Triunghiuri

Un triunghi $ABC$ este format din trei puncte necoliniare, numite vârfuri, și din cele trei segmente care le unesc, numite laturi. Are trei unghiuri interioare. Perimetrul este suma laturilor: $P=AB+BC+CA$.

După laturi, triunghiul este echilateral (trei laturi congruente), isoscel (cel puțin două laturi congruente) sau scalen (laturi de lungimi diferite). După unghiuri, este ascuțitunghic (trei unghiuri ascuțite), dreptunghic (un unghi drept) sau obtuzunghic (un unghi obtuz). Un triunghi are cel mult un unghi drept sau obtuz. Triunghiul cu laturile de $5$ cm, $5$ cm și $8$ cm este isoscel și are perimetrul $5+5+8=18$ cm.

Suma măsurilor unghiurilor interioare este $180^{\circ }$. Unghiul exterior se formează dintr-o latură și prelungirea altei laturi; el este suplementar cu unghiul interior adiacent, iar măsura lui este egală cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente. Într-un triunghi echilateral, fiecare unghi are $60^{\circ }$. Într-un triunghi isoscel, unghiurile opuse laturilor congruente sunt congruente.

Trei lungimi $a$, $b$, $c$ sunt laturile unui triunghi dacă și numai dacă fiecare este mai mică decât suma celorlalte două, adică $\left|b-c\right|<a<b+c$. Dacă $a=b+c$, punctele sunt coliniare. De exemplu, într-un triunghi cu două laturi de $7$ cm și $12$ cm, a treia latură $x$ verifică $5<x<19$; dacă lungimea ei este număr natural, $x$ poate lua cele $13$ valori de la $6$ la $18$. Laturii mai mari i se opune unghiul mai mare, și invers; unghiurilor congruente li se opun laturi congruente. Un triunghi se poate construi dacă se dau trei laturi (cazul LLL), două laturi și unghiul cuprins (LUL) sau o latură și cele două unghiuri alăturate ei, cu suma sub $180^{\circ }$ (ULU).

În triunghiul dreptunghic, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză, iar mediana corespunzătoare ipotenuzei este tot jumătate din ipotenuză. Reciproc: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei are $30^{\circ }$; dacă mediana dintr-un vârf este jumătate din latura opusă, unghiul din acel vârf este drept.

Exemplu rezolvat. Un triunghi isoscel are unghiul dintre laturile egale de $40^{\circ }$. Calculăm celelalte unghiuri și îl clasificăm după unghiuri.

1. Din suma unghiurilor scădem unghiul cunoscut: $180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$.
2. Rezultatul este suma celor două unghiuri de la bază, care sunt egale.
3. Fiecare măsoară $140^{\circ }:2=70^{\circ }$.
4. Verificăm $40^{\circ }+70^{\circ }+70^{\circ }=180^{\circ }$. Toate unghiurile sunt ascuțite, deci triunghiul este ascuțitunghic.

Exemplu rezolvat. În triunghiul $ABC$, $m(\sphericalangle A)=50^{\circ }$ și $m(\sphericalangle B)=65^{\circ }$. Aflăm unghiul $C$ și unghiul exterior de la $C$.

1. $m(\sphericalangle C)=180^{\circ }-50^{\circ }-65^{\circ }=65^{\circ }$.
2. Unghiul exterior de la $C$ este suplementar cu unghiul $C$: $180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$.
3. Verificăm cu suma unghiurilor neadiacente: $50^{\circ }+65^{\circ }=115^{\circ }$.

Greșeli frecvente

• Greșit: segmentele de $2$ cm, $3$ cm și $5$ cm formează un triunghi deoarece $2+3=5$.
  Corect: este necesară inegalitatea strictă; aici punctele ar fi coliniare, deci nu se formează triunghi.
• Greșit: dacă unghiul dintre laturile egale este $40^{\circ }$, și unghiurile de la bază sunt de $40^{\circ }$.
  Corect: fiecare este $(180^{\circ }-40^{\circ }):2=70^{\circ }$.
• Greșit: în triunghiul cu unghiurile $50^{\circ }$, $65^{\circ }$ și $65^{\circ }$, unghiul exterior de la $C$ este $65^{\circ }+65^{\circ }=130^{\circ }$.
  Corect: se adună unghiurile neadiacente $A$ și $B$, deci $50^{\circ }+65^{\circ }=115^{\circ }$.
• Greșit: într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$ și ipotenuza de $14$ cm, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din cealaltă catetă.
  Corect: este jumătate din ipotenuză, adică $7$ cm.

Înainte și după