Media geometrică

Media geometrică a două numere reale pozitive $a$ și $b$ este radicalul produsului lor. Se obține în doi pași: înmulțești numerele, apoi extragi radicalul din produs.

Definiția

Media geometrică a două numere reale pozitive $a$ și $b$ este

Calculul are doi pași: înmulțești numerele, apoi extragi radicalul din produs. Exemplu rezolvat. Pentru $a=2$ și $b=8$, produsul este $16$, deci $m_g=4$.

Condiția ca numerele să fie pozitive contează. Dacă produsul ar fi negativ, radicalul nu ar exista în mulțimea numerelor reale.

Ce înseamnă „medie”

Media aritmetică răspunde la întrebarea: ce număr, adunat de două ori, dă aceeași sumă ca $a+b$? Media geometrică răspunde la o întrebare asemănătoare pentru produs. Ce număr, înmulțit cu el însuși, dă același produs ca $a\cdot b$? Din $m_g\cdot m_g=a\cdot b$ rezultă $m_g=\sqrt{ab}$.

O imagine geometrică: un dreptunghi cu laturile $a$ și $b$ are aceeași arie ca un pătrat cu latura $\sqrt{ab}$. Media geometrică este latura acestui pătrat. De aici vine și numele.

Media geometrică în proporții

Din $m_g^2=a\cdot b$ poți scrie proporția $\frac{a}{m_g}=\frac{m_g}{b}$, în care media geometrică apare de două ori, la mezi. Forma aceasta apare des în geometrie, când două triunghiuri asemenea au o latură comună.

Comparația cu media aritmetică

Pentru orice numere reale pozitive $a$ și $b$,

Iată de ce. Pătratul unui număr real nu este niciodată negativ, deci $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$. Desfaci pătratul: $a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$. Rezultă $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, iar după împărțirea la $2$ obții inegalitatea. Egalitatea are loc numai când $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, adică $a=b$.

Mai mult, media geometrică stă între cele două numere: dacă $a\le b$, atunci $a\le \sqrt{ab}\le b$. E un test rapid: dacă îți iese o medie mai mică decât numărul mai mic, ai greșit.

Calcule cu radicali

Multe exerciții îți dau numere cu radicali. Câteva situații tipice:

• numere cu același radical: $\sqrt{2\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}=\sqrt{12\cdot 3}=\sqrt{36}=6$;
• produs care nu este pătrat perfect: $\sqrt{2\cdot 6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, după scoaterea factorilor de sub radical;
• numere conjugate, de forma $x-\sqrt{y}$ și $x+\sqrt{y}$: produsul lor este $x^2-y$, deci radicalii dispar.

Descompunerea în factori primi îți arată ce pătrate perfecte conține produsul și ce scoți de sub radical.

Legătura cu triunghiul dreptunghic

În triunghiul $ABC$ cu unghiul $A$ drept și înălțimea $AD$:

• teorema înălțimii spune că $AD=\sqrt{BD\cdot DC}$, adică înălțimea este media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză;
• teorema catetei spune că $AB=\sqrt{BD\cdot BC}$, adică o catetă este media geometrică dintre proiecția ei și ipotenuză.

Desenul cu dreptunghiul și pătratul

În desen, dreptunghiul are laturile $4$ și $25$, iar pătratul are latura $10$. Ambele au aria $100$, pentru că $4\cdot 25=10\cdot 10=100$, deci latura pătratului este $\sqrt{4\cdot 25}=10$. Media aritmetică, $\frac{4+25}{2}=14,5$, nu dă un pătrat cu aceeași arie: un pătrat cu latura $14,5$ ar avea aria $14,5^2=210,25$. Perimetrele diferă și ele: dreptunghiul are $2(4+25)=58$, iar pătratul $4\cdot 10=40$. La aceeași arie, pătratul are cel mai mic perimetru, și aici se vede de ce $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$.

Raportul constant

Media geometrică înmulțește, nu adună. De la $4$ la $10$ crești de $2,5$ ori, iar de la $10$ la $25$ tot de $2,5$ ori, pentru că $\frac{4}{10}=\frac{10}{25}$ (proporția din definiție). Media aritmetică, în schimb, este la distanță egală de capete: $14,5-4=10,5$ și $25-14,5=10,5$. De aceea media geometrică se potrivește când mărimile cresc de un număr de ori, iar cea aritmetică când cresc cu un număr fix.

Numere zecimale, fracții și amplificare

Regula rămâne aceeași și pentru numere care nu sunt întregi: $m_g(0,4;0,9)=\sqrt{0,36}=0,6$ și $m_g\left(\frac{1}{4},\frac{1}{9}\right)=\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}$. Dacă înmulțești ambele numere cu același număr pozitiv $t$, media geometrică se înmulțește cu $t$: $\sqrt{ta\cdot tb}=t\sqrt{ab}$. Pentru $8=2\cdot 4$ și $50=2\cdot 25$ obții $2\cdot 10=20$, adică $\sqrt{8\cdot 50}=\sqrt{400}=20$.

