Calorimetrie

O linguriță rece lăsată într-o cană cu ceai cald se încălzește, iar ceaiul se răcește puțin. Căldura $Q$ este energia care trece de la un corp mai cald la unul mai rece. Se măsoară în joule ($\mathrm{J}$); pe etichetele alimentelor apar caloriile: $1\mathrm{cal}=4,18\mathrm{J}$, deci $1\mathrm{kcal}=4180\mathrm{J}$.

Căldura necesară încălzirii unui corp depinde de trei lucruri: masa lui, materialul din care este făcut și cu cât crește temperatura. Pentru aceeași încălzire, un kilogram de apă cere mai multă căldură decât un kilogram de fier. Mărimea care exprimă diferența dintre materiale este căldura specifică $c$: căldura necesară pentru a încălzi $1\mathrm{kg}$ din substanța respectivă cu $1{}^{\circ }\mathrm{C}$ (sau cu $1\mathrm{K}$). Se măsoară în $J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$. Pentru apă $c=4200J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, pentru gheață $2100$, pentru aluminiu $900$, iar pentru fier $450$. Apa are una dintre cele mai mari călduri specifice dintre substanțele obișnuite: de aceea marea se încălzește vara mai încet decât nisipul de pe plajă, iar apa din calorifere și din circuitul de răcire al motoarelor transportă multă energie.

Căldura primită de un corp care nu își schimbă starea de agregare este

La încălzire $\Delta t>0$; la răcire corpul cedează căldură, iar în calcule folosim valoarea absolută $|\Delta t|$. Produsul $C=mc$ este capacitatea calorică a corpului, în $J/K$: căldura necesară pentru a-i crește temperatura cu $1\mathrm{K}$. O cană cu $0,25\mathrm{kg}$ de apă are $C=0,25\cdot 4200=1050J/K$.

Calorimetrul este un vas cu pereți izolați, în care se pun corpuri cu temperaturi diferite ca să se măsoare schimburile de căldură. Dacă pierderile spre exterior sunt neglijabile, corpurile mai calde cedează exact căldura pe care o primesc cele mai reci: $Q_{\mathrm{cedat}}=Q_{\mathrm{primit}}$. Temperatura de echilibru se află între cea mai mică și cea mai mare temperatură inițială.

Exemplu rezolvat. Un fierbător electric încălzește $1,5\mathrm{kg}$ de apă de la $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ la $100{}^{\circ }\mathrm{C}$. Ce căldură primește apa și cât durează încălzirea dacă puterea fierbătorului este $2000\mathrm{W}$ și toată energia ajunge în apă? Variația de temperatură este $\Delta t=100-20=80{}^{\circ }\mathrm{C}$. Căldura este $Q=mc\Delta t=1,5\cdot 4200\cdot 80=504000\mathrm{J}=504\mathrm{kJ}$. Puterea este energia pe secundă, deci durata este $\tau =Q/P=504000:2000=252\mathrm{s}$, adică puțin peste $4$ minute. Într-un fierbător real durata e puțin mai mare, pentru că vasul și aerul preiau și ele energie.

Căldura specifică $c=\frac{Q}{m\Delta T}$ este o proprietate a substanței; capacitatea calorică $C=\frac{Q}{\Delta T}=mc$ este o proprietate a corpului concret. O diferență de temperatură are aceeași valoare în $\mathrm{K}$ și în ${}^{\circ }\mathrm{C}$, deci valoarea numerică a lui $c$ este aceeași în $J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ și în $J/(\mathrm{kg}\cdot {}^{\circ }\mathrm{C})$. Convenția de semn: $Q>0$ pentru căldura primită de un corp, $Q<0$ pentru cea cedată. Într-un sistem izolat termic suma algebrică a căldurilor schimbate este nulă, $\sum Q_i=0$, adică modulul căldurii cedate este egal cu cel al căldurii primite.

Vasul și accesoriile calorimetrului (agitator, termometru) se încălzesc odată cu conținutul, deci intră în bilanț prin capacitatea lor calorică $C_{\mathrm{cal}}$, care se măsoară separat sau se dă ca „echivalent în apă”: masa de apă $m_e=C_{\mathrm{cal}}/c_{\mathrm{ap}\breve{\mathrm{a}}}$ care ar avea aceeași capacitate calorică. Din bilanț rezultă temperatura de echilibru ca medie ponderată cu capacitățile calorice:

Media aritmetică a temperaturilor apare numai când capacitățile calorice ale corpurilor sunt egale.

