Studiul complet al funcțiilor

Studiul complet al unei funcții adună într-un singur desen tot ce se știe despre ea: unde există, ce valori ia, cum variază și cum se curbează. Calculele se fac într-o ordine care se verifică ușor, deoarece fiecare etapă folosește rezultatele celei dinainte.

Etapele sunt:

1. domeniul de definiție, simetriile (funcție pară sau impară) și periodicitatea;
2. intersecțiile cu axele: cu $Oy$ în $(0;f(0))$ și cu $Ox$ prin rezolvarea ecuației $f(x)=0$;
3. limitele la capetele domeniului și asimptotele;
4. derivata întâi, semnul ei, intervalele de monotonie și punctele de extrem;
5. derivata a doua, semnul ei, intervalele de convexitate și punctele de inflexiune;
6. tabelul de variație și graficul.

La fiecare etapă se notează rezultatul, iar graficul se desenează numai din aceste date.

Exemplu rezolvat. Studiem pe scurt $f(x)=x^2-1$.

1. Domeniul este $\mathbb{R}$, iar $f(-x)=f(x)$, deci funcția este pară. Graficul taie axa $Oy$ în $(0;-1)$ și axa $Ox$ în $(-1;0)$ și $(1;0)$.
2. La $\pm \infty$ limita este $+\infty$ și nu există asimptote. Derivata $f^{\prime }(x)=2x$ este negativă pe $(-\infty ;0)$ și pozitivă pe $(0;+\infty )$, deci minimul este $f(0)=-1$.
3. Derivata a doua $f^{\prime \prime }(x)=2>0$ arată că funcția este convexă pe $\mathbb{R}$ și nu are puncte de inflexiune.

Domeniul se stabilește întâi, pentru că toate limitele și asimptotele verticale pornesc de la capetele lui: numitorii sunt nenuli, expresiile de sub radical de ordin par sunt nenegative, argumentul logaritmului este pozitiv. Simetria reduce lucrul la jumătate: o funcție pară sau impară se studiază pe $[0;+\infty )$. Pentru intersecții se rezolvă $f(x)=0$ numai dacă ecuația este simplă; altfel intersecția cu $Ox$ se lasă aproximativă sau se justifică prin continuitate și semne.

Semnele lui $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ se scriu pe intervalele determinate de zerourile lor și de punctele excluse din domeniu. Un zero al lui $f^{\prime }$ este extrem local numai dacă $f^{\prime }$ își schimbă semnul în acel punct; un zero al lui $f^{\prime \prime }$ este abscisă de inflexiune numai dacă $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul. Valorile funcției în punctele critice se calculează la sfârșit și se trec în tabel. O funcție periodică de perioadă $T$ se studiază pe un interval de lungime $T$, de exemplu pe $[0;2\pi ]$ pentru $\sin$ și $\cos$, iar graficul se repetă. O funcție cu modul se scrie mai întâi pe ramuri, iar punctele în care se schimbă formula se studiază separat, cu limite laterale și derivate laterale.

Exemplu rezolvat. Studiem funcția $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$.

1. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Pentru $f(x)=0$ avem $x=0$, deci singura intersecție cu axele este $(0;0)$.
2. În $x=1$ numărătorul tinde la $1$ și numitorul la $0$: ${\lim }_{x\to 1,x<1}f(x)=-\infty$ și ${\lim }_{x\to 1,x>1}f(x)=+\infty$, deci $x=1$ este asimptotă verticală. Împărțirea dă $f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}$, deci $y=x+1$ este asimptotă oblică la $+\infty$ și la $-\infty$.
3. Derivata este $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, cu zerourile $0$ și $2$. Pe $(-\infty ;0)$ și pe $(2;+\infty )$ derivata este pozitivă, iar pe $(0;1)$ și pe $(1;2)$ este negativă.
4. Derivata a doua este $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x-1{)}^3}$: negativă pe $(-\infty ;1)$ și pozitivă pe $(1;+\infty )$. Convexitatea se schimbă în $1$, dar $1$ nu aparține domeniului, deci nu există punct de inflexiune.

Tabelul de variație este:

Funcția are maxim local $f(0)=0$ și minim local $f(2)=4$. Pe $(1;+\infty )$ ia toate valorile din $[4;+\infty )$, iar pe $(-\infty ;1)$ toate valorile din $(-\infty ;0]$, deci mulțimea valorilor este $(-\infty ;0]\cup [4;+\infty )$.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x{e}^{-x}$, domeniul este $\mathbb{R}$ și $f(0)=0$. La $+\infty$, $\frac{x}{e^x}\to 0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală; la $-\infty$, $f(x)\to -\infty$ și $\frac{f(x)}{x}=e^{-x}\to +\infty$, deci nu există asimptotă. Derivata $f^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x}$ se anulează în $1$: funcția crește pe $(-\infty ;1]$ și scade pe $[1;+\infty )$, cu maxim $f(1)=\frac{1}{e}$. Derivata a doua $f^{\prime \prime }(x)=(x-2)e^{-x}$ schimbă semnul în $2$, deci punctul de inflexiune este $\left(2;\frac{2}{e^2}\right)$. Funcția este concavă pe $(-\infty ;2]$ și convexă pe $[2;+\infty )$.

