Legea lui Arhimede

Un obiect scufundat în apă este mai ușor de ridicat decât în aer, dacă efectele aerului sunt neglijabile. Apa îl împinge în sus. Această forță se numește forța arhimedică. Ea apare deoarece presiunea lichidului este mai mare la partea de jos a obiectului decât la partea de sus; rezultanta forțelor de presiune este orientată în sus.

Legea lui Arhimede spune că forța arhimedică este egală cu greutatea fluidului dezlocuit de partea scufundată a obiectului. „Fluid” înseamnă lichid sau gaz. Dacă un obiect dezlocuiește $0,001{\mathrm{m}}^3$ de apă cu densitatea $1000kg/{\mathrm{m}}^3$, masa apei dezlocuite este $1\mathrm{kg}$, iar greutatea ei este aproximativ $10\mathrm{N}$ dacă folosim $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Forța arhimedică are atunci modulul $10\mathrm{N}$.

Exemplu rezolvat. O piatră cu volumul de $2\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$ are greutatea de $50\mathrm{N}$ în aer. O scufundăm complet în apă, agățată de un dinamometru (${\rho }_{ap\breve{a}}=1000kg/{\mathrm{m}}^3$, $g=10N/kg$).

1. Volumul dezlocuit este volumul pietrei: $V=2\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=0,002{\mathrm{m}}^3$.
2. Masa apei dezlocuite este $m=\rho V=1000\cdot 0,002=2\mathrm{kg}$, iar greutatea ei este $20\mathrm{N}$.
3. Forța arhimedică este deci $F_A=20\mathrm{N}$, orientată în sus.
4. Dinamometrul arată acum $50-20=30\mathrm{N}$, mai puțin decât în aer.

Un obiect plutește în echilibru când forța arhimedică îl susține și se echilibrează cu greutatea lui. Dacă un obiect lăsat liber are greutatea mai mare decât forța arhimedică maximă la scufundare completă, se scufundă. Chiar și un obiect care se scufundă primește forță arhimedică; faptul că nu plutește nu înseamnă că apa nu îl împinge. Același fenomen apare în aer: un balon umplut cu heliu urcă fiindcă forța arhimedică exercitată de aer este mai mare decât greutatea balonului cu tot cu gaz.

Contează volumul părții scufundate, nu neapărat volumul total al obiectului. O navă plutește fiindcă forma ei cuprinde mult aer și dezlocuiește destulă apă pentru ca greutatea apei dezlocuite să egaleze greutatea navei. Nu explica plutirea doar prin „metalul este ușor” sau „apa ține orice obiect”.

Același principiu explică vesta de salvare: volumul ei mare, cu masă mică, dezlocuiește multă apă și ține omul la suprafață.

Forța arhimedică se deduce din diferența de presiune. Pentru un cub cu fața de arie $S$, scufundat vertical în lichidul de densitate ${\rho }_f$, față inferioară este la adâncimea $h_2$, iar cea superioară la $h_1$. Forțele laterale se anulează, iar forțele de pe fețele orizontale dau rezultanta $F={\rho }_{f}g{h}_{2}S-{\rho }_{f}g{h}_{1}S={\rho }_{f}gS(h_2-h_1)={\rho }_{f}gV$, orientată în sus. Pentru fluid de densitate ${\rho }_f$ și volum dezlocuit $V_{\mathrm{imersat}}$, $F_A={\rho }_{f}g{V}_{\mathrm{imersat}}$. Forța este vertical în sus în câmp gravitațional uniform și acționează în centrul de greutate al fluidului dezlocuit.

Pentru un corp suspendat în fluid, greutatea aparentă indicată de un dinamometru este $G_{\mathrm{ap}}=G-F_A$ în repaus, dacă acestea sunt singurele forțe verticale. Un corp omogen care plutește parțial are ${\rho }_c{V}_{c}g={\rho }_f{V}_{\mathrm{imersat}}g$, deci fracția imersată este $V_{\mathrm{imersat}}/V_c={\rho }_c/{\rho }_f$. La gaze, aceeași lege explică flotabilitatea baloanelor: un balon cu volumul de $1{\mathrm{m}}^3$ aflat în aer cu densitatea de $1,2kg/{\mathrm{m}}^3$ primește $F_A=1,2\cdot 10\cdot 1=12\mathrm{N}$.

Forța arhimedică depinde de densitatea fluidului și de volumul scufundat, nu de adâncime și nici de materialul sau de masa corpului. Pentru un corp omogen complet scufundat și lăsat liber, comparația dintre densități hotărăște mișcarea. Dacă ${\rho }_c>{\rho }_f$, greutatea depășește forța arhimedică și corpul coboară. Dacă ${\rho }_c={\rho }_f$, cele două forțe sunt egale și corpul rămâne în echilibru la orice adâncime, ca un submarin cu rezervoarele de balast echilibrate. Dacă ${\rho }_c<{\rho }_f$, corpul urcă și iese parțial la suprafață, până când partea scufundată dezlocuiește un volum a cărui greutate egalează greutatea corpului. Un aisberg, cu gheață de $917kg/{\mathrm{m}}^3$ în apă de mare de $1025kg/{\mathrm{m}}^3$, are scufundată o fracție de aproximativ $89\%$ din volum.

