Teoremele lui Menelaus și Ceva

În triunghiul $ABC$, alegi $D\in BC$, $E\in CA$, $F\in AB$. Ceva leagă concurența cevienelor $AD$, $BE$, $CF$ de egalitatea $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1$. Teorema funcționează și invers: dacă produsul este $1$, cele trei ceviene sunt concurente. Menelaus folosește un produs de rapoarte pentru a recunoaște trei puncte coliniare aflate pe dreptele laturilor; în configurația cu $D,E$ pe laturi, al treilea punct este pe prelungirea unei laturi. Desenezi pozițiile înainte de a scrie rapoartele.

Ceva și reciproca – medianele. (1) Marchezi $D,E,F$ drept mijloace ale laturilor $BC,CA,AB$. (2) Obții $BD/DC=CE/EA=AF/FB=1$. (3) Produsul este $1$, deci, prin reciproca teoremei lui Ceva, medianele $AD$, $BE$, $CF$ sunt concurente.

Menelaus și reciproca. Ia $D\in BC$, $E\in CA$, iar $F$ pe prelungirea lui $AB$ dincolo de $B$. Punctele $D,E,F$ sunt coliniare dacă și numai dacă $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1$, rapoartele fiind de lungimi pozitive în această configurație. Să presupunem că $D$ este mijlocul lui $BC$, $CE/EA=1/2$ și $AB=4$ cm. (1) $BD/DC=1$. (2) Pentru coliniaritate, $1\cdot (1/2)\cdot (AF/FB)=1$, deci $AF/FB=2$. (3) Cum $F$ este dincolo de $B$, $AF=AB+BF=4+BF$. Ecuația $(4+BF)/BF=2$ dă $BF=4$ cm. (4) Cu acest raport, reciproca lui Menelaus confirmă coliniaritatea.

Ceva cu valori numerice. În triunghiul $ABC$, $D\in BC$ cu $\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$ și $E\in CA$ cu $\frac{CE}{EA}=\frac{3}{4}$. Ceviana $CF$, cu $F\in AB$, trece prin punctul comun al lui $AD$ și $BE$ dacă și numai dacă $\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{AF}{FB}=1$. Atunci $\frac{AF}{FB}=2$; pentru $AB=9$ cm rezultă $AF=6$ cm și $FB=3$ cm.

Exemplu rezolvat – cercul înscris. Triunghiul $ABC$ are $BC=13$, $CA=14$, $AB=15$. Cercul înscris atinge laturile $BC$, $CA$, $AB$ în $D$, $E$, $F$. Demonstrează că $AD$, $BE$, $CF$ sunt concurente.

1. Semiperimetrul este $p=\frac{13+14+15}{2}=21$. Tangentele duse dintr-un vârf la cerc sunt egale, deci $BD=BF=p-14=7$, $DC=CE=p-15=6$, $EA=AF=p-13=8$.
2. Produsul rapoartelor este $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{7}{6}\cdot \frac{6}{8}\cdot \frac{8}{7}=1$.
3. Prin reciproca teoremei lui Ceva, cevienele sunt concurente (în punctul lui Gergonne).

Teorema lui Ceva se demonstrează cu arii: dacă $P$ este punctul de concurență, atunci $\frac{BD}{DC}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABP}}{{\mathcal{A}}_{ACP}}$, pentru că triunghiurile au aceeași înălțime din $A$ și bazele $BD$ și $DC$. Scriind încă două rapoarte asemănătoare și înmulțindu-le, ariile se reduc și produsul devine $1$. Ordinea rapoartelor urmează un circuit: pornești dintr-un vârf, mergi pe latură până la punctul de pe ea, apoi la vârful următor, apoi continui în același sens. La reciprocele ambelor teoreme se verifică produsul numeric, iar concluzia se trage numai dacă toate punctele au fost așezate corect pe laturi sau pe prelungiri. Teoremele se aplică numai după ce pozițiile punctelor sunt clare pe figură. Pentru Ceva, punctele $D$, $E$, $F$ sunt pe laturi, nu pe prelungiri, iar pentru Menelaus o dreaptă taie dreptele laturilor, de obicei în două puncte pe laturi și unul pe prelungire sau în trei puncte pe prelungiri.

Menelaus cu valori numerice. O dreaptă taie latura $BC$ în $D$ cu $\frac{BD}{DC}=2$, latura $CA$ în $E$ cu $\frac{CE}{EA}=\frac{1}{3}$ și dreapta $AB$ în $F$. Din produsul $2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{AF}{FB}=1$ rezultă $\frac{AF}{FB}=\frac{3}{2}$. Raportul este supraunitar, deci $F$ se află pe prelungirea lui $AB$ dincolo de $B$; dacă $AB=4$ cm, atunci $FB=8$ cm și $AF=12$ cm.

Aceeași valoare a produsului are două concluzii diferite numai pentru că poziția punctelor și obiectele analizate sunt diferite: ceviene pentru Ceva, puncte pe dreptele laturilor pentru Menelaus.

Greșeli frecvente

• Greșit: trei puncte aflate câte unul în interiorul fiecărei laturi pot sta pe aceeași dreaptă.
  Corect: în configurația obișnuită a lui Menelaus, unul se află pe prelungirea unei laturi.
• Greșit: în produsul lui Ceva se pot lua rapoartele în ordine oarecare, de exemplu $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{AE}{EC}\cdot \frac{AF}{FB}$.
  Corect: rapoartele se iau circular, în același sens ($B\to C$, $C\to A$, $A\to B$); un raport inversat schimbă produsul.
• Greșit: produsul $1$ dovedește mereu concurență.
  Corect: verifici configurația; Ceva tratează concurența cevienelor, Menelaus coliniaritatea punctelor.

Înainte și după