Cercul și discul

Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor din plan aflate la distanța $r$ de $O$. Discul cuprinde și punctele din interior, a căror distanță la centru este cel mult $r$. O coardă unește două puncte ale cercului. Diametrul este o coardă care trece prin centru și are lungimea $2r$; orice altă coardă este mai scurtă decât el. Două puncte ale cercului îl împart în două arce; când coarda este diametru, arcele sunt semicercuri.

Fie $d$ distanța de la centrul $O$ la o dreaptă. Dreapta este secantă (două puncte comune) dacă $d<r$, **tangentă** (un singur punct comun) dacă $d=r$ și **exterioară** dacă $d>r$. Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Dintr-un punct exterior $P$ se pot duce două tangente, iar segmentele de tangentă sunt congruente: $PA=PB$.

Două cercuri de raze $R\ge r$ și cu distanța dintre centre $d$ sunt exterioare dacă $d>R+r$, tangente exterior dacă $d=R+r$, secante dacă $R-r<d<R+r$, tangente interior dacă $d=R-r$ și unul în interiorul celuilalt dacă $d<R-r$.

Proprietățile coardelor și ale arcelor:

• arcelor congruente le corespund coarde congruente, și reciproc;
• diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei;
• coardele egal depărtate de centru sunt congruente, și reciproc;
• arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente.

Lungimea cercului este $L=2\pi r$, iar aria discului este $\mathcal{A}=\pi r^2$.

Exemplul 1. Pentru un cerc de rază $4\mathrm{cm}$, aflăm diametrul, lungimea cercului și aria discului.

1. Diametrul este $2r=8\mathrm{cm}$.
2. Lungimea cercului este $L=2\pi r=8\pi \mathrm{cm}$.
3. Aria discului este $\mathcal{A}=\pi r^2=16\pi {\mathrm{cm}}^2$.

Lungimea se măsoară în centimetri, aria în centimetri pătrați.

Exemplul 2. Într-un cerc de rază $5$ cm, o coardă $AB$ are $8$ cm. Aflați distanța de la centru la coardă.

1. Fie $M$ piciorul perpendicularei din $O$ pe $AB$. Diametrul care conține $OM$ este perpendicular pe coardă, deci $M$ este mijlocul ei și $AM=4$ cm.
2. În triunghiul dreptunghic $OMA$, ipotenuza este $OA=5$ cm.
3. Distanța este $OM=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm.

Exemplul 3. Punctul $P$ este la $13$ cm de centrul unui cerc cu raza de $5$ cm, iar $PA$ este tangentă în $A$. Aflați $PA$.

1. Raza $OA$ este perpendiculară pe tangentă, deci triunghiul $OAP$ este dreptunghic în $A$.
2. $PA=\sqrt{O{P}^2-O{A}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$ cm.
3. A doua tangentă dusă din $P$ are tot $12$ cm.

Greșeli frecvente

• Greșit: cercul include toată regiunea interioară.
  Corect: regiunea împreună cu cercul este discul.
• Greșit: într-un cerc de rază $3\mathrm{cm}$, o coardă de $4\mathrm{cm}$ este diametru.
  Corect: diametrul trece prin centru și are $2r=6\mathrm{cm}$.
• Greșit: tangenta este paralelă cu raza la punctul de contact.
  Corect: este perpendiculară pe rază.
• Greșit: într-un cerc de rază $5$ cm, coarda de $8$ cm este la $4$ cm de centru, pentru că jumătatea ei are $4$ cm.
  Corect: $4$ cm este semicoarda; distanța la centru se află cu teorema lui Pitagora și este $3$ cm.
• Greșit: lungimea cercului de rază $r$ este $\pi r^2$.
  Corect: $L=2\pi r$; formula $\pi r^2$ este aria discului.

Înainte și după

Întrebări frecvente