Formula lentilei și mărirea

Un desen cu raze îți arată unde se formează imaginea printr-o lentilă, dar uneori ai nevoie de o valoare numerică. Formula lentilei subțiri leagă distanța obiectului, distanța imaginii și distanța focală. Nu este suficient să memorezi semnele; trebuie mai întâi să știi dacă imaginea este reală sau virtuală și ce convenție folosești.

Pentru o lentilă convergentă, un obiect situat dincolo de focar produce o imagine reală, pe partea opusă a lentilei. Când obiectul este plasat între lentilă și focar, imaginea este virtuală. Formula lentilei descrie ambele cazuri printr-o convenție consecventă a semnelor pentru distanțe.

Mărirea compară înălțimea imaginii cu înălțimea obiectului. Dacă modulul măririi este mai mare decât unu, imaginea este mai mare; dacă este mai mic decât unu, este mai mică. Semnul măririi arată dacă imaginea este dreaptă sau răsturnată. Nu confunda mărirea transversală cu convergența $C=1/f$: prima nu are unitate, iar a doua se măsoară în dioptrii.

Pentru a evita erorile, fă o schiță înainte de calcule. Marchează lentila, focarele, obiectul și partea pe care te aștepți să fie imaginea. Abia apoi folosește formula, cu toate distanțele în aceeași unitate. La final verifică dacă semnul și mărimea obținute sunt compatibile cu desenul.

Punctul obiect și punctul imagine al lui se numesc puncte conjugate. Convergența lentilei este $C=1/f$, cu $f$ în metri și $C$ în dioptrii ($1\delta =1{\mathrm{m}}^{-1}$). În convenția carteziană folosită în manualele românești, axa este orientată în sensul propagării luminii, cu originea în centrul optic, iar înălțimile se iau pozitive în sus. Obiectul real aflat înaintea lentilei are $x_1<0$, imaginea reală de după lentilă are $x_2>0$, iar imaginea virtuală are $x_2<0$. Pentru lentila convergentă $f>0$, iar pentru cea divergentă $f<0$.

Formula se deduce din două triunghiuri asemenea. Fie un obiect real de înălțime $y_1$, la distanța $p=-x_1$ de o lentilă convergentă, și imaginea lui reală, de înălțime $|y_2|$, la $x_2$. Raza prin centrul optic dă $\frac{|y_2|}{y_1}=\frac{x_2}{p}$. Raza paralelă cu axa, care iese prin focarul imagine, dă $\frac{|y_2|}{y_1}=\frac{x_2-f}{f}$. Egalând cele două rapoarte se obține $\frac{1}{x_2}+\frac{1}{p}=\frac{1}{f}$, adică formula lentilei subțiri:

Mărirea liniară transversală este $\beta =\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$. Pentru un obiect aflat la infinit, $\frac{1}{x_1}=0$ și $x_2=f$: imaginea se formează în focar. Pentru $x_1=-f$, $\frac{1}{x_2}=0$, deci razele ies paralele și imaginea este la infinit. Rezultatele sunt valabile pentru raze apropiate de axă.

Formula descrie și evoluția imaginii când obiectul se apropie de lentilă. Pentru o lentilă cu $f=10\mathrm{cm}$: la $x_1=-40\mathrm{cm}$ se obține $x_2=13,3\mathrm{cm}$ și $\beta =-0,33$; la $x_1=-20\mathrm{cm}$, $x_2=20\mathrm{cm}$ și $\beta =-1$; la $x_1=-15\mathrm{cm}$, $x_2=30\mathrm{cm}$ și $\beta =-2$; la $x_1=-5\mathrm{cm}$, $x_2=-10\mathrm{cm}$ și $\beta =+2$. Imaginea reală se depărtează și se mărește pe măsură ce obiectul se apropie de focar, apoi trece prin infinit și devine virtuală.

Formula rămâne valabilă și pentru un obiect virtual, adică pentru un fascicul care cade pe lentilă convergând spre un punct aflat în spatele ei; un astfel de obiect are $x_1>0$. Pentru $f=10\mathrm{cm}$ și $x_1=+5\mathrm{cm}$ rezultă $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}$, deci $x_2=3,3\mathrm{cm}$ și $\beta =0,67$: lentila convergentă apropie imaginea de ea.

Exemplu rezolvat 1. O lentilă convergentă cu $f=15\mathrm{cm}$ dă imaginea unui obiect înalt de $3,0\mathrm{cm}$, aflat la $x_1=-45\mathrm{cm}$. Aflați poziția și înălțimea imaginii.

