Imagini prin lentile

Imaginea unui obiect printr-o lentilă se află printr-o construcție geometrică, cu ajutorul a două dintre cele trei raze principale: raza paralelă cu axa, care iese prin focarul imagine $F^{\prime }$; raza prin centrul optic $O$, care trece nedeviată; raza care trece prin focarul obiect $F$, care iese paralelă cu axa. Imaginea unui punct se află la intersecția razelor ieșite din lentilă. Dacă razele ieșite se întâlnesc efectiv, imaginea este reală și se poate prinde pe un ecran. Dacă razele ieșite diverg și se întâlnesc numai prelungirile lor, imaginea este virtuală: o vezi privind prin lentilă, dar nu se proiectează pe ecran.

La o lentilă convergentă, poziția obiectului stabilește imaginea:

• Obiectul dincolo de $2F$ dă o imagine reală, răsturnată și mai mică, între $F^{\prime }$ și $2F^{\prime }$. Așa lucrează aparatul foto.
• Obiectul în $2F$ dă o imagine reală, răsturnată și egală cu obiectul, în $2F^{\prime }$.
• Obiectul între $F$ și $2F$ dă o imagine reală, răsturnată și mărită, dincolo de $2F^{\prime }$. Așa lucrează proiectorul: diapozitivul se introduce cu capul în jos, pentru ca imaginea de pe ecran să fie dreaptă.
• Obiectul în $F$ trimite din lentilă raze paralele, deci imaginea nu se formează la o distanță finită. Pe acest fapt se bazează reflectorul: sursa pusă în focar dă un fascicul paralel.
• Obiectul între $F$ și lentilă dă o imagine virtuală, dreaptă și mărită, pe aceeași parte a lentilei cu obiectul. Așa lucrează lupa.

La o lentilă divergentă, un obiect real are mereu o imagine virtuală, dreaptă și micșorată, aflată între lentilă și focar. Razele paralele cu axa ies depărtându-se, iar prelungirile lor trec prin focar.

Pași pentru o construcție corectă: desenezi axa, lentila și focarele la scară, apoi obiectul ca o săgeată perpendiculară pe axă; trasezi cu rigla două raze principale din vârful săgeții; imaginea vârfului este la intersecția razelor ieșite (sau a prelungirilor lor); coboară perpendiculara pe axă din acest punct, iar segmentul obținut este imaginea obiectului.

Exemplu rezolvat. O lentilă convergentă are $f=3,0\mathrm{cm}$. Un obiect înalt de $2,0\mathrm{cm}$ se află la $9,0\mathrm{cm}$ de lentilă. Cum este imaginea?

1. Distanța $9,0\mathrm{cm}$ este mai mare decât $2f=6,0\mathrm{cm}$, deci imaginea este reală, răsturnată și micșorată, între $F^{\prime }$ și $2F^{\prime }$.
2. Pe desenul la scară, raza paralelă cu axa trece prin $F^{\prime }$, iar raza prin $O$ rămâne dreaptă. Ele se întâlnesc la $4,5\mathrm{cm}$ de lentilă, la $1,0\mathrm{cm}$ sub axă.
3. Imaginea are înălțimea de $1,0\mathrm{cm}$, adică jumătate din a obiectului.

Rezultatul respectă regula: imaginea este între $F^{\prime }$ la $3,0\mathrm{cm}$ și $2F^{\prime }$ la $6,0\mathrm{cm}$.

Pentru lentile subțiri și raze apropiate de axă, o rază paralelă cu axa iese prin focarul imagine, iar la lentila divergentă iese ca și cum ar veni din focarul imagine, aflat de partea obiectului. Raza prin $O$ nu este deviată, iar o rază îndreptată spre focarul obiect iese paralelă cu axa. O rază oarecare se construiește cu ajutorul unei raze auxiliare paralele cu ea, care trece prin $O$: cele două raze se întâlnesc în planul focal imagine, iar raza căutată trece prin acel punct. Construcția cere cel puțin două raze independente; a treia verifică desenul.

Convenția românească pentru distanțe orientate este: axa are sensul propagării luminii, cu originea în $O$; distanța obiect $x_1$ este negativă pentru un obiect real, $f>0$ la lentila convergentă. Formula lentilei este $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{f}$, iar mărirea transversală este $\beta =\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$. Semnul lui $x_2$ spune natura imaginii (pozitiv: reală; negativ: virtuală), iar semnul lui $\beta$ spune orientarea (negativ: răsturnată; pozitiv: dreaptă). Pentru lentila convergentă, un obiect real cu $x_1<-2f$ are imagine reală, răsturnată și micșorată; cu $x_1=-2f$, imagine reală, răsturnată, egală, la $x_2=2f$; cu $-2f<x_1<-f$, imagine reală, răsturnată și mărită, la $x_2>2f$; cu $-f<x_1<0$, imagine virtuală, dreaptă și mărită.

Exemplu rezolvat 1. O lentilă convergentă are $f=12\mathrm{cm}$. Un obiect înalt de $1,5\mathrm{cm}$ se află la $x_1=-18\mathrm{cm}$. Aflați poziția, natura și înălțimea imaginii.

1. Din formula lentilei, $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{f}+\frac{1}{x_1}=\frac{1}{12}-\frac{1}{18}=\frac{1}{36}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, deci $x_2=+36\mathrm{cm}$.
2. Mărirea este $\beta =\frac{x_2}{x_1}=\frac{36}{-18}=-2$.
3. Imaginea este reală (pentru că $x_2>0$), răsturnată (pentru că $\beta <0$) și are înălțimea $|\beta |y_1=2\cdot 1,5\mathrm{cm}=3,0\mathrm{cm}$.

