Integrala Riemann

Integrala Riemann explică ce înseamnă aria de sub graficul unei funcții oarecare, nu numai al unui poligon. Intervalul $[a;b]$ se împarte în subintervale; în fiecare se alege un punct, valoarea funcției în acel punct se înmulțește cu lățimea subintervalului, iar produsele se adună. Dacă sumele obținute se apropie de același număr când cel mai lung subinterval devine oricât de mic, oricum am alege punctele, numărul este integrala ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Orice funcție continuă pe $[a;b]$ are această proprietate; valoarea integralei se calculează apoi cu formula Leibniz–Newton, din lecția Integrala definită.

Exemplu rezolvat. Aproximăm ${\int }_0^{1}xdx$ cu două dreptunghiuri la capetele drepte.

1. Lățimea fiecăruia este $1/2$.
2. Înălțimile sunt $f(1/2)=1/2$ și $f(1)=1$.
3. Suma este $(1/2)(1/2+1)=3/4$; valoarea exactă, obținută la limită, este $1/2$.

Diviziune, normă, sumă Riemann. O diviziune a lui $[a;b]$ este un șir $\Delta :a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Norma ei este lungimea celui mai lung subinterval, $\Vert \Delta \Vert ={\max }_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})$. Un sistem de puncte intermediare este $\xi =({\xi }_1;{\xi }_2;\dots ;{\xi }_n)$, cu ${\xi }_i\in [x_{i-1};x_i]$. Suma Riemann este

Pentru $f\ge 0$, ea este suma ariilor dreptunghiurilor cu baza $x_i-x_{i-1}$ și înălțimea $f({\xi }_i)$.

Definiția integrabilității. Funcția $f:[a;b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă dacă există un număr real $I$ astfel încât, pentru orice $\epsilon >0$, există $\delta >0$ cu $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$ pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem de puncte intermediare $\xi$. Numărul $I$ este ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Orice funcție continuă pe $[a;b]$ este integrabilă. Nu orice funcție este: pentru $f(x)=1$ dacă $x$ este rațional și $f(x)=0$ dacă $x$ este irațional, orice subinterval conține și numere raționale, și iraționale, deci alegând ${\xi }_i$ raționale obținem suma $1$, iar alegând ${\xi }_i$ iraționale obținem suma $0$.

Exemplu rezolvat 1. Calculăm ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ din definiție, cu diviziunea în $n$ părți egale, $x_i=i/n$, deci $\Vert \Delta \Vert =1/n$.

1. Cu capete drepte, ${\xi }_i=i/n$: ${\sigma }_n={\sum }_{i=1}^n\frac{i^2}{n^2}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$.
2. Cu capete stângi, ${\xi }_i=(i-1)/n$: ${\sigma }_n^{\prime }=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$.
3. Ambele șiruri tind la $\frac{1}{3}$ când $n\to \infty$. Pentru $n=4$ sumele sunt $\frac{15}{32}$ și $\frac{7}{32}$, iar $\frac{1}{3}$ se află între ele, fiindcă $x^2$ este crescătoare pe $[0;1]$.

Exemplu rezolvat 2. Pentru $f(x)=x$ pe $[0;2]$, luăm diviziunea neegală $0<\frac{1}{2}<1<2$. Subintervalele au lungimile $\frac{1}{2};\frac{1}{2};1$, deci $\Vert \Delta \Vert =1$.

1. Capete stângi $0;\frac{1}{2};1$: $\sigma =0\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+1\cdot 1=\frac{5}{4}$.
2. Capete drepte $\frac{1}{2};1;2$: $\sigma =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2=\frac{11}{4}$.
3. Mijloace $\frac{1}{4};\frac{3}{4};\frac{3}{2}$: $\sigma =\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{2}=2$.

Sumele diferă după alegerea punctelor, dar integrala ${\int }_0^{2}xdx=2$ este aceeași și se află între primele două valori, fiindcă funcția crește.

Teorema de medie. Dacă $f$ este continuă pe $[a;b]$, există $c\in [a;b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$: aria de sub grafic este egală cu aria dreptunghiului de bază $b-a$ și înălțime $f(c)$. Pentru $f(x)=x^2$ pe $[0;3]$, integrala este $9$, deci $f(c)=3$ și $c=\sqrt{3}\in [0;3]$.

Existența primitivelor. Dacă $f$ este continuă pe un interval $I$ și $a\in I$, funcția $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este derivabilă și $F^{\prime }=f$ pe $I$; deci orice funcție continuă are primitive. Pentru $f(t)=t$ și $a=0$, $F(x)=\frac{x^2}{2}$ și $F^{\prime }(x)=x$. Proprietățile liniaritate, monotonie și aditivitate sunt în lecția Integrala definită.

Funcții mărginite. O funcție integrabilă pe $[a;b]$ este mărginită, deci o funcție nemărginită nu poate fi integrabilă. Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\in (0;1]$, cu $f(0)=0$, este definită pe $[0;1]$, dar este nemărginită. Pentru orice diviziune, punctul ${\xi }_1$ din primul subinterval poate fi ales atât de aproape de $0$ încât termenul $f({\xi }_1)(x_1-x_0)$ să depășească orice număr dat, deci sumele Riemann nu se apropie de un număr.

Limite de șiruri. Dacă $f$ este continuă pe $[0;1]$, diviziunea în $n$ părți egale, $x_k=\frac{k}{n}$, are norma $\frac{1}{n}\to 0$. Cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ se obține ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$.

Exemplu rezolvat 3. Calculăm ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$.

1. Termenul se scrie $\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$.
2. Suma este suma Riemann a funcției continue $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ pe $[0;1]$, pentru diviziunea în $n$ părți egale, cu capete drepte.
3. Limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}$. Pentru $n=100$, suma este aproximativ $0,783$, iar $\frac{\pi }{4}\approx 0,785$.

Greșeli frecvente

• Greșit: un singur dreptunghi de înălțime $1$ pe $[0;1]$ dă exact ${\int }_0^{1}xdx=1$.
  Corect: acesta este o aproximare; valoarea integralei este $1/2$.
• Greșit: norma unei diviziuni este numărul subintervalelor.
  Corect: norma este lungimea celui mai lung subinterval; pentru $n$ părți egale pe $[a;b]$ este $\frac{b-a}{n}$.
• Greșit: suma Riemann se obține adunând valorile $f({\xi }_i)$, fără lățimile subintervalelor.
  Corect: fiecare termen este $f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$.
• Greșit: funcția egală cu $1$ pe numerele raționale și cu $0$ pe cele iraționale este integrabilă pe $[0;1]$, fiindcă este mărginită.
  Corect: sumele Riemann iau valorile $1$ și $0$, după alegerea punctelor, deci nu se apropie de același număr.
• Greșit: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n}=0$, fiindcă $\frac{1}{n}\to 0$.
  Corect: suma are $n$ termeni; este suma Riemann a lui $f(x)=x$ pe $[0;1]$, iar limita este ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$.
• Greșit: în teorema de medie, punctul $c$ este mijlocul intervalului.
  Corect: $c$ verifică $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$; pentru $x^2$ pe $[0;3]$ este $\sqrt{3}$, nu $\frac{3}{2}$.

Înainte și după