Numere prime: definiție, listă și descompunerea în factori

Pe scurt

Un număr natural mai mare decât $1$ este prim dacă are exact doi divizori pozitivi: $1$ și pe el însuși. $7$ este prim, pentru că se împarte exact doar la $1$ și la $7$ . $8$ nu este prim: se împarte și la $2$ și $4$ . Numerele mai mari decât $1$ care nu sunt prime se numesc compuse. Numărul $1$ nu este nici prim, nici compus. Primele numere prime sunt $2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29$ . Numărul $2$ este singurul număr prim par.

Orice număr compus poate fi scris ca produs de numere prime. Procesul se numește descompunere în factori primi. Poți folosi un arbore de factori: împarți numărul în doi factori, apoi continui cu factorii care nu sunt încă primi. Ordinea factorilor nu schimbă produsul, iar descompunerea este unică: orice număr compus are o singură scriere ca produs de puteri de numere prime, scrise în ordine crescătoare.

Pentru a verifica dacă un număr este prim, nu este suficient să vezi că nu se împarte la $2$ . De exemplu, $9$ este impar, dar $9 = 3 \cdot 3$ . Încerci pe rând împărțirea la numerele prime $2; 3; 5; 7; \dots$ și te oprești când pătratul numărului prim încercat depășește numărul dat. Pentru $97$ : $97$ nu se împarte la $2$ , $3$ , $5$ sau $7$ , iar $1 1^{2} = 121 > 97$ ; deci $97$ este prim.

Exemplu rezolvat. Descompune $60$ în factori primi.

Împarte la $2$ : $60 = 2 \cdot 30$ .
Continuă: $30 = 2 \cdot 15$ .
Scrie $15 = 3 \cdot 5$ .
Toți factorii sunt primi, deci $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ .

Verifică înmulțind factorii și obținând din nou $60$ .

Exemplu rezolvat. Scrie toți divizorii lui $60$ , folosind descompunerea $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ .

Caută perechi de factori care dau $60$ , pornind de la $1$ : $60 = 1 \cdot 60 = 2 \cdot 30 = 3 \cdot 20 = 4 \cdot 15 = 5 \cdot 12 = 6 \cdot 10$ .
Fiecare pereche dă doi divizori. Următoarea încercare, $7$ , nu împarte exact pe $60$ , iar perechile de după $6 \cdot 10$ se repetă.
Verifică cu descompunerea: fiecare divizor folosește numai factorii $2$ (cel mult de două ori), $3$ și $5$ (cel mult o dată fiecare).

Răspuns: $1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60$ , adică doisprezece divizori.

Ce	Regula
Număr prim	are exact doi divizori: $1$ și el însuși
Număr compus	număr natural mai mare decât $1$ , cu cel puțin trei divizori
Nici prime, nici compuse	$0$ și $1$
Numerele prime mai mici decât $50$	$2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47$
Singurul număr prim par	$2$
Testul de primalitate	împarți $n$ la numerele prime $p$ cu $p \cdot p \leq n$
Descompunerea în factori primi	de exemplu $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$
Numere prime între ele	$c.m.m.d.c. (a, b) = 1$

Desen la lecția „Numere prime și descompunerea în factori”

Greșeli frecvente

Greșit: $9$ este prim fiindcă nu se împarte la $2$ .
Corect: $9 = 3 \cdot 3$ , deci este compus.
Greșit: descompunerea în factori primi a lui $60$ este $4 \cdot 15$ .
Corect: ambii factori sunt compuși; continuăm până la $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ .
Greșit: $1$ este prim deoarece se împarte la $1$ .
Corect: are un singur divizor pozitiv, nu $2$ distincți.
Greșit: toate numerele prime sunt impare.
Corect: $2$ este prim și este par.

pentru adulți

Pentru părinți

Copilul exersează divizorii și factorizarea.

Alegeți un număr mic, de pildă $24$ .
Căutați doi factori.
Continuați până rămân numai numere prime.
Verificați produsul.

Întrebați-l: „De ce $9$ nu este prim, deși este impar?”

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnainteDivizibilitateDivizor, multiplu și reguli de divizibilitate.DupăCel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comunCalcul prin factorizare și algoritmul lui Euclid; aplicații.CapitolulNumere naturaleToate lecțiile capitolului „Numere naturale”.

Întrebări frecvente

Este 1 număr prim?

Nu. Un număr prim are exact doi divizori diferiți, iar 1 are un singur divizor, pe el însuși. Numărul 1 nu este nici prim, nici compus.

Care este singurul număr prim par?

Numărul 2. Orice număr par mai mare decât 2 se împarte la 1, la 2 și la el însuși, deci are cel puțin trei divizori și este compus.

Câte numere prime sunt mai mici decât 100?

Sunt 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 și 97.

Ce înseamnă numere prime între ele?

Două numere sunt prime între ele dacă singurul lor divizor comun este 1, adică cel mai mare divizor comun al lor este 1. De exemplu, 8 și 15 sunt prime între ele, deși niciunul nu este prim.

Surse și referințe

Programa școlară de matematică, clasele V–VIII (OMEN 3393/2017, anexa 2), p. PDF 8–9; rocnee.eu

Desene: Redactare proprie (desen original)

Numere prime și descompunerea în factori