La probleme, studiul este cerut parțial: numărul de soluții ale unei ecuații $f(x)=m$, mulțimea valorilor sau valorile parametrului pentru care funcția are o proprietate. Ecuația $f(x)=m$ se citește pe grafic ca intersecția cu dreapta orizontală $y=m$, iar numărul de soluții depinde de valorile extremelor locale. La parametri, cazurile se separă după poziția lui $m$ față de aceste valori.

Problemă. Ecuația $x^3-3x^2=m$ are trei soluții reale distincte dacă și numai dacă $m$ aparține intervalului:

• a) $[-4;0]$
• b) $(0;4)$
• c) $(-4;0)$
• d) $(-2;0)$
• e) $(-\infty ;-4)$
• f) $\mathbb{R}$

Rezolvare. Fie $f(x)=x^3-3x^2$. Atunci $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, pozitivă pe $(-\infty ;0)$, negativă pe $(0;2)$ și pozitivă pe $(2;+\infty )$. Funcția are maxim local $f(0)=0$ și minim local $f(2)=8-12=-4$, iar ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ și ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. Dreapta $y=m$ intersectează graficul în trei puncte distincte dacă și numai dacă $-4<m<0$. Pentru $m=0$ ecuația este $x^2(x-3)=0$, cu soluțiile $0$ (dublă) și $3$, adică două soluții distincte; pentru $m=-4$ soluțiile sunt $-1$ și $2$ (dublă), tot două distincte. Răspunsul corect este c). Varianta a) include capetele și numără și cazurile cu soluție dublă. Varianta b) calculează $f(2)=12-8=4$ în loc de $8-12=-4$. Varianta d) ia drept minim local valoarea $f(1)=-2$, care nu este în punctul critic. Varianta e) este un interval pe care ecuația are o singură soluție. Varianta f) confundă „cel puțin o soluție”, care există pentru orice $m$ la un polinom de gradul $3$, cu „trei soluții distincte”.

Alt exemplu. Determinăm mulțimea valorilor funcției $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$. Derivata este $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$, pozitivă pe $(-1;1)$ și negativă în exterior. Minimul local este $f(-1)=-\frac{1}{2}$, maximul local este $f(1)=\frac{1}{2}$, iar ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=0$. Funcția este continuă, deci ia toate valorile dintre minim și maxim: mulțimea valorilor este $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$.

Alt exemplu. Determinăm valorile lui $a$ pentru care $f(x)=x^3+ax$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$. Condiția este $f^{\prime }(x)=3x^2+a\ge 0$ pentru orice $x$. Minimul lui $3x^2+a$ este $a$, atins în $x=0$, deci $a\ge 0$. Pentru $a=0$, derivata se anulează numai în $0$, iar $f(x)=x^3$ este strict crescătoare; condiția este deci $a\in [0;+\infty )$.

Greșeli frecvente

• Greșit: graficul se trasează înaintea determinării domeniului.
  Corect: domeniul stabilește unde poate exista graficul; pentru $\frac{x^2}{x-1}$, graficul are două ramuri separate de dreapta $x=1$.
• Greșit: un zero al derivatei se trece automat ca maxim sau minim.
  Corect: se analizează semnul derivatei în jurul lui; pentru $x^3$, $f^{\prime }(0)=0$, dar $0$ nu este punct de extrem.
• Greșit: o asimptotă se deduce doar din schiță.
  Corect: se justifică prin limite; în exemplul $x{e}^{-x}$, asimptota $y=0$ există numai spre $+\infty$.
• Greșit: funcția $\frac{x^2}{x-1}$ este descrescătoare pe $(0;2)$, deoarece $f^{\prime }(x)<0$ pe $(0;1)\cup (1;2)$.
  Corect: $1$ nu aparține domeniului, iar monotonia se declară pe intervale: $f$ scade pe $(0;1)$ și separat pe $(1;2]$; într-adevăr, $f(0,5)=-0,5<4,5=f(1,5)$.
• Greșit: dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $(x_0;f(x_0))$ este punct de inflexiune.
  Corect: este nevoie de schimbarea semnului lui $f^{\prime \prime }$; la $f(x)=x^4$, originea nu este punct de inflexiune.

Înainte și după