Formula constructorului de lentile

Două lentile pot avea aceeași mărime la exterior, dar pot îndoi lumina diferit. Contează cât de curbate sunt suprafețele, din ce material este lentila și în ce mediu se află. Formula constructorului de lentile pune aceste lucruri în legătură cu distanța focală a unei lentile subțiri. Nu trebuie să construiești o lentilă ca să folosești ideea: formula explică de ce forma și materialul schimbă convergența.

O lentilă convergentă adună razele paralele spre un focar, iar una divergentă le depărtează. Dacă o suprafață este mai puternic curbată, efectul optic poate deveni mai puternic, dar rezultatul depinde și de cealaltă suprafață. O lentilă simetrică și una cu o față aproape plană pot avea aceeași distanță focală dacă formele și materialele sunt alese potrivit.

Mediul din jur contează. O lentilă de sticlă în aer poate fi convergentă, însă aceeași bucată de sticlă într-un lichid cu indice apropiat de cel al sticlei deviază razele mai puțin. Dacă indicii ar fi egali, suprafețele nu ar mai produce refracție în model. Așadar, nu poți deduce puterea lentilei numai din fotografia formei sale.

Modelul este pentru lentile subțiri și raze apropiate de axa optică. La lentile groase sau la raze care trec departe de centru, apar corecții și aberații. Înainte de calcul, desenează sensul propagării și marchează care este prima și a doua suprafață; semnele razelor de curbură depind de convenția folosită.

Fiecare dintre cele două suprafețe ale unei lentile refractă lumina, iar efectul lor combinat este exprimat de formula constructorului de lentile. Convenția de semne este aceeași ca la formula lentilei: axa are sensul propagării luminii. Prima suprafață întâlnită de lumină are raza de curbură $R_1$, a doua are $R_2$. O rază de curbură este pozitivă dacă centrul de curbură al suprafeței se află după suprafață, în sensul propagării, și negativă dacă se află înaintea ei. O față plană are $R\to \infty$, deci $1/R=0$. Pentru o lentilă subțire din material cu indice $n_{\ell }$, aflată într-un mediu cu indice $n_m$, formula este

iar în aer ($n_m\approx 1$) devine $\frac{1}{f}=(n_{\ell }-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$. Convergența este $C=\frac{1}{f}$, în dioptrii dacă $f$ este în metri.

Formula rezultă adunând efectele celor două suprafețe sferice. O suprafață de rază $R$, între un mediu de indice $n_1$ și unul de indice $n_2$, contribuie cu $\frac{n_2-n_1}{R}$. Pentru lentila subțire, $\frac{n_m}{f}=\frac{n_{\ell }-n_m}{R_1}+\frac{n_m-n_{\ell }}{R_2}$, iar împărțirea la $n_m$ dă relația de mai sus. Indicele $n_{\ell }$ depinde de lungimea de undă, deci și $f$ depinde de culoare: în sticlă, lumina albastră are $n_{\ell }$ mai mare și o distanță focală mai mică decât lumina roșie.

Semnul lui $f$ rezultă din produsul celor doi factori. Lentila biconvexă are $R_1>0$ și $R_2<0$, deci a doua paranteză este pozitivă. Lentila plan-convexă are o rază infinită și una finită: $\frac{1}{f}=\frac{n_{\ell }-1}{R}$ în aer, cu $R$ în modul, indiferent dacă fața curbă este prima sau a doua. Lentila biconcavă are $R_1<0$ și $R_2>0$, deci a doua paranteză este negativă. La un menisc, cele două raze au același semn, iar semnul lui $\frac{1}{f}$ este dat de suprafața mai curbată, adică de cea cu raza mai mică în modul. Când $n_{\ell }>n_m$, prima paranteză este pozitivă și lentila are același caracter, convergent sau divergent, ca în aer; când $n_{\ell }<n_m$, prima paranteză este negativă și rolurile se inversează. Dacă $n_{\ell }=n_m$, $\frac{1}{f}=0$ în model: lentila nu mai deviază razele.

Exemplu rezolvat 1. O lentilă plan-convexă este făcută din sticlă cu $n=1,6$, iar fața curbă are raza $R=15\mathrm{cm}$. Aflați distanța focală și convergența în aer.

1. Fața curbă este prima, deci $R_1=+15\mathrm{cm}$, iar fața plană are $R_2\to \infty$.
2. Formula dă $\frac{1}{f}=(1,6-1)\left(\frac{1}{15}-0\right)=0,04\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$.
3. Rezultă $f=25\mathrm{cm}=0,25\mathrm{m}$ și $C=\frac{1}{0,25\mathrm{m}}=4\delta$.

Dacă lentila este întoarsă, cu fața plană prima, se obține $R_1\to \infty$ și $R_2=-15\mathrm{cm}$, deci aceeași valoare: distanța focală nu depinde de orientarea lentilei.

Exemplu rezolvat 2. O lentilă biconvexă din sticlă cu $n=1,5$ are $R_1=+25\mathrm{cm}$ și $R_2=-40\mathrm{cm}$. Aflați distanța focală în aer, apoi în apă ($n_m=1,33$).

1. În aer: $\frac{1}{f}=(1,5-1)\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{40}\right)=0,0325\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, deci $f=30,8\mathrm{cm}$ și $C=3,25\delta$.
2. În apă: $\frac{n_{\ell }}{n_m}=\frac{1,5}{1,33}=1,128$, deci $\frac{1}{f}=0,128\cdot 0,065\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}=0,00831\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$ și $f=120\mathrm{cm}$, adică $C=0,83\delta$.
3. Raportul distanțelor focale este $\frac{120}{30,8}\approx 3,9$: aceeași lentilă este de aproape patru ori mai slabă în apă.

Într-un lichid cu $n_m=1,63$, de exemplu sulfura de carbon, $\frac{n_{\ell }}{n_m}=0,920$ și $\frac{1}{f}=-0,0798\cdot 0,065\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, adică $f=-193\mathrm{cm}$: lentila biconvexă devine divergentă.

Greșeli frecvente

• Greșit: a pune același semn pentru $R_1$ și $R_2$ fără să verifice orientarea suprafețelor.
  Corect: semnele lui $R_1$ și $R_2$ se stabilesc după convenția carteziană (biconvexă: $R_1>0$, $R_2<0$).
• Greșit: a presupune că distanța focală nu depinde de mediul în care este scufundată lentila.
  Corect: $f$ depinde de $n_{lentil\breve{a}}/n_{mediu}$.
• Greșit: a aplica formula subțire unei lentile groase fără corecții.
  Corect: formula este valabilă doar pentru lentile subțiri.
• Greșit: a pune $R=0$ pentru o față plană.
  Corect: o față plană are raza de curbură infinită, deci $\frac{1}{R}=0$.

Înainte și după