Teoria cinetico-moleculară a gazului ideal

Teoria cinetico-moleculară explică proprietățile gazelor prin mișcarea particulelor. Într-un gaz, particulele se deplasează în direcții diferite și lovesc pereții recipientului. Efectul statistic al numeroaselor ciocniri produce presiunea exercitată asupra pereților.

Modelul ideal presupune particule foarte mici, spații mari între ele și ciocniri care nu pierd energie cinetică totală. În realitate, moleculele au dimensiuni și se atrag. Modelul rămâne util când aceste efecte sunt neglijabile. Dacă încălzești aerul dintr-un recipient rigid, energia medie a mișcării particulelor crește. Ciocnirile cu pereții devin mai puternice și mai dese, deci presiunea crește.

Temperatura nu spune viteza fiecărei particule. În același gaz, particulele au o întreagă varietate de viteze. Temperatura este legată de media energiei de mișcare dezordonată. Nicio particulă individuală nu trebuie să aibă exact energia medie. La aceeași temperatură, particulele a două gaze diferite au aceeași energie cinetică medie; cele mai ușoare au, în medie, viteze mai mari.

Explicația microscopică ajută să înțelegi observațiile din „Gazul ideal și ecuația de stare”. Ea nu înlocuiește măsurarea presiunii, volumului și temperaturii. Fenomenele colective pot fi descrise simplu tocmai pentru că există un număr uriaș de particule.

Modelul cinetic al gazului ideal are patru ipoteze: moleculele sunt punctiforme (volumul propriu este neglijabil), nu interacționează decât prin ciocniri, ciocnirile cu pereții și între molecule sunt perfect elastice, iar mișcarea este haotică: toate direcțiile sunt la fel de probabile.

Formula fundamentală. O moleculă cu masa $m_0$ și componenta vitezei $v_x$ perpendiculară pe un perete se ciocnește elastic de el și transmite impulsul $2m_0{v}_x$. În intervalul $\Delta t$ ajung la peretele de arie $S$ moleculele aflate la distanța cel mult $v_x\Delta t$ și îndreptate spre perete, adică jumătate din cele $nS{v}_x\Delta t$ din acel volum, unde $n=N/V$. Forța medie este $F=\frac{1}{2}nS{v}_x\Delta t\cdot 2m_0{v}_x/\Delta t=nS{m}_0{v}_x^2$, deci $p=n{m}_0⟨v_x^2⟩$. Cele trei direcții fiind echivalente, $⟨v_x^2⟩=\frac{1}{3}⟨v^2⟩$ și

Mărimea $v_T$ este viteza termică (viteza pătratică medie). Din comparația cu ecuația de stare $p=nkT$, unde $k=R/N_A=1,38\cdot 10^{-23}J/K$ este constanta Boltzmann, rezultă

Temperatura absolută este deci proporțională cu energia cinetică medie de translație a unei molecule, iar această energie este aceeași pentru toate gazele la aceeași $T$: la $300\mathrm{K}$, $\bar{\epsilon }=6,2\cdot 10^{-21}\mathrm{J}$. Viteza medie aritmetică este $⟨v⟩\approx 0,92v_T$. Vitezele moleculelor sunt repartizate pe un interval larg: cele mai multe au valori apropiate de $v_T$, un număr mic au viteze de câteva ori mai mari, iar la o temperatură mai mare întreaga repartiție se deplasează spre viteze mai mari. Formula $p=nkT$ arată și că, la aceleași $p$ și $T$, orice gaz ideal are aceeași concentrație $n$ de molecule, adică legea lui Avogadro. Energia internă a unui gaz monoatomic este $U=N\bar{\epsilon }=\frac{3}{2}\nu RT$; la gazul biatomic, la temperaturi obișnuite, rotația moleculei adaugă energie și $U=\frac{5}{2}\nu RT$.

