar al frecării negativ.

Rezolvările greșite pornesc, de obicei, de la una dintre trei confuzii. Pe plan înclinat, $N=mg\cos \alpha$, nu $mg$ și nu $mg\sin \alpha$. Pe un traseu dus-întors, lucrul greutății este zero, dar lucrul frecării nu se anulează: este $-2F_{f}d$, pentru că frecarea își schimbă sensul odată cu deplasarea. Lucrul resortului între două deformări nu se calculează înmulțind deplasarea cu forța de la un capăt al intervalului.

Exemplu în formatul examenului. Un schior de $60\mathrm{kg}$ coboară $200\mathrm{m}$ pe o pantă înclinată la $30^{\circ }$, cu coeficientul de frecare $\mu =0,1$; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Suma lucrurilor greutății și frecării este aproximativ:

• a) $54,0\mathrm{kJ}$
• b) $60,0\mathrm{kJ}$
• c) $48,0\mathrm{kJ}$
• d) $49,6\mathrm{kJ}$

Rezolvare.

1. Lucrul greutății: $L_G=mgd\sin 30^{\circ }=60\cdot 10\cdot 200\cdot 0,5=60000\mathrm{J}$.
2. Normala: $N=mg\cos 30^{\circ }=600\cdot 0,866=519,6\mathrm{N}$.
3. Lucrul frecării: $L_f=-\mu Nd=-0,1\cdot 519,6\cdot 200=-10392\mathrm{J}$.
4. Suma: $60000-10392\approx 49600\mathrm{J}=49,6\mathrm{kJ}$.

Cine alege c) a luat $N=mg$, cine alege a) a luat $N=mg\sin 30^{\circ }$, iar cine alege b) a ignorat frecarea.

Răspuns corect: d).

Greșeli frecvente

• Greșit: a da același semn lucrului greutății la urcare și la coborâre.
  Corect: la coborâre lucrul greutății este pozitiv, la urcare negativ.
• Greșit: a calcula lucrul frecării din deplasarea directă dintre capete, chiar când traseul are ocoluri.
  Corect: lucrul frecării depinde de lungimea drumului: $L_f=-F_{f}d$.
• Greșit: a folosi $L=F_{\mathrm{final}}d$ pentru resort, deși forța variază.
  Corect: $L_e=\frac{1}{2}k(x_i^2-x_f^2)$.
• Greșit: a spune că la o urcare urmată de o coborâre pe același drum frecarea își anulează lucrul, ca greutatea.
  Corect: lucrul greutății se anulează, iar al frecării este $-2F_{f}d$.

Înainte și după