Modulul unui număr real

Modulul unui număr real este distanța dintre punctul său de pe axă și zero. Se scrie între bare verticale: $|-5|=5$, $|5|=5$, $|0|=0$. O distanță nu poate fi negativă. Numerele opuse au același modul, dar modulul nu îți spune în ce parte a lui zero se află numărul.

Regula este simplă: dacă numărul este pozitiv sau zero, îi păstrezi valoarea; dacă este negativ, îi schimbi semnul. Prin urmare, $|x|=x$ pentru $x\ge 0$ și $|x|=-x$ pentru $x<0$. Ultima expresie nu este negativă: când $x=-3$, avem $-x=3$. La numerele iraționale stabilești întâi semnul. Din $\sqrt{2}<2$ rezultă $\sqrt{2}-2<0$, deci $|\sqrt{2}-2|=-(\sqrt{2}-2)=2-\sqrt{2}$.

Expresia $-x$ nu este neapărat negativă: este opusul lui $x$, deci este pozitivă când $x$ este negativ. Modulul diferenței exprimă și distanța dintre două numere: $|a-b|=|b-a|$. De pildă, distanța dintre $-2$ și $4$ este $|-2-4|=|-6|=6$. Poți verifica numărând șase pași pe axă. Aceeași idee apare în situații concrete: un submarin se află la $-40$ m față de nivelul mării, iar un avion la $120$ m, deci distanța pe verticală dintre ele este $|120-(-40)|=160$ m. Această idee te ajută să înțelegi ecuații simple cu modul: $|x|=3$ cere puncte aflate la trei unități de zero, adică $x=-3$ sau $x=3$. Ecuația $|x|=0$ are o singură soluție, $x=0$, iar $|x|=-2$ nu are soluții, fiindcă o distanță nu este negativă. Condiția $|x|<3$ înseamnă că distanța față de zero este mai mică decât $3$, deci $x$ se află între $-3$ și $3$.

Modulul are proprietăți pe care le folosești la calcule: $|x|\ge 0$; $|-x|=|x|$; $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$; $|x:y|=|x|:|y|$ pentru $y\ne 0$; $|x{|}^2=x^2$. De exemplu, $|-3\cdot 4|=12=|-3|\cdot |4|$. Atenție: pentru sumă nu avem egalitate, fiindcă $|-2+5|=3$, dar $|-2|+|5|=7$. Modulul ajută și la comparare: dintre două numere negative, cel cu modulul mai mare este mai mic, deci $-7<-3$, deoarece $|-7|=7>3=|-3|$.

Exemplu rezolvat. Găsește numerele aflate la distanța $2$ de $5$.

1. Scriem $|x-5|=2$.
2. Un punct este la stânga: $5-2=3$.
3. Celălalt este la dreapta: $5+2=7$.
4. Verificăm: $|3-5|=2$ și $|7-5|=2$, deci soluțiile sunt $3$ și $7$.

Exemplu rezolvat. Calculează $|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-1|$.

1. Din $1<\sqrt{3}<2$ rezultă $\sqrt{3}-2<0$ și $\sqrt{3}-1>0$.
2. Deci $|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$ și $|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$.
3. Suma este $2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=1$.

Pentru $r>0$, $|x-a|\le r$ dacă și numai dacă $x\in [a-r;a+r]$, iar $|x-a|\ge r$ dacă și numai dacă $x\le a-r$ sau $x\ge a+r$. Inegalitățile stricte se tratează la fel, cu intervale deschise. Pentru un prag negativ, o egalitate cu un modul nu are soluții. Ecuația $|u|=|v|$ este echivalentă cu $u=v$ sau $u=-v$, deoarece două numere au același modul dacă și numai dacă sunt egale sau opuse.

Proprietățile $|uv|=|u||v|$ și $|u+v|\le |u|+|v|$ sunt valabile pentru toate numerele reale, în timp ce $|u/v|=|u|/|v|$ cere $v\ne 0$. Inegalitatea triunghiului compară distanța directă cu suma distanțelor printr-un punct intermediar; egalitatea are loc dacă și numai dacă $uv\ge 0$. Pentru orice real $x$ avem $\sqrt{x^2}=|x|$, deci $\sqrt{x^2}=x$ numai pentru $x\ge 0$. Când apar mai multe module, zerourile expresiilor din interior separă axa în intervale pe care semnele sunt constante; fiecare formulă obținută se folosește numai pe intervalul cazului respectiv. De exemplu, $|x-3|=x-3$ pentru $x\ge 3$ și $|x-3|=3-x$ pentru $x<3$, deci expresia $|x-3|+2x$ este egală cu $3x-3$ pe $[3;+\infty )$ și cu $x+3$ pe $(-\infty ;3)$.

Pentru orice real $x$ avem $-|x|\le x\le |x|$, fiindcă $x$ este egal cu $|x|$ sau cu opusul lui. Din inegalitatea triunghiului rezultă și $||u|-|v||\le |u-v|$. De exemplu, pentru $u=2$ și $v=-5$ avem $|u+v|=3\le 7=|u|+|v|$, iar $||u|-|v||=3\le 7=|u-v|$.

Geometric, mulțimea $[a-r;a+r]$ este intervalul cu centrul $a$ și raza $r$: ea conține toate punctele aflate la distanță cel mult $r$ de $a$. Când membrul drept al unei ecuații este el însuși o expresie, ca în $|u|=g$, trebuie ca $g\ge 0$, deoarece un modul nu poate fi negativ. Soluțiile găsite pe cazuri se verifică în ecuația inițială tocmai pentru această condiție.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $|2x-3|<5$.