Exemplu rezolvat 1 — densitatea unui corp din două cântăriri. Un corp agățat de un dinamometru arată $5,0\mathrm{N}$ în aer și $3,0\mathrm{N}$ complet scufundat în apă.

1. Forța arhimedică este diferența indicațiilor: $F_A=5,0-3,0=2,0\mathrm{N}$.
2. Volumul corpului este $V=F_A/(\rho g)=2,0/(1000\cdot 10)=2,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^3=200\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$.
3. Masa este $m=G/g=0,50\mathrm{kg}$.
4. Densitatea este ${\rho }_c=m/V=0,50/(2,0\cdot 10^{-4})=2500kg/{\mathrm{m}}^3$, mai mare decât a apei, deci corpul se scufundă.

Metoda se folosește pentru a recunoaște un material fără a-l distruge: densitatea găsită se compară cu valorile cunoscute din tabele. Cei $2500kg/{\mathrm{m}}^3$ de aici sunt apropiați de densitatea sticlei obișnuite.

Exemplu rezolvat 2 — bloc de lemn la plutire. Un bloc de lemn cu dimensiunile $0,50\times 0,40\times 0,20\mathrm{m}$ și densitatea $600kg/{\mathrm{m}}^3$ plutește în apă.

1. Volumul blocului este $V_c=0,50\cdot 0,40\cdot 0,20=0,040{\mathrm{m}}^3$.
2. Fracția scufundată este ${\rho }_c/{\rho }_f=600/1000=0,60$, deci volumul imersat este $0,024{\mathrm{m}}^3$.
3. Blocul poate fi încărcat până când se scufundă complet. La limită, $F_A={\rho }_{f}g{V}_c=400\mathrm{N}$, iar greutatea blocului este $240\mathrm{N}$.
4. Sarcina suplimentară maximă are greutatea $400-240=160\mathrm{N}$, adică masa de $16\mathrm{kg}$.

Aceeași idee se aplică navelor: masa apei dezlocuite de partea scufundată, numită deplasament, este egală cu masa navei împreună cu încărcătura, iar linia de plutire coboară pe măsură ce nava se încarcă.

De unde vine forța arhimedică (clasa a VII-a)

Presiunea dintr-un lichid crește cu adâncimea: $p=p_0+\rho gh$. Pe fața de jos a unui corp scufundat apasă o presiune mai mare decât pe fața de sus, iar forțele laterale se anulează. Rezultă o forță verticală, orientată în sus, egală cu greutatea lichidului care ar ocupa locul corpului. Aceasta este forța arhimedică. Ea depinde de densitatea fluidului și de volumul imersat, nu de masa sau de materialul corpului: o bilă de fier și una de aluminiu cu același volum, scufundate complet în apă, primesc aceeași forță arhimedică.

Legea este valabilă și pentru gaze. Un balon cu heliu urcă pentru că forța arhimedică a aerului este mai mare decât greutatea balonului cu tot cu gaz.

Greutatea aparentă

Un corp agățat de un dinamometru și scufundat complet în apă pare mai ușor: dinamometrul indică $G-F_A$. Diferența dintre indicația în aer și cea în apă este chiar forța arhimedică. Din ea afli volumul corpului și, apoi, densitatea lui (exemplul 2). Pe acest principiu se determină experimental densitatea unui corp cu formă neregulată.

Plutire, scufundare, urcare

Pentru un corp complet scufundat, compari greutatea lui, ${\rho }_{\text{corp}}gV$, cu forța arhimedică, ${\rho }_{\text{fluid}}gV$. Volumul se simplifică, deci decide numai raportul densităților. Un corp mai puțin dens decât lichidul urcă până la suprafață și rămâne plutind parțial scufundat: atunci $G=F_A$, iar fracțiunea scufundată este raportul densităților.

Mecanica fluidelor în clasa a IX-a

În proiectul programei de clasa a IX-a (2025), legea lui Arhimede apare la „Noțiuni de statica fluidelor”, alături de presiunea hidrostatică, presiunea atmosferică și legea lui Pascal; urmează curgerea fluidelor, debitul și legea lui Bernoulli.

Înainte și după

• Înainte: densitatea, greutatea și forța, din capitolul Mecanica; presiunea și presiunea hidrostatică.
• După: legea lui Pascal și presa hidraulică; curgerea fluidelor și legea lui Bernoulli, în clasa a IX-a.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: o piatră scufundată (clasa a VII-a)

O piatră cu volumul de $0,5{\text{dm}}^3$ este complet scufundată în apă ($\rho =1000{\text{kg/m}}^3$, $g=10\text{N/kg}$). Ce forță arhimedică acționează asupra ei?

1. Volumul în SI: $0,5{\text{dm}}^3=0,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^3=5\cdot 10^{-4}{\text{m}}^3$.
2. $F_A=\rho gV=1000\cdot 10\cdot 5\cdot 10^{-4}=5\text{N}$.