1. Folosim formula lentilei: $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_1}=\frac{1}{15}-\frac{1}{45}=\frac{2}{45}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$.
2. Rezultă $x_2=+22,5\mathrm{cm}$, deci imaginea este reală, pe partea opusă obiectului.
3. Mărirea este $\beta =\frac{x_2}{x_1}=\frac{22,5}{-45}=-0,50$, iar $y_2=\beta y_1=-1,5\mathrm{cm}$.

Imaginea este răsturnată (pentru că $\beta <0$) și are înălțimea de $1,5\mathrm{cm}$.

Pentru lentila divergentă, un obiect real are $x_1<0$ și $f<0$, deci ambii termeni din $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_1}$ sunt negativi. Rezultă $x_2<0$ și $|x_2|<|f|$, oricare ar fi $x_1$: imaginea este întotdeauna virtuală, dreaptă și micșorată.

Exemplu rezolvat 2. O lentilă divergentă cu $f=-30\mathrm{cm}$ este așezată la $20\mathrm{cm}$ de un obiect înalt de $4,0\mathrm{cm}$. Aflați poziția, natura și înălțimea imaginii.

1. Obiectul real are $x_1=-20\mathrm{cm}$, deci $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_1}=-\frac{1}{30}-\frac{1}{20}=-\frac{1}{12}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$.
2. Rezultă $x_2=-12\mathrm{cm}$: imaginea este virtuală, pe aceeași parte cu obiectul.
3. Mărirea este $\beta =\frac{-12}{-20}=+0,60$, iar înălțimea imaginii este $0,60\cdot 4,0\mathrm{cm}=2,4\mathrm{cm}$.

Imaginea este dreaptă (pentru că $\beta >0$) și micșorată, cum trebuie pentru o lentilă divergentă.

Elementele unei lentile

O lentilă subțire are o axă optică principală, care trece prin centrele de curbură ale fețelor, și un centru optic $O$, prin care razele trec fără să fie deviate. O rază paralelă cu axa iese, după o lentilă convergentă, prin focarul imagine $F_2$; după o lentilă divergentă, iese astfel încât prelungirea ei trece prin focarul imagine, aflat de partea obiectului. Cele două focare sunt simetrice față de lentilă, la distanța focală $f$.

Convenția de semne din manual

Distanțele se măsoară de la centrul optic, pe axă, cu semn: pozitive în sensul de propagare a luminii (de obicei spre dreapta), negative în sens opus. Un obiect real, aflat în fața lentilei, are deci $x_1<0$. O imagine cu $x_2>0$ este reală (se formează după lentilă și poate fi prinsă pe un ecran), iar una cu $x_2<0$ este virtuală. Mărirea $\beta =\frac{x_2}{x_1}$ spune și orientarea: $\beta <0$ înseamnă imagine răsturnată, $\beta >0$ imagine dreaptă; dacă $|\beta |>1$, imaginea este mărită.

Construcția imaginilor

Ca să găsești imaginea unui punct al obiectului, desenezi două dintre cele trei raze al căror drum îl cunoști: raza care trece prin centrul optic (nedeviată), raza paralelă cu axa (iese prin focarul imagine) și raza care trece prin focarul obiect (iese paralelă cu axa). Imaginea este la intersecția lor sau a prelungirilor lor. Pentru o lentilă convergentă și un obiect real:

O lentilă divergentă dă pentru orice obiect real o imagine virtuală, dreaptă și micșorată, între focar și lentilă.

Formula constructorului de lentile

Distanța focală depinde de indicele de refracție al lentilei $n$, de cel al mediului $n_0$ și de razele fețelor. În convenția din manual, $R>0$ pentru o față al cărei centru de curbură este după lentilă și $R<0$ în caz contrar; o față plană are $\frac{1}{R}=0$. Dacă lentila se scufundă într-un mediu cu indice mai mare decât al ei, factorul $\frac{n}{n_0}-1$ devine negativ și o lentilă convergentă în aer devine divergentă.

Sisteme de lentile

Două lentile subțiri lipite una de alta se comportă ca o singură lentilă, cu convergența egală cu suma convergențelor: $C=C_1+C_2$. De exemplu, o lentilă de $+7\delta$ alipită cu una de $-3\delta$ dă un sistem de $+4\delta$, cu $f=\frac{1}{4}\text{m}=25\text{cm}$. Când lentilele sunt la distanță, imaginea dată de prima lentilă devine obiect pentru a doua, iar mărirea totală este produsul măririlor: $\beta ={\beta }_1{\beta }_2$. Un sistem în care focarul imagine al primei lentile coincide cu focarul obiect al celei de-a doua transformă un fascicul paralel tot într-un fascicul paralel și se numește afocal.