Obiectul este între $F$ ($12\mathrm{cm}$) și $2F$ ($24\mathrm{cm}$), iar imaginea cade dincolo de $2F^{\prime }$, la $36\mathrm{cm}$, ca în construcție.

Exemplu rezolvat 2. Același tip de lentilă, cu $f=8,0\mathrm{cm}$, este folosit ca lupă pentru un obiect înalt de $0,90\mathrm{cm}$, aflat la $x_1=-5,0\mathrm{cm}$. Cum este imaginea?

1. $\frac{1}{x_2}=\frac{1}{8}-\frac{1}{5}=-\frac{3}{40}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, deci $x_2=-13,3\mathrm{cm}$.
2. $\beta =\frac{-13,3}{-5,0}=+2,67$.
3. Imaginea este virtuală ($x_2<0$), dreaptă ($\beta >0$), pe aceeași parte cu obiectul, și are înălțimea $2,67\cdot 0,90\mathrm{cm}=2,4\mathrm{cm}$.

Obiectul este între lentilă și $F$ ($5,0\mathrm{cm}<8,0\mathrm{cm}$), deci imaginea este virtuală și mărită, cum cere construcția.

La lentila divergentă formula dă același tip de rezultat pentru orice obiect real. De exemplu, pentru $f=-10\mathrm{cm}$ și $x_1=-30\mathrm{cm}$ rezultă $\frac{1}{x_2}=-\frac{1}{10}-\frac{1}{30}=-\frac{2}{15}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$, deci $x_2=-7,5\mathrm{cm}$ și $\beta =\frac{-7,5}{-30}=0,25$: imaginea este virtuală, dreaptă, de patru ori mai mică și se află între lentilă și focarul virtual, la $7,5\mathrm{cm}<10\mathrm{cm}$ de lentilă. Când obiectul se apropie de lentila divergentă, imaginea se apropie și ea, iar $\beta$ tinde către $1$; când obiectul se depărtează foarte mult, imaginea tinde către focarul virtual, iar $\beta$ tinde către $0$. Imaginea reală se vede clar pe ecran numai dacă ecranul este exact în planul ei; dacă ecranul este deplasat, fiecare punct al obiectului devine o pată de lumină, iar imaginea apare estompată.

Din formula lentilei și din $\beta =x_2/x_1$ se obțin relațiile de lucru $x_2=f(1-\beta )$ și $x_1=f\left(\frac{1}{\beta }-1\right)$. Ele leagă direct poziția obiectului și a imaginii de mărire și de distanța focală, fără sistem de ecuații. Se folosesc cu semnul lui $\beta$: o imagine pe ecran este răsturnată, deci $\beta <0$; o imagine dreaptă a unui obiect real este virtuală, cu $\beta >0$.

Alte rezultate utile pentru probleme: o lentilă convergentă dă imagine reală numai dacă obiectul este dincolo de focar; distanța dintre un obiect real și imaginea lui reală este $|x_1|+x_2\ge 4f$, cu egalitate când obiectul este în $2F$; o lentilă divergentă dă pentru un obiect real $0<\beta <1$ și $|x_2|<|f|$. Capcanele frecvente sunt amestecul centimetrilor cu metrii, citirea lui $\beta =-4$ ca „de patru ori mai mică” și folosirea distanței imagine în locul distanței obiect.

Exemplu în formatul examenului. O lentilă convergentă cu $f=20\mathrm{cm}$ formează pe un ecran o imagine de patru ori mai mare decât obiectul. La ce distanță de lentilă este obiectul?

• a) $15\mathrm{cm}$
• b) $80\mathrm{cm}$
• c) $100\mathrm{cm}$
• d) $25\mathrm{cm}$

Rezolvare.

1. Imaginea se formează pe ecran, deci este reală și răsturnată: $\beta =-4$.
2. Distanța obiect este $x_1=f\left(\frac{1}{\beta }-1\right)=20\mathrm{cm}\cdot \left(-\frac{1}{4}-1\right)=-25\mathrm{cm}$, adică obiectul este la $25\mathrm{cm}$ de lentilă.
3. Verificare: $x_2=\beta x_1=100\mathrm{cm}$ și $\frac{1}{100}+\frac{1}{25}=\frac{1}{20}$.
4. Variantele greșite provin din erori reale: $\beta =+4$ dă $15\mathrm{cm}$ (a), produsul $f|\beta |$ dă $80\mathrm{cm}$ (b), iar $100\mathrm{cm}$ (c) este distanța imaginii, nu a obiectului.

Răspuns corect: d).

Greșeli frecvente

• Greșit: a desena razele paralele după lentilă în loc să le unească prin focar la convergentă.
  Corect: raza paralelă cu axa trece, după lentila convergentă, prin focarul imagine.
• Greșit: a confunda intersecția razelor reale cu intersecția prelungirilor lor.
  Corect: intersecția razelor reale dă o imagine reală; intersecția prelungirilor dă o imagine virtuală.
• Greșit: a presupune că orice imagine prin lentilă convergentă este reală.
  Corect: obiectul aflat între focar și lentila convergentă are o imagine virtuală, dreaptă și mărită.
• Greșit: a crede că lentila divergentă poate da o imagine mărită a unui obiect real.
  Corect: pentru un obiect real, lentila divergentă dă mereu o imagine virtuală, dreaptă și micșorată.

Înainte și după