Exemplul 2: densitatea din două cântăriri

Un corp agățat de un dinamometru indică $12\text{N}$ în aer și $8\text{N}$ când este complet scufundat în apă. Află volumul, masa și densitatea corpului ($g=10\text{N/kg}$).

1. Forța arhimedică: $F_A=12-8=4\text{N}$.
2. Volumul: $V=\frac{F_A}{{\rho }_{\text{apa˘}}g}=\frac{4}{1000\cdot 10}=4\cdot 10^{-4}{\text{m}}^3=0,4{\text{dm}}^3$.
3. Masa: $m=\frac{G}{g}=1,2\text{kg}$.
4. Densitatea: $\rho =\frac{m}{V}=\frac{1,2}{4\cdot 10^{-4}}=3000{\text{kg/m}}^3$.

Verificare: $\frac{{\rho }_{\text{corp}}}{{\rho }_{\text{apa˘}}}=3=\frac{G}{F_A}=\frac{12}{4}$.

Exemplul 3: un bloc de lemn care plutește

Un bloc de lemn cu densitatea de $600{\text{kg/m}}^3$ plutește în apă. Ce fracțiune din volumul lui este scufundată?

1. La plutire, $G=F_A$: ${\rho }_{\text{lemn}}gV={\rho }_{\text{apa˘}}g{V}_{\text{imersat}}$.
2. $\frac{V_{\text{imersat}}}{V}=\frac{600}{1000}=0,6$.

Blocul plutește cu $60\%$ din volum sub apă și $40\%$ deasupra.

Exemplul 4: aisbergul

Ce fracțiune dintr-un aisberg se află sub apă, dacă densitatea gheții este $900{\text{kg/m}}^3$, iar a apei de mare $1030{\text{kg/m}}^3$?

1. $\frac{V_{\text{imersat}}}{V}=\frac{900}{1030}\approx 0,874$.
2. Aproximativ $87\%$ din aisberg este sub apă și doar $13\%$ se vede.

Exemplul 5: încărcătura unei plute (nivel de examen)

O plută din lemn ($\rho =600{\text{kg/m}}^3$) are volumul de $0,5{\text{m}}^3$. Ce masă maximă poate transporta pe un lac fără ca pluta să se scufunde complet ($g=10\text{N/kg}$)?

1. Forța arhimedică maximă, cu pluta complet scufundată: $F_{A,\max }=1000\cdot 10\cdot 0,5=5000\text{N}$.
2. Greutatea plutei: $G_p=600\cdot 0,5\cdot 10=3000\text{N}$.
3. Încărcătura maximă: $G_{\max }=5000-3000=2000\text{N}$, adică $m_{\max }=200\text{kg}$.

Cum recunoști tipul: „la limită” înseamnă volumul imersat egal cu tot volumul plutei; încărcătura este diferența dintre forța arhimedică maximă și greutatea plutei.

Unde apare la examen

• Clasa a VII-a: legea lui Arhimede și aplicațiile ei sunt în domeniul „Statica fluidelor” din programa de gimnaziu (OMEN 3393/2017). Fizica nu este probă la Evaluarea Națională.
• Clasa a IX-a, programa nouă: în proiectul programei de clasa a IX-a (2025), legea lui Arhimede apare la „Noțiuni de statica fluidelor”, în capitolul de mecanica fluidelor. Programa este aprobată prin OMEC 6930/2025, anexa 30; detaliul e citit pe proiect.
• Bacalaureatul, proba de fizică: modulul A, Mecanică, nu cuprinde statica fluidelor; legea lui Arhimede nu este în programa de examen (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).

Greșeli frecvente

• Greșit: Folosirea volumului total în formulă pentru un corp care plutește doar parțial scufundat.
  Corect: la plutire parțială se folosește doar volumul scufundat.
• Greșit: a spune că un obiect care se scufundă nu primește forță arhimedică.
  Corect: orice corp scufundat primește forță arhimedică; se scufundă dacă G > F_A.
• Greșit: a compara doar densitățile materialelor unei nave fără a lua în seamă forma și aerul cuprins.
  Corect: nava plutește pentru că densitatea ei medie (cu aerul din ea) e mai mică decât a apei.
• Greșit: a pune în $F_A=\rho gV$ densitatea corpului.
  Corect: în formulă intră densitatea fluidului.
• Greșit: a lăsa volumul în litri sau în decimetri cubi neconvertit.
  Corect: $1\text{L}=1{\text{dm}}^3=10^{-3}{\text{m}}^3$.
• Greșit: „corpurile grele se scufundă”.
  Corect: decide densitatea medie, nu greutatea; un vapor de mii de tone plutește, iar un cui de câteva grame se scufundă.
• Greșit: „forța arhimedică crește cu adâncimea”.
  Corect: pentru un corp complet scufundat într-un lichid omogen, ea este aceeași la orice adâncime.

Înainte și după

Întrebări frecvente