Drepte paralele și perpendiculare

Marginile opuse ale unei rigle și două linii vecine de pe caiet nu se întâlnesc oricât le-ai prelungi: sunt drepte paralele, $a\parallel b$. Două drepte care se taie formând un unghi drept sunt perpendiculare, $a\perp b$; două margini vecine ale unei foi de caiet sunt perpendiculare. Cu echerul trasezi o perpendiculară pe o dreaptă dată. Pentru o paralelă, sprijini echerul de o riglă și îl aluneci de-a lungul ei.

În clasa a V-a două drepte din plan sunt concurente, cu un singur punct comun, sau paralele, fără punct comun.

În clasa a VI-a două drepte concurente care nu sunt perpendiculare se numesc oblice. Se adaugă axioma paralelelor: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea. Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. În plan, printr-un punct trece o singură perpendiculară pe o dreaptă dată; lungimea segmentului perpendicular dus din punct pe dreaptă este distanța de la punct la dreaptă și este mai mică decât lungimea oricărui segment oblic dus din același punct. Mediatoarea unui segment este perpendiculara pe el în mijlocul lui.

O secantă taie două drepte în două puncte și formează opt unghiuri. Ele alcătuiesc perechi de unghiuri corespondente, alterne interne, alterne externe, interne de aceeași parte și externe de aceeași parte. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă secanta formează cu ele unghiuri corespondente congruente, sau alterne interne congruente, sau interne de aceeași parte suplementare.

Exemplu rezolvat. Dreptele paralele $a$ și $b$ sunt tăiate de o secantă, iar unul dintre cele opt unghiuri măsoară $65^{\circ }$. Aflăm celelalte șapte.

1. Unghiul opus la vârf și unghiurile corespondente lui au tot $65^{\circ }$. Rezultă patru unghiuri ascuțite de $65^{\circ }$.
2. Un unghi adiacent unuia de $65^{\circ }$ are $180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$.
3. Celelalte patru unghiuri au $115^{\circ }$.

Verificare: două unghiuri interne de aceeași parte au suma $65^{\circ }+115^{\circ }=180^{\circ }$.

Dacă două alterne interne ar avea $50^{\circ }$ și $55^{\circ }$, dreptele nu ar fi paralele.

Drepte paralele și perpendiculare de tipărit

Două fișe despre drepte paralele și perpendiculare, potrivite pentru exersare după lecție. Fiecare are șase sarcini și cheia pe ultima pagină.

• 

  Recunoaște relația dintre drepte

  Deschide fișa
• 

  Desenează și verifică dreptele

  Deschide fișa

Greșeli frecvente

• Greșit: două segmente care nu se ating în desen sunt automat paralele.
  Corect: se compară dreptele obținute prin prelungire.
• Greșit: orice drepte care se intersectează sunt perpendiculare.
  Corect: sunt perpendiculare numai dacă formează un unghi drept; celelalte drepte concurente sunt oblice.
• Greșit: laturile vecine ale unui dreptunghi sunt paralele.
  Corect: ele se întâlnesc într-un colț de $90^{\circ }$, deci sunt perpendiculare; paralele sunt laturile opuse.
• Greșit: oricare două drepte tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente.
  Corect: acestea sunt congruente numai dacă dreptele sunt paralele.
• Greșit: la două paralele tăiate de o secantă, unghiurile interne de aceeași parte sunt congruente.
  Corect: ele sunt suplementare; de exemplu $70^{\circ }$ și $110^{\circ }$.

Înainte și după