Formule de adunare trigonometrice

Formulele de adunare leagă funcțiile unghiurilor $a+b$ și $a-b$ de cele ale lui $a$ și $b$, oricare ar fi numerele reale $a$ și $b$:

Semnul de sus corespunde sumei, iar cel de jos diferenței. La sinus, semnul din dreapta este același cu cel din stânga; la cosinus, este opus.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\sin 75^{\circ }$.

1. Scriem $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$.
2. Aplicăm formula: $\sin 75^{\circ }=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }$.
3. Obținem $\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Demonstrația. Punctele $M(\cos a;\sin a)$ și $N(\cos b;\sin b)$ sunt pe cercul trigonometric. O rotație cu unghiul $-b$ duce $N$ în $A(1;0)$ și $M$ în $M^{\prime }(\cos (a-b);\sin (a-b))$, fără să schimbe distanța dintre puncte. Din $M{N}^2=M^{\prime }{A}^2$ rezultă

După desfacerea parantezelor și folosirea relației ${\sin }^{2}u+{\cos }^{2}u=1$, egalitatea devine $2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b=2-2\cos (a-b)$, deci $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. Înlocuind $b$ cu $-b$ (cu $\cos (-b)=\cos b$ și $\sin (-b)=-\sin b$) se obține cosinusul sumei. Pentru sinus se folosește $\sin u=\cos \left(\frac{\pi }{2}-u\right)$: $\sin (a+b)=\cos \left(\left(\frac{\pi }{2}-a\right)-b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$, iar înlocuirea lui $b$ cu $-b$ dă sinusul diferenței. Formulele de reducere sunt cazuri particulare: pentru $a=\pi$ rezultă $\sin (\pi -b)=\sin b$ și $\cos (\pi -b)=-\cos b$.

Tangenta. Dacă $a$, $b$ și $a\pm b$ sunt diferite de $\frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, atunci $\mathrm{tg}(a\pm b)=\frac{\mathrm{tg}a\pm \mathrm{tg}b}{1\mp \mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}$. Numitorul este $\frac{\cos (a\pm b)}{\cos a\cos b}$, deci se anulează exact când $\mathrm{tg}(a\pm b)$ nu există. Dacă tangenta unuia dintre unghiuri nu există, se folosesc formulele cu sinus și cosinus.

Formulele se aplică în trei situații. Prima este calculul valorilor exacte pentru unghiuri care se descompun în unghiuri remarcabile, de exemplu $15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$, $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$ sau $105^{\circ }=60^{\circ }+45^{\circ }$. A doua este demonstrarea identităților și simplificarea expresiilor. A treia este rezolvarea ecuațiilor, când o expresie de tipul $\sin u\cos v-\cos u\sin v$ se recunoaște ca $\sin (u-v)$.

Caz particular. Pentru $b=a$, formulele sumei dau $\sin 2a=2\sin a\cos a$ și $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$. Pentru $a=15^{\circ }$ obținem $2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci $\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{4}$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\mathrm{tg}15^{\circ }$ cu $15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$.

1. Folosim $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$ și $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
2. $\mathrm{tg}15^{\circ }=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
3. Amplificăm cu $\sqrt{3}-1$: $\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$, valoare pozitivă, cum trebuie la un unghi din cadranul I.

Exemplu rezolvat. Calculăm $\cos 105^{\circ }$ cu $105^{\circ }=60^{\circ }+45^{\circ }$.

1. $\cos 105^{\circ }=\cos 60^{\circ }\cos 45^{\circ }-\sin 60^{\circ }\sin 45^{\circ }$.
2. Înlocuim: $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
3. Rezultatul este negativ, cum trebuie pentru un unghi din cadranul II, deoarece $\sqrt{6}>\sqrt{2}$.

Exemplu rezolvat. Unghiul $a$ este în cadranul I și $\sin a=\frac{3}{5}$, iar unghiul $b$ este în cadranul II și $\sin b=\frac{5}{13}$. Calculăm $\sin (a+b)$ și $\cos (a+b)$.

1. $\cos a=\frac{4}{5}$ în cadranul I, iar $\cos b=-\frac{12}{13}$ în cadranul II.
2. $\sin (a+b)=\frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=-\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=-\frac{16}{65}$.
3. $\cos (a+b)=\frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)-\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=-\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=-\frac{63}{65}$.
4. Verificare: ${\left(\frac{16}{65}\right)}^2+{\left(\frac{63}{65}\right)}^2=\frac{256+3969}{4225}=1$.

Exemplu rezolvat. Formulele se citesc și de la dreapta la stânga. Calculăm $\cos 47^{\circ }\cos 13^{\circ }-\sin 47^{\circ }\sin 13^{\circ }$ și $\sin 20^{\circ }\cos 10^{\circ }+\cos 20^{\circ }\sin 10^{\circ }$.

1. Prima expresie este $\cos (47^{\circ }+13^{\circ })=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.
2. A doua expresie este $\sin (20^{\circ }+10^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Exemplu rezolvat. Demonstrăm că $\sin (a+b)\sin (a-b)={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$ pentru orice numere reale $a$ și $b$.

1. Prin formulele de adunare, produsul este $(\sin a\cos b{)}^2-(\cos a\sin b{)}^2$.
2. Înlocuim ${\cos }^{2}b=1-{\sin }^{2}b$ și ${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a$: ${\sin }^{2}a(1-{\sin }^{2}b)-(1-{\sin }^{2}a){\sin }^{2}b$.
3. După desfacerea parantezelor, termenii ${\sin }^{2}a{\sin }^{2}b$ se reduc și rămâne ${\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm ecuația $\sin 5x\cos 2x-\cos 5x\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. Membrul stâng este $\sin (5x-2x)=\sin 3x$, deci ecuația devine $\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Sinusul este $\frac{\sqrt{3}}{2}$ pentru $3x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ sau $3x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.
3. Împărțind la $3$: $x=\frac{\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$ sau $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$.

Exemplu rezolvat. Unghiurile ascuțite $a$ și $b$ au $\mathrm{tg}a=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{tg}b=\frac{1}{3}$. Aflăm $a+b$.

1. $\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{5/6}{5/6}=1$.
2. Din $\mathrm{tg}a<1$ și $\mathrm{tg}b<1$ rezultă $a<\frac{\pi }{4}$ și $b<\frac{\pi }{4}$, deci $0<a+b<\frac{\pi }{2}$.
3. Singurul unghi din $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ cu tangenta $1$ este $\frac{\pi }{4}$, deci $a+b=\frac{\pi }{4}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\sin (a+b)=\sin a+\sin b$.
  Corect: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.
• Greșit: la $\cos (a+b)$ semnul dintre termeni este plus.
  Corect: este minus.
• Greșit: formula tangentei se aplică și cu numitor zero.
  Corect: suma are atunci tangentă nedefinită.
• Greșit: $\mathrm{tg}(a+b)=\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b$.
  Corect: $\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}$.
• Greșit: $\cos (a-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.
  Corect: la cosinus semnul dintre produse este opus semnului dintre unghiuri, deci pentru diferență este plus: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Înainte și după