Exemplu rezolvat 1. Într-un vas de aluminiu cu masa $0,10\mathrm{kg}$ se află $0,25\mathrm{kg}$ de apă la $20{}^{\circ }\mathrm{C}$. În apă se scufundă o piesă de fier cu masa $0,30\mathrm{kg}$, încălzită la $100{}^{\circ }\mathrm{C}$. Care este temperatura de echilibru, dacă $c_{\mathrm{Al}}=900$, $c_{\mathrm{Fe}}=450$ și $c_{\mathrm{ap}\breve{\mathrm{a}}}=4200J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ și nu există pierderi?

1. Capacitățile calorice sunt: fier $0,30\cdot 450=135J/K$, apă $0,25\cdot 4200=1050J/K$, vas $0,10\cdot 900=90J/K$.
2. Piesa de fier cedează căldura $Q_{\mathrm{ced}}=135(100-t_e)$, în $\mathrm{J}$.
3. Apa și vasul primesc $Q_{\mathrm{prim}}=(1050+90)(t_e-20)=1140(t_e-20)$, în $\mathrm{J}$.
4. Din $Q_{\mathrm{ced}}=Q_{\mathrm{prim}}$ rezultă $13500+22800=(1140+135)t_e$, deci $t_e=36300/1275\approx 28,5{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Temperatura finală este mult mai aproape de cea a apei decât de cea a fierului, pentru că apa și vasul au împreună o capacitate calorică de $1140J/K$, față de numai $135J/K$ a piesei.

Exemplu rezolvat 2. O probă metalică cu masa $0,250\mathrm{kg}$, încălzită la $100{}^{\circ }\mathrm{C}$, este introdusă într-un calorimetru cu $0,200\mathrm{kg}$ de apă la $20,0{}^{\circ }\mathrm{C}$. Capacitatea calorică a vasului este $150J/K$, iar temperatura de echilibru este $27,0{}^{\circ }\mathrm{C}$. Care este căldura specifică a metalului?

1. Apa primește $Q_1=0,200\cdot 4200\cdot 7,0=5880\mathrm{J}$.
2. Vasul primește $Q_2=C_{\mathrm{cal}}\Delta t=150\cdot 7,0=1050\mathrm{J}$.
3. Proba cedează $Q_3=0,250\cdot c\cdot (100-27,0)=18,25c$, în $\mathrm{J}$.
4. Din $Q_3=Q_1+Q_2$ rezultă $c=6930/18,25\approx 380J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$.

Valoarea corespunde cuprului ($c_{\mathrm{Cu}}\approx 385J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$). Aceasta este metoda amestecurilor, folosită pentru a identifica un material: căldura specifică obținută se compară cu valorile din tabele.

În experimentele reale pierderile spre exterior fac ca rezultatul să difere de cel ideal. Ele se reduc cu un vas cu pereți dubli și cu un capac, prin agitarea amestecului pentru uniformizarea temperaturii și prin citirea termometrului la valoarea maximă atinsă. Căldura specifică mare a apei, $4200J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ față de $450$ pentru fier, face ca, la mase comparabile, capacitatea calorică a apei să fie de peste nouă ori mai mare decât a fierului, iar apa să domine bilanțul. Dacă masa apei este foarte mică în raport cu a celorlalte corpuri, această dominare dispare.

Schimbările de stare de agregare. La o presiune dată, o substanță cristalină se topește la o temperatură fixă. Cât timp se topește, temperatura nu crește, deși substanța primește căldură; această căldură, $Q=m{\lambda }_t$, se numește căldură latentă de topire. La solidificare, aceeași cantitate de căldură este cedată. Vaporizarea se face prin evaporare, la suprafața lichidului și la orice temperatură, sau prin fierbere, în tot volumul și la o temperatură fixă pentru o presiune dată; căldura latentă de vaporizare, $m{\lambda }_v$, este cedată înapoi la condensare. Sublimarea este trecerea directă din solid în vapori, iar desublimarea, trecerea inversă.

Când în problemă apare gheață sau abur, verifici întâi ce stare finală e posibilă. De exemplu, pentru gheață pusă în apă caldă, compari căldura necesară ca să încălzești gheața la $0{}^{\circ }\text{C}$ și s-o topești complet cu căldura pe care o poate ceda apa până la $0{}^{\circ }\text{C}$. Dacă apa poate ceda mai mult, toată gheața se topește și echilibrul este peste $0{}^{\circ }\text{C}$; dacă nu, echilibrul este chiar $0{}^{\circ }\text{C}$, cu gheață și apă împreună.

