Propoziții logice și conectori

O propoziție logică este un enunț căruia i se poate atribui una dintre valorile „adevărat” (A) și „fals” (F). „$2$ este par” este adevărată; „$3$ este par” este falsă. O întrebare sau o expresie deschisă precum „$x>2$”, fără valoarea ori domeniul lui $x$, nu are încă o valoare de adevăr determinată.

Din propozițiile $p$ și $q$ construim propoziții noi cu cinci conectori: negația $\neg p$ („nu $p$”), conjuncția $p\wedge q$ („$p$ și $q$”), disjuncția $p\vee q$ („$p$ sau $q$”), implicația $p\to q$ („dacă $p$, atunci $q$”) și echivalența $p\leftrightarrow q$ („$p$ dacă și numai dacă $q$”). „Sau” este inclusiv în logica matematică: disjuncția este adevărată și când ambele propoziții sunt adevărate. Conjuncția este adevărată numai când ambele sunt adevărate, iar negația schimbă valoarea de adevăr.

Exemplu rezolvat. Fie $p$: „$4$ este par” și $q$: „$4<3$”.

1. $p$ este adevărată, $q$ este falsă.
2. $p\wedge q$ este falsă, deoarece ambele ar trebui să fie adevărate.
3. $p\vee q$ este adevărată, deoarece cel puțin una este adevărată.
4. $\neg q$ este adevărată, deoarece $4\ge 3$.

Valoarea de adevăr a unei propoziții compuse se citește dintr-un tabel de adevăr, care are câte un rând pentru fiecare combinație de valori ale propozițiilor componente.

Implicația $p\to q$ este falsă numai când $p$ este adevărată și $q$ este falsă. Dacă $p$ este falsă, implicația este adevărată, oricare ar fi $q$: propoziția „dacă $3$ este par, atunci $5$ este par” este adevărată. Echivalența $p\leftrightarrow q$ este adevărată numai când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr; ea cere ambele implicații, $p\to q$ și $q\to p$.

Din $p\to q$ se formează alte trei implicații. Reciproca este $q\to p$, un enunț diferit, care nu rezultă din prima. Contrapoziția este $\neg q\to \neg p$ și are mereu aceeași valoare de adevăr ca $p\to q$. Inversa este $\neg p\to \neg q$ și este contrapoziția reciprocei. Legile lui De Morgan dau negațiile: $\neg (p\wedge q)$ este $\neg p\vee \neg q$, iar $\neg (p\vee q)$ este $\neg p\wedge \neg q$. Pentru implicație, $\neg (p\to q)$ este $p\wedge \neg q$, deci o implicație se neagă afirmând ipoteza și negând concluzia. Propoziția $p\vee \neg p$ este adevărată pentru orice $p$ și se numește tautologie. Negația dublă nu schimbă valoarea: $\neg (\neg p)$ are aceeași valoare ca $p$.

Valoarea unei propoziții compuse se află evaluând întâi parantezele, apoi negațiile, apoi conectorii. Dacă $p$ este A, $q$ este F și $r$ este A, atunci $(p\wedge q)\to r$ este A, fiindcă $p\wedge q$ este F, iar o implicație cu ipoteza falsă este adevărată. Propoziția $p\wedge (q\to r)$ este și ea A, pe când $\neg p\vee q$ este F.

Exemplu rezolvat. Arătăm că $p\to q$ și $\neg p\vee q$ au aceeași valoare de adevăr.

1. Completăm tabelul pe cele patru rânduri: la $(A;A)$, $p\to q$ este A, iar $\neg p\vee q$ este F sau A, deci A.
2. La $(A;F)$, $p\to q$ este F, iar $\neg p\vee q$ este F sau F, deci F.
3. La $(F;A)$, ambele sunt A. La $(F;F)$, $p\to q$ este A, iar $\neg p\vee q$ este A sau F, deci A.
4. Cele două coloane coincid pe toate rândurile, deci propozițiile sunt echivalente.

Exemplu rezolvat. Negăm propoziția „dacă plouă, iau umbrela”. Folosim $\neg (p\to q)\equiv p\wedge \neg q$. Negația este „plouă și nu iau umbrela”. Propoziția „dacă nu plouă, nu iau umbrela” este inversa, nu negația.

Exemplu rezolvat. Analizăm „dacă $n$ este multiplu de $4$, atunci $n$ este par”.

1. Scriem $n=4k$, cu $k\in \mathbb{Z}$.
2. Atunci $n=2(2k)$, deci $n$ este par, iar implicația este adevărată.
3. Reciproca este falsă: $n=2$ este par, dar nu este multiplu de $4$.

Problemă. Care este negația propoziției „dacă $n$ este par, atunci $n^2$ este par”?

• a) dacă $n$ este impar, atunci $n^2$ este impar
• b) dacă $n^2$ nu este par, atunci $n$ nu este par
• c) $n$ este par și $n^2$ nu este par
• d) $n$ nu este par și $n^2$ este par
• e) dacă $n^2$ este par, atunci $n$ este par
• f) $n$ este par sau $n^2$ nu este par

Rezolvare. Notăm $p$: „$n$ este par” și $q$: „$n^2$ este par”. Propoziția este $p\to q$, iar $\neg (p\to q)$ este $p\wedge \neg q$, adică „$n$ este par și $n^2$ nu este par”. Răspunsul corect este c). Verificare: propoziția inițială este adevărată pentru orice întreg $n$, deci negația ei trebuie să fie falsă pentru orice $n$; într-adevăr, un $n$ par are $n^2$ par.

Variantele greșite confundă negația cu alte transformări. Varianta a) este inversa $\neg p\to \neg q$. Varianta b) este contrapoziția $\neg q\to \neg p$, echivalentă cu propoziția inițială, nu cu negația ei. Varianta e) este reciproca $q\to p$. Varianta d) neagă ipoteza în loc să neagă concluzia. Varianta f) folosește „sau” în locul lui „și”.

Problemă. Demonstrăm că, pentru $a,b\in \mathbb{R}$, egalitatea $ab=0$ are loc dacă și numai dacă $a=0$ sau $b=0$. Dacă $a=0$ sau $b=0$, produsul este $0$. Reciproc, presupunem $ab=0$ și $a\ne 0$. Împărțind la $a$ obținem $b=0$. Deci cel puțin unul dintre $a$ și $b$ este $0$. Am demonstrat ambele implicații, adică echivalența.

Greșeli frecvente

• Greșit: propoziția „$2$ este par sau $4$ este par” este falsă, pentru că „sau” înseamnă că doar una dintre ele este adevărată.
  Corect: „sau” logic este inclusiv, iar propoziția este adevărată, deoarece ambele componente sunt adevărate.
• Greșit: implicația „dacă $3$ este par, atunci $5$ este par” este falsă.
  Corect: ipoteza este falsă, iar o implicație cu ipoteza falsă este adevărată.
• Greșit: negația lui „$n>0$ și $n<10$” este „$n\le 0$ și $n\ge 10$”.
  Corect: negația este „$n\le 0$ sau $n\ge 10$”, conform legilor lui De Morgan.
• Greșit: dacă „dacă $n$ este multiplu de $4$, atunci $n$ este par” este adevărată, atunci și „dacă $n$ este par, atunci $n$ este multiplu de $4$” este adevărată.
  Corect: reciproca se verifică separat; pentru $n=2$ este falsă.
• Greșit: expresiei $x>2$ i se poate atribui o valoare de adevăr fără să se precizeze $x$.
  Corect: valoarea lui $x$ ori un cuantificator trebuie precizate.

Înainte și după