Legea lui Dalton. Într-un amestec de gaze ideale care nu reacționează, fiecare gaz exercită presiunea pe care ar avea-o dacă ar ocupa singur tot volumul, numită presiune parțială, $p_i=n_{i}kT={\nu }_{i}RT/V$. Presiunea amestecului este suma presiunilor parțiale: $p=p_1+p_2+\cdots$.

Exemplu rezolvat 1. Azotul ($\mu =28g/mol$) din condiții normale are $n=2,69\cdot 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$ și $T=273,15\mathrm{K}$. Ce presiune rezultă din formula fundamentală?

1. Masa unei molecule este $m_0=\mu /N_A=0,028/(6,02\cdot 10^{23})\approx 4,65\cdot 10^{-26}\mathrm{kg}$.
2. Viteza termică este $v_T=\sqrt{3RT/\mu }=\sqrt{3\cdot 8,31\cdot 273,15/0,028}\approx 493m/s$.
3. Presiunea este $p=\frac{1}{3}n{m}_0{v}_T^2=\frac{1}{3}\cdot 2,69\cdot 10^{25}\cdot 4,65\cdot 10^{-26}\cdot 493^2\approx 1,01\cdot 10^5\mathrm{Pa}$.

Rezultatul coincide cu presiunea atmosferică normală, ceea ce confirmă modelul.

Exemplu rezolvat 2. Comparați vitezele termice ale hidrogenului ($\mu =2g/mol$) și ale azotului ($\mu =28g/mol$) la $300\mathrm{K}$.

1. Pentru azot: $v_T=\sqrt{3\cdot 8,31\cdot 300/0,028}\approx 517m/s$.
2. Pentru hidrogen: $v_T=\sqrt{3\cdot 8,31\cdot 300/0,002}\approx 1934m/s$.
3. Raportul este $1934/517\approx 3,74=\sqrt{28/2}=\sqrt{14}$.

La aceeași temperatură, vitezele termice sunt invers proporționale cu rădăcina pătrată a masei molare, deci hidrogenul este de $3,74$ ori mai rapid decât azotul.

Exemplu rezolvat 3. Într-un vas de $10\mathrm{L}$ se află, la $300\mathrm{K}$, $0,20\mathrm{mol}$ de azot și $0,050\mathrm{mol}$ de oxigen. Care este presiunea amestecului?

1. Presiunea parțială a azotului este $p_1={\nu }_{1}RT/V=0,20\cdot 8,31\cdot 300/0,010\approx 4,99\cdot 10^4\mathrm{Pa}$.
2. Presiunea parțială a oxigenului este $p_2=0,050\cdot 8,31\cdot 300/0,010\approx 1,25\cdot 10^4\mathrm{Pa}$.
3. Presiunea amestecului este $p=p_1+p_2\approx 6,23\cdot 10^4\mathrm{Pa}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: toate moleculele au aceeași viteză la o anumită temperatură.
  Corect: moleculele au viteze foarte diferite; temperatura fixează valoarea medie a energiei lor cinetice și, prin ea, viteza termică.
• Greșit: viteza termică este media aritmetică a vitezelor.
  Corect: $v_T=\sqrt{⟨v^2⟩}$, iar media aritmetică a vitezelor este mai mică, $⟨v⟩\approx 0,92v_T$.
• Greșit: $U=\frac{3}{2}\nu RT$ pentru orice gaz ideal.
  Corect: $U=\frac{3}{2}\nu RT$ este valabilă numai pentru gazul monoatomic; pentru gazul biatomic, la temperaturi obișnuite, $U=\frac{5}{2}\nu RT$.
• Greșit: la aceeași temperatură, hidrogenul și oxigenul au aceeași viteză.
  Corect: au aceeași energie cinetică medie de translație, deci vitezele diferă: hidrogenul, mai ușor, are viteza mai mare.
• Greșit: presiunea unui amestec de gaze este media presiunilor componentelor.
  Corect: este suma presiunilor parțiale (legea lui Dalton).

Înainte și după