Aceeași sumă, medii geometrice diferite

Numerele $10$ și $10$, $4$ și $16$, respectiv $1$ și $19$ au toate suma $20$, deci aceeași medie aritmetică, $10$. Mediile lor geometrice sunt $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{64}=8$ și $\sqrt{19}$, adică aproximativ $4,36$. Cu cât numerele sunt mai depărtate între ele, cu atât media geometrică scade față de cea aritmetică, iar când numerele sunt egale cele două medii coincid. Observația explică de ce, la suma dată, produsul este cel mai mare pentru numere egale.

Estimare când produsul nu este pătrat perfect

Pentru $3$ și $5$, produsul este $15$, deci $m_g=\sqrt{15}$. Cum $9<15<16$, rezultă $3<\sqrt{15}<4$, iar media aritmetică este $4$. Estimarea te ajută să verifici dacă rezultatul stă între cele două numere și sub media aritmetică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: cele două medii

Calculează media geometrică și media aritmetică a numerelor $4$ și $25$.

1. $m_g=\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10$.
2. $m_a=\frac{4+25}{2}=14,5$.

Verificare: $4\le 10\le 14,5$, cum spune comparația mediilor.

Exemplul 2: cu radicali

a) $m_g(3\sqrt{2},6\sqrt{2})=\sqrt{3\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}=\sqrt{36}=6$.

b) $m_g(2,6)=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

c) $m_g(\sqrt{5},\sqrt{20})=\sqrt{\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}}=\sqrt{\sqrt{100}}=\sqrt{10}$.

Exemplul 3: numere conjugate

Calculează media geometrică și media aritmetică a numerelor $a=7-4\sqrt{3}$ și $b=7+4\sqrt{3}$.

1. Numerele sunt pozitive, pentru că $4\sqrt{3}=\sqrt{48}<\sqrt{49}=7$.
2. $a\cdot b=7^2-(4\sqrt{3}{)}^2=49-48=1$, deci $m_g=1$.
3. $m_a=\frac{(7-4\sqrt{3})+(7+4\sqrt{3})}{2}=7$.

Cum recunoști tipul: numerele diferă numai prin semnul din fața radicalului. Produsul lor nu mai conține radicali.

Exemplul 4: un număr necunoscut

a) Media geometrică a numerelor $x$ și $12$ este $6$. Din $\sqrt{12x}=6$ rezultă $12x=36$, deci $x=3$.

b) Două numere naturale au media aritmetică $10$ și media geometrică $8$. Află numerele.

1. Suma lor este $2\cdot 10=20$, iar produsul este $8^2=64$.
2. Cauți doi divizori ai lui $64$ cu suma $20$. Perechile de divizori sunt $1$ și $64$, $2$ și $32$, $4$ și $16$, $8$ și $8$. Numai $4+16=20$.
3. Numerele sunt $4$ și $16$.

Verificare: $\sqrt{4\cdot 16}=8$ și $\frac{4+16}{2}=10$.

Exemplul 5: în triunghiul dreptunghic (nivel de examen)

În triunghiul $ABC$ cu $\angle A=90^{\circ }$, înălțimea $AD$ împarte ipotenuza în segmentele $BD=2$ cm și $DC=18$ cm. Află înălțimea și catetele.

1. Înălțimea este media geometrică a proiecțiilor: $AD=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$ cm.
2. Ipotenuza este $BC=20$ cm.
3. $AB=\sqrt{BD\cdot BC}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ cm și $AC=\sqrt{DC\cdot BC}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$ cm.

Verificare: $A{B}^2+A{C}^2=40+360=400=B{C}^2$, iar $\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{2\sqrt{10}\cdot 6\sqrt{10}}{20}=\frac{120}{20}=6=AD$.

Greșeli frecvente

• Greșit: media geometrică se obține împărțind produsul la $2$.
  Corect: media geometrică este $\sqrt{ab}$, fără împărțire; împărțirea la $2$ ține de media aritmetică.
• Greșit: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
  Corect: radicalul unui produs este produsul radicalilor, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$.
• Greșit: se calculează media geometrică pentru un număr negativ.
  Corect: pentru $-4$ și $9$ produsul este negativ, iar $\sqrt{-36}$ nu există în $\mathbb{R}$.
• Greșit: rezultatul se lasă nesimplificat.
  Corect: $\sqrt{12}$ se scrie $2\sqrt{3}$, iar $\sqrt{\sqrt{100}}$ se scrie $\sqrt{10}$.
• Greșit: media geometrică depășește media aritmetică.
  Corect: media geometrică nu depășește niciodată media aritmetică; dacă îți iese invers, verifică produsul.

Înainte și după

Întrebări frecvente