Exemplu rezolvat 3: lapte rece în ceai fierbinte. Într-o cană cu $0,3\text{kg}$ de ceai la $85{}^{\circ }\text{C}$ se toarnă $0,1\text{kg}$ de lapte scos din frigider, la $5{}^{\circ }\text{C}$. Ceaiul are căldura specifică a apei, $4180\text{J/(kg⋅K)}$, iar laptele $3900\text{J/(kg⋅K)}$; cana și pierderile se neglijează. Ce temperatură are ceaiul cu lapte?

1. Ceaiul cedează, laptele primește: $0,3\cdot 4180(85-t_e)=0,1\cdot 3900(t_e-5)$, adică $1254(85-t_e)=390(t_e-5)$.
2. $106590+1950=1644t_e$, deci $t_e=\frac{108540}{1644}\approx 66{}^{\circ }\text{C}$.

Verificare: temperatura de echilibru este între $5$ și $85{}^{\circ }\text{C}$ și mult mai aproape de cea a ceaiului, care are o capacitate calorică de peste trei ori mai mare.

Exemplu rezolvat 4: bile de sticlă în apă. Niște bile de sticlă cu masa totală de $0,3\text{kg}$, încălzite la $95{}^{\circ }\text{C}$, sunt puse în $0,4\text{kg}$ de apă la $18{}^{\circ }\text{C}$ ($c_{\text{sticla˘}}=840\text{J/(kg⋅K)}$, $c_{\text{apa˘}}=4180\text{J/(kg⋅K)}$; vasul și pierderile se neglijează). Află temperatura de echilibru.

1. $0,3\cdot 840\cdot (95-t_e)=0,4\cdot 4180\cdot (t_e-18)$, adică $252(95-t_e)=1672(t_e-18)$.
2. $23940+30096=1924t_e$, deci $t_e=\frac{54036}{1924}\approx 28,1{}^{\circ }\text{C}$.

Apa se încălzește doar cu aproximativ $10{}^{\circ }\text{C}$, pentru că are o capacitate calorică de peste $6$ ori mai mare decât bilele.

Exemplu rezolvat 5: topirea gheții. Ce căldură trebuie pentru a topi $100\text{g}$ de gheață aflată la $0{}^{\circ }\text{C}$ (${\lambda }_t=334\text{kJ/kg}$)? Temperatura nu se schimbă, deci intră doar căldura latentă: $Q=m{\lambda }_t=0,1\cdot 334000=33400\text{J}$. Aceeași căldură ar încălzi $100\text{g}$ de apă cu $\frac{33400}{0,1\cdot 4180}\approx 80{}^{\circ }\text{C}$.

Exemplu rezolvat 6: gheață în apă caldă. Într-un vas izolat cu $1,2\text{kg}$ de apă la $45{}^{\circ }\text{C}$ se pun $0,25\text{kg}$ de gheață la $-8{}^{\circ }\text{C}$. Află temperatura finală ($c_{\text{gheața˘}}=2100\text{J/(kg⋅K)}$, $c_{\text{apa˘}}=4180\text{J/(kg⋅K)}$, ${\lambda }_t=334\text{kJ/kg}$; vasul se neglijează).

1. Căldura ca gheața să ajungă la $0{}^{\circ }\text{C}$ și să se topească: $0,25\cdot 2100\cdot 8+0,25\cdot 334000=4200+83500=87700\text{J}$.
2. Căldura cedată de apă până la $0{}^{\circ }\text{C}$: $1,2\cdot 4180\cdot 45=225720\text{J}$, mai mult decât $87700\text{J}$, deci toată gheața se topește.
3. Bilanțul, cu $t$ temperatura finală: $1,2\cdot 4180(45-t)=87700+0,25\cdot 4180t$.
4. $225720-87700=(1,2+0,25)\cdot 4180t$, deci $t=\frac{138020}{6061}\approx 22,8{}^{\circ }\text{C}$.