Înainte și după

• Înainte: refracția luminii, care explică de ce lentila deviază razele; razele, obiectele și imaginile, din capitolul Optica geometrică.
• După: miopia și hipermetropia, unde ochelarii sunt lentile alipite de ochi; microscopul, un sistem de două lentile convergente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: convergența

Află convergența unei lentile convergente cu $f=25\text{cm}$ și a unei lentile divergente cu $f=-50\text{cm}$.

1. Distanța focală în metri: $0,25\text{m}$, respectiv $-0,5\text{m}$.
2. $C_1=\frac{1}{0,25}=4\delta$, $C_2=\frac{1}{-0,5}=-2\delta$.

Exemplul 2: imagine reală

Un obiect real se află la $25\text{cm}$ în fața unei lentile convergente cu $f=15\text{cm}$. Unde se formează imaginea și cum este ea?

1. Coordonata obiectului: $x_1=-25\text{cm}$.
2. $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_1}=\frac{1}{15}-\frac{1}{25}=\frac{5-3}{75}=\frac{2}{75}$, deci $x_2=37,5\text{cm}$.
3. $\beta =\frac{x_2}{x_1}=\frac{37,5}{-25}=-1,5$.

Imaginea este reală ($x_2>0$), răsturnată ($\beta <0$) și mărită de $1,5$ ori. Verificare cu tabelul: obiectul este între $f=15\text{cm}$ și $2f=30\text{cm}$, deci imaginea trebuie să fie dincolo de $2f$, iar $37,5\text{cm}>30\text{cm}$.

Exemplul 3: lupa

O lentilă convergentă cu $f=15\text{cm}$ este folosită ca lupă: obiectul se află la $10\text{cm}$ în fața ei. Unde este imaginea și cum este ea?

1. $x_1=-10\text{cm}$: $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{15}-\frac{1}{10}=\frac{2-3}{30}=-\frac{1}{30}$, deci $x_2=-30\text{cm}$.
2. $\beta =\frac{-30}{-10}=3$.

Imaginea este virtuală ($x_2<0$, de aceeași parte cu obiectul), dreaptă și de trei ori mai mare.

Exemplul 4: lentila divergentă

Un obiect real se află la $60\text{cm}$ în fața unei lentile divergente cu $f=-30\text{cm}$. Unde este imaginea?

1. $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{-30}+\frac{1}{-60}=-\frac{3}{60}=-\frac{1}{20}$, deci $x_2=-20\text{cm}$.
2. $\beta =\frac{-20}{-60}=\frac{1}{3}$.

Imaginea este virtuală, dreaptă și de trei ori mai mică, între focar și lentilă, cum spune regula pentru lentilele divergente.

Exemplul 5: aceeași lentilă în aer și în apă (nivel de examen)

O lentilă biconvexă simetrică din sticlă ($n=1,6$) are razele fețelor de $24\text{cm}$. Află distanța focală în aer și în apă ($n_0=\frac{4}{3}$).

1. În convenția din manual, $R_1=0,24\text{m}$ și $R_2=-0,24\text{m}$, deci $\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}=\frac{2}{0,24}=\frac{25}{3}{\text{m}}^{-1}\approx 8,33{\text{m}}^{-1}$.
2. În aer: $C=(1,6-1)\cdot \frac{25}{3}=5\delta$, deci $f=20\text{cm}$.
3. În apă: $\frac{n}{n_0}-1=\frac{1,6}{4/3}-1=0,2$, deci $C=0,2\cdot \frac{25}{3}=\frac{5}{3}\delta \approx 1,67\delta$ și $f=60\text{cm}$.

În apă lentila rămâne convergentă, dar de trei ori mai slabă, pentru că diferența dintre indicele sticlei și cel al mediului este mai mică.

La Bacalaureat se cere adesea determinarea experimentală a distanței focale a unei lentile convergente pe un banc optic, cu obiect luminos, lentilă și ecran. Două metode revin.

