Congruența triunghiurilor

Două triunghiuri sunt congruente dacă se pot suprapune exact: laturile și unghiurile corespunzătoare sunt congruente. Pot fi în locuri diferite sau unul poate fi rotit ori întors; forma și mărimea lor rămân aceleași. Ordinea vârfurilor contează: în $△ABC\equiv △DEF$, vârful $A$ corespunde lui $D$, $B$ lui $E$ și $C$ lui $F$. Laturilor corespunzătoare li se opun unghiuri corespunzătoare. Triunghiurile congruente au același perimetru și aceeași arie.

Nu trebuie verificate toate cele șase perechi de elemente. Sunt suficiente trei criterii:

• LLL: trei laturi respectiv congruente;
• LUL: două laturi și unghiul cuprins între ele, respectiv congruente;
• ULU: o latură și cele două unghiuri alăturate ei, respectiv congruente.

Egalitatea a trei unghiuri nu este criteriu, iar două laturi cu un unghi care nu este cuprins între ele nu ajung. Pentru triunghiuri dreptunghice există și cazurile CC (două catete), IC (ipotenuză și o catetă), CU (o catetă și un unghi ascuțit) și IU (ipotenuză și un unghi ascuțit).

Metoda triunghiurilor congruente înseamnă: arăți că două triunghiuri sunt congruente, apoi deduci egalitatea altor elemente corespunzătoare. Așa se demonstrează că orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele lui și că orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.

Exemplu rezolvat. În triunghiurile $ABC$ și $DEF$, $AB=DE=3$ cm, $BC=EF=4$ cm și $AC=DF=5$ cm.

1. Cele trei perechi de laturi corespund.
2. Aplicăm criteriul LLL.
3. Triunghiurile sunt congruente, deci $\sphericalangle B\equiv \sphericalangle E$.

Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele de $5$ cm și câte o catetă de $3$ cm, sunt congruente prin IC.

Exemplu rezolvat. Segmentele $[AB]$ și $[CD]$ se taie în $O$, mijlocul fiecăruia. Se știe că $OA=OB=5$ cm, $OC=OD=3$ cm și $AC=7$ cm. Aflăm $BD$ și arătăm că $AC\parallel BD$.

1. Unghiurile $\sphericalangle AOC$ și $\sphericalangle BOD$ sunt opuse la vârf, deci congruente.
2. Cu $OA=OB$ și $OC=OD$, criteriul LUL dă $△AOC\equiv △BOD$.
3. Laturile corespunzătoare sunt congruente, deci $BD=AC=7$ cm.
4. Unghiurile $\sphericalangle OAC$ și $\sphericalangle OBD$ sunt congruente și alterne interne, pentru dreptele $AC$ și $BD$ tăiate de secanta $AB$. Rezultă $AC\parallel BD$.

Greșeli frecvente

• Greșit: triunghiurile sunt congruente fiindcă desenul pare asemănător.
  Corect: se verifică un criteriu, pe baza datelor problemei.
• Greșit: două laturi de $3$ cm și $4$ cm și un unghi de $60^{\circ }$ aflat în afara lor garantează criteriul LUL.
  Corect: pentru LUL, unghiul de $60^{\circ }$ trebuie să fie cuprins între cele două laturi date.
• Greșit: ordinea vârfurilor din scrierea congruenței nu contează.
  Corect: ea fixează corespondența dintre vârfuri, deci și dintre laturi.
• Greșit: două triunghiuri echilaterale, unul cu latura de $2$ cm și altul cu latura de $5$ cm, sunt congruente fiindcă au toate unghiurile de $60^{\circ }$.
  Corect: trei unghiuri congruente nu sunt criteriu; triunghiurile au aceeași formă, dar nu aceeași mărime.

Înainte și după