Unghiuri în cerc

Clasa a VI-a: unghiul la centru. Două puncte $A$ și $B$ ale unui cerc de centru $O$ îl împart în două arce: arcul mic, de cel mult un semicerc, și arcul mare. Unghiul $AOB$ are vârful în centrul $O$, iar laturile sunt semidreptele care conțin razele $OA$ și $OB$. Măsura sa este egală cu măsura arcului mic pe care îl subîntinde: $m(\sphericalangle AOB)=m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})$. Un semicerc are măsura $180^{\circ }$, iar cercul întreg $360^{\circ }$. Arcul mare are $360^{\circ }-m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})$.

Exemplu cu arce. Dacă arcul mic $AB$ măsoară $120^{\circ }$, unghiul la centru corespunzător are $120^{\circ }$. Arcul mare dintre aceleași puncte are $360^{\circ }-120^{\circ }=240^{\circ }$.

Clasa a VII-a: unghiul înscris. Vârful $C$ este pe cerc, iar laturile întâlnesc cercul în punctele $A$ și $B$. Arcul subîntins este cel care nu conține vârful $C$. Măsura unghiului este jumătate din măsura acelui arc: $m(\sphericalangle ACB)=\frac{1}{2}m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})$. Din această regulă rezultă patru proprietăți:

• două unghiuri înscrise care subîntind același arc sunt congruente;
• unghiul la centru este dublul oricărui unghi înscris care subîntinde același arc;
• un unghi înscris care subîntinde un semicerc are $90^{\circ }$, iar reciproc, dacă un triunghi înscris în cerc are un unghi drept, latura opusă lui este diametru;
• arcele determinate de cele trei vârfuri ale unui triunghi înscris au măsurile egale cu dublul unghiurilor opuse și au suma $360^{\circ }$.

Exemplul 1. Arcul $AB$ care nu conține punctul $C$ are măsura $100^{\circ }$. Unghiul înscris are $m(\sphericalangle ACB)=100^{\circ }:2=50^{\circ }$. Dacă $AB$ este diametru, arcul respectiv este un semicerc, iar unghiul înscris are $180^{\circ }:2=90^{\circ }$.

Exemplul 2. Triunghiul $ABC$ este înscris în cerc și are $m(\sphericalangle A)=50^{\circ }$ și $m(\sphericalangle B)=60^{\circ }$. Aflați măsurile arcelor $BC$, $CA$ și $AB$.

1. $m(\sphericalangle C)=180^{\circ }-50^{\circ }-60^{\circ }=70^{\circ }$.
2. Fiecare arc este dublul unghiului înscris opus: $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}})=100^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{CA}})=120^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}})=140^{\circ }$.
3. Verificăm: $100^{\circ }+120^{\circ }+140^{\circ }=360^{\circ }$.

Exemplul 3. Pe un cerc de centru $O$, unghiul la centru $AOB$ are $80^{\circ }$, iar $C$ este pe arcul mare $AB$. Aflați $m(\sphericalangle ACB)$ și $m(\sphericalangle OAB)$.

1. Unghiul înscris subîntinde același arc mic, deci $m(\sphericalangle ACB)=80^{\circ }:2=40^{\circ }$.
2. Triunghiul $OAB$ este isoscel, cu $OA=OB$ razele cercului.
3. Unghiurile de la bază sunt egale: $m(\sphericalangle OAB)=(180^{\circ }-80^{\circ }):2=50^{\circ }$.

Greșeli frecvente

• Greșit: dacă un arc are măsura $100^{\circ }$, unghiul înscris care îl subîntinde are $200^{\circ }$.
  Corect: unghiul înscris este jumătate din măsura arcului, deci $50^{\circ }$.
• Greșit: pentru un diametru $AB$ și $C$ pe cerc, distinct de capete, unghiul $ACB$ are $180^{\circ }$.
  Corect: arcul subîntins are $180^{\circ }$, iar unghiul înscris are $90^{\circ }$.
• Greșit: toate unghiurile înscrise pe coarda $AB$ sunt congruente.
  Corect: sunt congruente numai cele cu vârfurile pe același arc; două unghiuri cu vârfurile pe arce diferite au suma $180^{\circ }$, de exemplu $40^{\circ }$ și $140^{\circ }$ pentru un arc mic de $80^{\circ }$.
• Greșit: unghiul la centru care subîntinde un arc de $80^{\circ }$ are $40^{\circ }$.
  Corect: unghiul la centru are $80^{\circ }$, adică măsura arcului; $40^{\circ }$ este unghiul înscris.

Înainte și după

Întrebări frecvente