Energia potențială gravitațională

O carte așezată pe un raft înalt poate cădea și poate pune alt obiect în mișcare. Ridicând cartea, i-ai schimbat poziția față de Pământ. Energia asociată poziției sistemului carte–Pământ se numește energie potențială gravitațională. Ea se transformă în energie cinetică atunci când cartea coboară. La fel, apa unui lac de acumulare are energie potențială, pe care o hidrocentrală o transformă în energie cinetică a apei care curge prin conducte și apoi în energie electrică.

Alegem un nivel de referință unde spunem că înălțimea este zero. Poate fi podeaua sau suprafața mesei, după cum convine problemei. Aproape de suprafața Pământului, energia potențială față de acel nivel este $E_{p,g}=mgh$, unde $m$ este masa, $g=10N/kg$ și $h$ înălțimea față de nivelul ales. Pentru $m=2\mathrm{kg}$ și $h=3\mathrm{m}$, rezultă $E_{p,g}=2\cdot 10\cdot 3=60\mathrm{J}$.

Dacă alegi alt nivel zero, numărul care reprezintă energia potențială se schimbă. Fizica mișcării rămâne aceeași: diferența de energie dintre două înălțimi nu depinde de nivelul ales. O carte care coboară de la $3\mathrm{m}$ la $1\mathrm{m}$ pierde aceeași energie potențială fie că măsori înălțimile de la podea, fie de la masă.

Nu confunda energia potențială cu greutatea. Greutatea este o forță, exprimată în newtoni, pe când energia potențială se exprimă în jouli. Când ridici un obiect, lucrezi împotriva greutății; când îl lași să coboare, greutatea efectuează lucru pozitiv, iar energia potențială scade.

Exemplu rezolvat. Un ghiveci de $2\mathrm{kg}$ stă pe un pervaz aflat la $5\mathrm{m}$ deasupra trotuarului. Un balcon se află la $2\mathrm{m}$ deasupra trotuarului, sub pervaz. Aflăm energia potențială față de trotuar și față de balcon.

1. Față de trotuar, $h=5\mathrm{m}$: $E_p=mgh=2\cdot 10\cdot 5=100\mathrm{J}$.
2. Față de balcon, $h=5-2=3\mathrm{m}$: $E_p=2\cdot 10\cdot 3=60\mathrm{J}$.
3. Dacă ghiveciul cade pe balcon, față de trotuar energia lui scade de la $100\mathrm{J}$ la $2\cdot 10\cdot 2=40\mathrm{J}$.

Scăderea este de $60\mathrm{J}$ și față de trotuar, și față de balcon: nivelul de referință schimbă valorile energiei, dar nu schimbă variația ei.

Formula $E_{p,g}=mgh$ este valabilă numai la înălțimi mici față de raza Pământului ($R_P\approx 6,4\cdot 10^6\mathrm{m}$), unde $g$ poate fi considerat constant, adică într-un câmp gravitațional uniform. Energia potențială aparține sistemului corp–Pământ, nu corpului singur. Pentru un corp extins, $h$ este înălțimea centrului de greutate. Variația energiei potențiale este $\Delta E_{p,g}=mg(h_f-h_i)$, iar lucrul greutății este $L_G=-\Delta E_{p,g}=mg(h_i-h_f)$.

Valoarea lui $E_{p,g}$ depinde de nivelul zero: sub acest nivel, $h<0$ și energia potențială este negativă. Variația ei nu depinde de nivelul zero și nici de forma traseului, fiindcă lucrul greutății depinde numai de capetele traseului. De aceea greutatea este o forță conservativă în acest model. Dacă un corp revine la înălțimea inițială, $\Delta E_{p,g}=0$, oricât de lung a fost drumul. O persoană de $60\mathrm{kg}$ care urcă un etaj de $3\mathrm{m}$ își mărește energia potențială cu $60\cdot 10\cdot 3=1800\mathrm{J}$, fie că urcă pe scări, pe o rampă sau cu liftul.

La scară mare, energia potențială se calculează la fel. Într-un lac de acumulare, o masă de apă de $10^6\mathrm{kg}$ al cărei centru de greutate se află la $50\mathrm{m}$ deasupra turbinelor are, față de turbine, $E_{p,g}=10^6\cdot 10\cdot 50=5\cdot 10^8\mathrm{J}=500\mathrm{MJ}$, adică aproximativ $139\mathrm{kWh}$. Energia potențială nu depinde de viteza corpului; ea descrie doar configurația sistemului corp–Pământ.

De ce o atribuim sistemului, și nu corpului singur, se vede la cădere. Corpul atrage Pământul cu aceeași forță cu care este atras de el, dar masa Pământului este atât de mare, încât deplasarea lui este neglijabilă, iar energia cinetică câștigată apare practic numai la corp. Dacă Pământul ar lipsi, nu ar exista nici greutate, nici energie potențială gravitațională pentru corpul considerat.

Exemplu rezolvat 1. O bară omogenă de $6\mathrm{kg}$ și lungime $2\mathrm{m}$ zace pe sol, apoi este ridicată în poziție verticală, cu un capăt pe sol; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Aflăm variația energiei potențiale.