1. Condiția este echivalentă cu $-5<2x-3<5$.
2. Adunăm $3$ în toți membrii: $-2<2x<8$.
3. Împărțim la $2>0$ și obținem $-1<x<4$.
4. Mulțimea soluțiilor este $(-1;4)$. La fiecare capăt modulul are valoarea $5$, deci nu satisface inegalitatea strictă.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $|x-1|=|2x+3|$.

1. Două numere au același modul dacă sunt egale sau opuse: $x-1=2x+3$ sau $x-1=-(2x+3)$.
2. Din prima ecuație, $x=-4$.
3. Din a doua, $x-1=-2x-3$, deci $3x=-2$ și $x=-\frac{2}{3}$.
4. Verificăm: pentru $x=-4$, $|-5|=5=|-5|$. Pentru $x=-\frac{2}{3}$, $\left|-\frac{5}{3}\right|=\frac{5}{3}=\left|\frac{5}{3}\right|$. Mulțimea soluțiilor este $\left\{-4;-\frac{2}{3}\right\}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $|3x-1|\ge 2$.

1. Inegalitatea cere $3x-1\le -2$ sau $3x-1\ge 2$.
2. Prima dă $3x\le -1$, adică $x\le -\frac{1}{3}$. A doua dă $3x\ge 3$, adică $x\ge 1$.
3. Mulțimea soluțiilor este $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right]\cup [1;+\infty )$. Intervalul deschis $\left(-\frac{1}{3};1\right)$, unde modulul este mai mic decât $2$, este exclus.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $|x-2|=3x-1$.

1. Membrul drept trebuie să fie nenegativ: $3x-1\ge 0$, deci $x\ge \frac{1}{3}$.
2. Cazul $x-2=3x-1$ dă $-2x=1$, adică $x=-\frac{1}{2}$. Valoarea nu respectă $x\ge \frac{1}{3}$, deci se elimină.
3. Cazul $x-2=-(3x-1)$ dă $x-2=-3x+1$, deci $4x=3$ și $x=\frac{3}{4}$. Valoarea respectă $x\ge \frac{1}{3}$.
4. Verificăm: $\left|\frac{3}{4}-2\right|=\frac{5}{4}$, iar $3\cdot \frac{3}{4}-1=\frac{5}{4}$. Soluția este $x=\frac{3}{4}$.

Problemă. Câte numere întregi $x$ verifică inegalitatea $|2x-3|\le 5$?

• a) $4$
• b) $5$
• c) $6$
• d) $9$
• e) $11$
• f) infinit de multe

Rezolvare. Inegalitatea este echivalentă cu $-5\le 2x-3\le 5$. Adunăm $3$ în toți membrii: $-2\le 2x\le 8$. Împărțim la $2$: $-1\le x\le 4$. Întregii din $[-1;4]$ sunt $-1;0;1;2;3;4$, deci sunt șase și răspunsul corect este c).

Variantele greșite au o cauză precisă. Varianta a) tratează inegalitatea ca strictă și numără $0;1;2;3$. Varianta b) face diferența $4-(-1)=5$ și uită că ambele capete se numără. Varianta d) scade $3$ în loc să-l adune, obține $x\ge -4$ și numără întregii din $[-4;4]$. Varianta e) uită să împartă la $2$ și numără întregii din $[-2;8]$. Varianta f) citește inegalitatea ca $|2x-3|\ge 5$, ale cărei soluții sunt infinit de multe. Un control rapid confirmă rezultatul: pentru $x=-1$ și $x=4$ modulul este exact $5$, deci capetele se numără, iar pentru $x=5$ modulul este $7>5$, deci $5$ nu convine.

Problemă. Rezolvăm $|x-1|+|x+1|=4$. Pentru $x\le -1$, suma este $-2x$, deci $x=-2$, admis. Pentru $-1\le x\le 1$, suma este $2\ne 4$, deci nu există soluții. Pentru $x\ge 1$, suma este $2x$, deci $x=2$, admis. Soluțiile sunt $\{-2;2\}$. Același rezultat se vede geometric: suma distanțelor de la $x$ la punctele $-1$ și $1$ este $2$ în interiorul segmentului dintre ele, deci valoarea $4$ se atinge numai în afara lui, unde suma este dublul distanței de la $x$ la mijlocul $0$. Din $2|x|=4$ rezultă $|x|=2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $|x-3|<2$ înseamnă $x<1$ sau $x>5$.
  Corect: soluțiile sunt între capete, $x\in (1;5)$.
• Greșit: $|x|=-2$ are soluția $-2$.
  Corect: un modul este nenegativ, deci ecuația nu are soluții reale.
• Greșit: $|-2+5|=|-2|+|5|=7$.
  Corect: $|-2+5|=|3|=3$; egalitatea $|u+v|=|u|+|v|$ are loc numai când $u$ și $v$ au același semn sau unul este zero.
• Greșit: $|\sqrt{2}-2|=\sqrt{2}-2$.
  Corect: $\sqrt{2}-2<0$, deci $|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$.
• Greșit: $|x|=5$ are soluția $x=5$.
  Corect: are două soluții, $-5$ și $5$.

Înainte și după