La probleme de calorimetrie, scrie întâi lista corpurilor, cu masa, căldura specifică și temperatura inițială a fiecăruia, apoi stabilește sensul schimburilor. Cazurile din examene:

• amestecuri cu vas calorimetric dat prin capacitate calorică sau prin echivalent în apă;
• încălzire electrică, unde $Q=\eta Pt$ cu randamentul $\eta$ și puterea $P$ în $\mathrm{W}$;
• amestecuri cu gheață, la care trebuie decis dacă gheața se topește complet;
• grafice $t(\tau )$ la putere constantă, în care panta unui segment este $P/(mc)$ și un platou arată o schimbare de stare;
• căldura molară $C_m=\mu c$, care leagă $c$ în $J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ de $C_m$ în $J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$, cu $\mu$ în $kg/mol$.

Pentru amestecuri cu gheață compară întâi căldura pe care o poate ceda apa până la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ cu căldura de topire a gheții. Exemplu: $0,20\mathrm{kg}$ de gheață la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ cad în $0,50\mathrm{kg}$ de apă la $40{}^{\circ }\mathrm{C}$. Apa poate ceda până la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ căldura $0,50\cdot 4200\cdot 40=84000\mathrm{J}$, iar topirea gheții cere $0,20\cdot 3,34\cdot 10^5=66800\mathrm{J}$. Gheața se topește complet, iar restul de $17200\mathrm{J}$ încălzește cei $0,70\mathrm{kg}$ de apă: $t_e=17200/(0,70\cdot 4200)\approx 5,9{}^{\circ }\mathrm{C}$. Dacă topirea ar fi cerut mai mult decât putea ceda apa, temperatura finală ar fi fost $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, cu gheață rămasă.

Exemplu în formatul examenului. Un fierbător electric cu puterea $1,0\mathrm{kW}$ și randamentul $80\%$ încălzește $0,50\mathrm{kg}$ de apă de la $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ la $100{}^{\circ }\mathrm{C}$ ($c=4200J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$). Durata încălzirii este:

• a) $134\mathrm{s}$
• b) $168\mathrm{s}$
• c) $210\mathrm{s}$
• d) $263\mathrm{s}$

Rezolvare.

1. Căldura primită de apă este $Q=mc\Delta t=0,50\cdot 4200\cdot 80=168000\mathrm{J}$.
2. Energia electrică folosită util este $\eta Pt$, deci $\eta Pt=Q$.
3. $t=Q/(\eta P)=168000/(0,8\cdot 1000)=210\mathrm{s}$.

Fiecare distractor are o cauză: a) înmulțirea cu $\eta$ în loc de împărțire ($168\cdot 0,8$); b) ignorarea randamentului; d) folosirea temperaturii finale $100{}^{\circ }\mathrm{C}$ în loc de variația $80{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Răspuns corect: c).

Unde apare la examen

• Admiterea la Medicină, UMF „Carol Davila”: tematica de fizică 2026 are, la termodinamică, temele „Calorimetrie” și „Transformări de stare de agregare”.
• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul B, programa de examen cere coeficienții calorici (relațiile de definiție și unitățile de măsură în SI); calorimetria și schimbările de stare de agregare nu sunt numite separat.
• Admiterea la Politehnica București (ACS, ETTI): programa de fizică are termodinamica fără calorimetrie și fără transformările de stare de agregare.

După calorimetrie urmează lecția Principiul I al termodinamicii, unde căldura apare alături de lucrul mecanic și de energia internă, iar pentru încălzirea apei cu un fierbător vezi lecția Energia și puterea electrică.

Greșeli frecvente

• Greșit: a folosi masa în grame când $c$ este dat în $J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$.
  Corect: masa se exprimă în kilograme când $c$ este în $J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$; altfel rezultatul iese de o mie de ori prea mare.
• Greșit: a uita căldura schimbată cu vasul calorimetric.
  Corect: vasul se încălzește odată cu apa, deci $Q_{\mathrm{vas}}=C_{\mathrm{cal}}\Delta t$ intră în bilanț ori de câte ori vasul nu este declarat neglijabil.
• Greșit: temperatura de echilibru este media aritmetică a celor două temperaturi inițiale.
  Corect: este media ponderată cu capacitățile calorice, $t_e=\sum m_i{c}_i{t}_i/\sum m_i{c}_i$; media aritmetică apare numai la capacități calorice egale.
• Greșit: un corp cu căldură specifică mare se încălzește repede.
  Corect: la aceeași căldură primită, corpul cu $c$ mai mare se încălzește mai puțin și mai încet.
• Greșit: a aplica $Q=mc\Delta t$ în timpul unei schimbări de stare la temperatură constantă.
  Corect: la schimbarea de stare temperatura rămâne constantă, iar căldura este $Q=m\lambda$.

Înainte și după

Întrebări frecvente