1. Centrul de greutate al barei omogene este la mijloc.
2. Culcată, centrul este la o înălțime neglijabilă față de sol, $h_i\approx 0\mathrm{m}$; vertical, el este la $h_f=1\mathrm{m}$.
3. $\Delta E_{p,g}=mg(h_f-h_i)=6\cdot 10\cdot 1=60\mathrm{J}$.

Lucrul greutății barei este $-60\mathrm{J}$, deci forța exterioară care o ridică uniform efectuează un lucru de $60\mathrm{J}$. Nu se folosește înălțimea de $2\mathrm{m}$ a capătului superior, ci cea a centrului de greutate, $1\mathrm{m}$.

Exemplu rezolvat 2. Un corp de $5\mathrm{kg}$ pornește de la $1,5\mathrm{m}$ deasupra podelei și urcă $8\mathrm{m}$ pe un plan înclinat la $30^{\circ }$. Aflăm energia potențială inițială și finală față de podea, apoi față de un raft aflat la $3\mathrm{m}$ deasupra podelei; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$.

1. Creșterea înălțimii este $\Delta h=8\sin 30^{\circ }=4\mathrm{m}$, deci înălțimea finală față de podea este $5,5\mathrm{m}$.
2. Față de podea: $E_{p,i}=5\cdot 10\cdot 1,5=75\mathrm{J}$ și $E_{p,f}=5\cdot 10\cdot 5,5=275\mathrm{J}$.
3. Față de raft: $E_{p,i}=5\cdot 10\cdot (-1,5)=-75\mathrm{J}$ și $E_{p,f}=5\cdot 10\cdot 2,5=125\mathrm{J}$.
4. În ambele cazuri $\Delta E_{p,g}=200\mathrm{J}$, iar $L_G=-200\mathrm{J}$.

Lungimea de $8\mathrm{m}$ a planului nu apare în rezultat; contează doar diferența de nivel. Semnul pozitiv al variației arată că urcarea mărește energia sistemului, deci o forță exterioară a efectuat lucru. Verificarea directă dă același număr: $5\cdot 10\cdot 4=200\mathrm{J}$, adică masa, accelerația gravitațională și creșterea de înălțime.

Problemele combină energia potențială cu alte mărimi: centrul de greutate al unor corpuri extinse (bară, lanț, coloană de lichid), energia pierdută la o cădere pe etaje diferite și legătura cu lucrul greutății. Pe un grafic $E_{p,g}(h)$, dreapta are panta $mg$ și poate da masa corpului. Rezolvarea pornește de la $E_{p,g}=mgh$, $\Delta E_{p,g}=mg\Delta h$ și $L_G=-\Delta E_{p,g}$.

Capcana principală este amestecarea nivelurilor de referință: înălțimea inițială se măsoară față de un nivel, iar cea finală față de altul. O a doua capcană este semnul variației, care se scrie întotdeauna ca stare finală minus stare inițială. La corpurile extinse, cum sunt un lanț care atârnă de marginea mesei sau o coloană de apă, fiecare porțiune se tratează prin centrul ei de greutate, iar înălțimea se ia în fiecare caz față de același nivel ales.

Exemplu în formatul examenului. Un vas de flori de $2\mathrm{kg}$ cade de pe un balcon aflat la $6\mathrm{m}$ deasupra solului pe acoperișul plat al unei magazii înalte de $2\mathrm{m}$. Se alege ca nivel de referință pervazul unei ferestre aflat la $4\mathrm{m}$ deasupra solului; $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Variația energiei potențiale gravitaționale a sistemului vas–Pământ este:

• a) $-80\mathrm{J}$
• b) $-160\mathrm{J}$
• c) $+80\mathrm{J}$
• d) $-40\mathrm{J}$

Rezolvare.

1. Față de pervaz, balconul este la $h_i=6-4=+2\mathrm{m}$, iar acoperișul magaziei la $h_f=2-4=-2\mathrm{m}$.
2. $E_{p,i}=2\cdot 10\cdot 2=+40\mathrm{J}$ și $E_{p,f}=2\cdot 10\cdot (-2)=-40\mathrm{J}$.
3. $\Delta E_{p,g}=E_{p,f}-E_{p,i}=-40-40=-80\mathrm{J}$.

Rezultatul b) amestecă nivelurile de referință, adică $h_i=6\mathrm{m}$ față de sol și $h_f=-2\mathrm{m}$ față de pervaz. Rezultatul d) este doar energia finală, iar c) are semnul inversat.

Răspuns corect: a).

Greșeli frecvente

• Greșit: folosirea a două niveluri zero diferite în aceeași comparație.
  Corect: folosește același nivel de referință pentru starea inițială și pentru cea finală.
• Greșit: confundarea energiei în $\mathrm{J}$ cu greutatea în $\mathrm{N}$.
  Corect: greutatea $G=mg$ este o forță, măsurată în $\mathrm{N}$; energia potențială $E_{p,g}=mgh$ se măsoară în $\mathrm{J}$.
• Greșit: a spune că lucrul greutății la coborâre este negativ deoarece obiectul „pierde” energie potențială.
  Corect: la coborâre lucrul greutății este pozitiv, $L_G=-\Delta E_{p,g}>0$, tocmai pentru că energia potențială scade.
• Greșit: energia potențială gravitațională nu poate fi negativă.
  Corect: sub nivelul zero ales, $h<0$ și $E_{p,g}<0$; contează variația ei.

Înainte și după