• Metoda punctelor conjugate. Se măsoară $x_1$ și $x_2$ pentru o imagine clară și se calculează $\frac{1}{f}=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}$. Măsurătoarea se repetă pentru mai multe poziții, iar $f$ este media rezultatelor. Dacă obiectul este în $2f$, imaginea este tot în $2f$, iar distanța obiect–ecran este $4f$.
• Metoda Bessel. Obiectul și ecranul rămân la distanța fixă $L$, iar lentila are două poziții în care imaginea de pe ecran este clară. Cu distanța $x$ de la obiect la lentilă, ecuația $x^2-Lx+Lf=0$ are rădăcinile $x=\frac{L\pm \sqrt{L^2-4Lf}}{2}$, deci distanța dintre cele două poziții este $d=\sqrt{L^2-4Lf}$ și $f=\frac{L^2-d^2}{4L}$. O imagine reală există numai dacă $L\ge 4f$; pentru $L=4f$ cele două poziții coincid.

Capcanele sunt amestecarea lui $L$ cu $x_2$, citirea lui $d$ ca distanță dintre lentilă și ecran și neconvertirea unităților înainte de a obține $f$.

Exemplu în formatul examenului. Într-un montaj Bessel, distanța dintre obiect și ecran este $L=1,00\mathrm{m}$. Lentila dă imagini clare în două poziții, aflate la $d=0,60\mathrm{m}$ una de alta. Cât este distanța focală a lentilei?

• a) $16\mathrm{cm}$
• b) $10\mathrm{cm}$
• c) $25\mathrm{cm}$
• d) $34\mathrm{cm}$

Rezolvare.

1. Pentru montajul Bessel, $f=\frac{L^2-d^2}{4L}$.
2. Înlocuim: $f=\frac{1,00^2-0,60^2}{4\cdot 1,00}\mathrm{m}=\frac{0,64}{4}\mathrm{m}=0,16\mathrm{m}=16\mathrm{cm}$.
3. Verificare: pozițiile lentilei sunt la $0,20\mathrm{m}$ și la $0,80\mathrm{m}$ de obiect, iar $\frac{1}{0,20}+\frac{1}{0,80}=6,25{\mathrm{m}}^{-1}=\frac{1}{0,16\mathrm{m}}$.
4. Variantele greșite provin din erori reale: $\frac{L-d}{4}=10\mathrm{cm}$ (b), $\frac{L}{4}=25\mathrm{cm}$ (c), iar $\frac{L^2+d^2}{4L}=34\mathrm{cm}$ (d) apare la schimbarea semnului din formulă.

Răspuns corect: a).

Unde apare la examen

• Admiterea la Medicină, UMF „Carol Davila”: „Lentile subțiri. Sisteme de lentile” este a doua temă din „Optica geometrică”, capitolul de clasa a IX-a al tematicii de fizică 2026 (tematica 2026). Formatul probei este pe pagina admiterii la Medicină Carol Davila.
• Bacalaureatul, proba de fizică: în modulul D, Optică, programa de examen cere elementele lentilei subțiri, convergența, formulele lentilelor subțiri, imaginile obiectelor reale și virtuale și sistemele de lentile (programa de examen, anexa 2 la OMECTS 5610/2012).
• Clasa a VIII-a: programa de gimnaziu cere identificarea lentilelor, a focarelor și construcția geometrică a imaginilor; formulele lentilelor sunt o extindere (OMEN 3393/2017).

Greșeli frecvente

• Greșit: se lucrează numai cu modulele distanțelor.
  Corect: distanțele se iau cu semn, după convenția carteziană.
• Greșit: o mărire transversală negativă înseamnă o imagine fizic imposibilă.
  Corect: semnul negativ al lui $\beta$ indică o imagine răsturnată.
• Greșit: centimetri și metri amestecați.
  Corect: toate distanțele în aceeași unitate, iar C în dioptrii cere f în metri.
• Greșit: a considera pozitivă mărirea oricărei imagini mărite.
  Corect: o imagine reală mărită are $\beta <0$; faptul că este mărită îl arată $|\beta |>1$, iar semnul arată orientarea.
• Greșit: a amesteca convenții, de exemplu $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{f}$ cu distanțe pozitive și semnele din manual.
  Corect: o singură convenție pe toată problema; pe Didaxis, ca în manual și în grile, se folosește $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{f}$.
• Greșit: „imaginea virtuală este întotdeauna micșorată”.
  Corect: la lentila divergentă da, dar la lupă imaginea virtuală este mărită.
• Greșit: a aduna distanțele focale ale lentilelor alipite.
  Corect: se adună convergențele, $C=C_1+C_2$.

Înainte și după

Întrebări frecvente