Tensiune mecanică și modul de elasticitate

Două fire sunt trase cu aceeași forță. Unul este subțire, iar altul gros. La întindere axială uniformă, firul subțire are tensiune mecanică mai mare, fiindcă aceeași forță se distribuie pe o secțiune mai mică. Tensiunea mecanică este forța raportată la aria secțiunii pe care acționează. Aici „tensiune” nu înseamnă tensiune electrică.

Un fir tras se poate alungi. Dacă un fir de $1,00\mathrm{m}$ ajunge la $1,01\mathrm{m}$, alungirea este $0,01\mathrm{m}$. Pentru a compara fire de lungimi diferite, raportăm alungirea la lungimea inițială; această comparație se numește alungire relativă. Un fir lung poate avea o alungire mai mare decât unul scurt, fără ca materialul lui să fie neapărat mai ușor de întins.

Materialele diferă. O bandă elastică se alungește vizibil când o tragi, o sârmă de oțel mult mai puțin în condiții asemănătoare. Modulul de elasticitate descrie cât de rigid răspunde materialul la deformări mici, în domeniul în care relația este liniară. Nu înseamnă că orice material revine întotdeauna la forma inițială; dacă solicitarea este prea mare, poate apărea deformare permanentă sau rupere.

Această lecție duce mai departe ideea din „Legea lui Hooke”. La resort, constanta $k$ descrie resortul concret. La un material întins, modulul de elasticitate ajută să comparăm materiale și corpuri cu lungimi ori secțiuni diferite. Înainte de formule, identifică forța, aria, lungimea inițială și schimbarea de lungime.

La întinderea axială a unei bare, forța $F$ acționează perpendicular pe secțiunea de arie $S$. Tensiunea mecanică (efortul unitar normal) este $\sigma =F/S$, cu unitatea $N/{\mathrm{m}}^2=\mathrm{Pa}$. Deformarea relativă (alungirea relativă) este $\epsilon =\Delta \ell /{\ell }_0$, un număr fără unitate, uneori exprimat în procente. În domeniul elastic liniar, $\sigma$ și $\epsilon$ sunt direct proporționale: $\sigma =E\epsilon$, relație numită legea lui Hooke pentru materiale. Mărimea $E$ este modulul de elasticitate longitudinal (modulul lui Young) și se măsoară în pascali. Ordinele de mărime sunt: oțel $2\cdot 10^{11}\mathrm{Pa}$, cupru $1,2\cdot 10^{11}\mathrm{Pa}$, aluminiu $7\cdot 10^{10}\mathrm{Pa}$, iar la cauciuc de ordinul $10^7\mathrm{Pa}$ sau mai puțin. Un modul mare înseamnă un material greu de deformat.

Modulul $E$ este o proprietate a materialului și nu depinde de forma sau dimensiunile piesei. Din $F/S=E\Delta \ell /{\ell }_0$ rezultă alungirea absolută $\Delta \ell =\frac{F{\ell }_0}{ES}$. Comparând cu $F=k\Delta \ell$ se obține constanta elastică a barei, $k=ES/{\ell }_0$: la același material, bara este mai rigidă dacă e mai groasă și mai puțin rigidă dacă e mai lungă. O bară de oțel cu $S=10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ și ${\ell }_0=1\mathrm{m}$ are $k=2\cdot 10^{5}N/m$.

Graficul $\sigma (\epsilon )$ este o dreaptă până la limita de proporționalitate. Până la limita de elasticitate, corpul revine la forma inițială după îndepărtarea forței. Dincolo de ea apare o deformare permanentă, iar la tensiunea de rupere ${\sigma }_r$ materialul cedează. În construcții se lucrează cu o tensiune admisibilă ${\sigma }_a={\sigma }_r/c$, unde $c>1$ este coeficientul de siguranță. Relația $\sigma =E\epsilon$ nu se folosește în afara domeniului liniar. La compresiune formulele rămân aceleași, cu $\Delta \ell <0$: un stâlp de beton sau o coloană de piatră se verifică la compresiune, iar o frânghie sau un cablu, la întindere. Același material poate avea tensiuni de rupere diferite la întindere și la compresiune.

Tensiunea mecanică nu este nici tensiunea electrică, nici tensiunea din fir (o forță): este forța pe unitatea de arie. O forță de $1000\mathrm{N}$ care acționează pe $2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ produce $\sigma =5\cdot 10^6\mathrm{Pa}$, dar aceeași forță pe $2{\mathrm{m}}^2$ produce numai $500\mathrm{Pa}$.

Exemplu rezolvat 1. O sârmă de oțel cu diametrul de $2\mathrm{mm}$ și lungimea de $2,5\mathrm{m}$ este întinsă cu o forță de $300\mathrm{N}$. Se cer tensiunea mecanică, deformarea relativă și alungirea, cu $E=2\cdot 10^{11}\mathrm{Pa}$.

1. Secțiunea este $S=\pi d^2/4=3,14\cdot (2\cdot 10^{-3}{)}^2/4\approx 3,14\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$.
2. Tensiunea este $\sigma =F/S=300/(3,14\cdot 10^{-6})\approx 9,6\cdot 10^7\mathrm{Pa}$.
3. Deformarea relativă este $\epsilon =\sigma /E=9,6\cdot 10^7/(2\cdot 10^{11})\approx 4,8\cdot 10^{-4}$, iar alungirea este $\Delta \ell =\epsilon {\ell }_0\approx 4,8\cdot 10^{-4}\cdot 2,5\mathrm{m}\approx 1,2\mathrm{mm}$.

Alungirea este de numai $0,048\%$ din lungimea sârmei, ceea ce arată cât de rigid este oțelul.

Exemplu rezolvat 2. Un cablu de oțel trebuie să ridice o sarcină de $500\mathrm{kg}$. Tensiunea admisibilă este ${\sigma }_a=1,0\cdot 10^8\mathrm{Pa}$. Se cere diametrul minim al cablului, cu $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Forța de întindere este egală cu greutatea sarcinii: $F=mg=500\cdot 10=5000\mathrm{N}$.
2. Aria minimă a secțiunii este $S_{\min }=F/{\sigma }_a=5000/(1,0\cdot 10^8)=5\cdot 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$.
3. Din $S=\pi d^2/4$ rezultă $d=\sqrt{4S/\pi }=\sqrt{4\cdot 5\cdot 10^{-5}/3,14}\approx 8,0\cdot 10^{-3}\mathrm{m}=8,0\mathrm{mm}$.

Un diametru mai mic ar depăși tensiunea admisibilă.

Greșeli frecvente

• Greșit: a confunda tensiunea mecanică cu tensiunea electrică sau cu forța dintr-un fir ideal.
  Corect: tensiunea mecanică este $F/S$ în $\mathrm{Pa}$, nu tensiune electrică și nici forță.
• Greșit: a compara alungirile absolute ale unor fire cu lungimi inițiale diferite, fără deformarea relativă.
  Corect: se compară alungirile relative $\Delta \ell /{\ell }_0$.
• Greșit: a folosi relația $\sigma =E\epsilon$ după deformarea permanentă.
  Corect: $\sigma =E\epsilon$ se aplică doar în domeniul elastic.
• Greșit: a considera că modulul de elasticitate $E$ crește dacă firul este mai gros.
  Corect: $E$ depinde numai de material; constanta elastică $k=ES/{\ell }_0$ este cea care depinde de dimensiuni.

Înainte și după