Relația lui Stewart

În triunghiul $ABC$, punctul $D$ se află pe latura $BC$, iar $AD$ este o ceviană. Notezi $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, $m=BD$, $n=DC$, $d=AD$, astfel încât $m+n=a$. Relația lui Stewart este $b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn)$. Ea leagă lungimea cevienei de laturile triunghiului și de cele două segmente în care $D$ împarte latura $BC$; egalitatea nu rezultă doar din $m+n=a$.

Relația se demonstrează aplicând teorema cosinusului în triunghiurile adiacente cevienei și eliminând cosinusurile unghiurilor suplimentare de la punctul interior. Când ceviana este mediană, înlocuim $m=n=a/2$ și obținem $d^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4$, formula medianei. Când este bisectoare, teorema bisectoarei dă $m/n=c/b$, deci $m=ac/(b+c)$ și $n=ab/(b+c)$. Prin înlocuire rezultă $d^2=bc\left(1-a^2/(b+c{)}^2\right)$. Inegalitatea triunghiului $a<b+c$ asigură pozitivitatea expresiei. Cele două formule descriu ceviene diferite într-un triunghi oarecare; ele coincid în triunghiul isoscel pentru ceviana dusă la bază. Alegerea segmentelor trebuie făcută după notația geometrică, nu după ordinea lungimilor numerice.

Exemplu rezolvat. Într-un triunghi cu $AB=7$, $AC=5$ și $BC=6$, punctul $D$ satisface $BD=2$, $DC=4$.

1. Asociem $b^2$ cu $BD$ și $c^2$ cu $DC$.
2. Înlocuim: $25\cdot 2+49\cdot 4=6(d^2+8)$.
3. Rezultă $246=6d^2+48$, deci $d^2=33$.
4. Lungimea cevienei este $AD=\sqrt{33}$. Rădăcina negativă nu reprezintă o lungime.

Demonstrația pe scurt: fie $\phi =\angle ADB$, deci $\angle ADC=180^{\circ }-\phi$. Teorema cosinusului în $△ABD$ dă $c^2=d^2+m^2-2dm\cos \phi$, iar în $△ADC$ dă $b^2=d^2+n^2+2dn\cos \phi$. Înmulțim prima egalitate cu $n$ și a doua cu $m$, apoi le adunăm; termenii cu $\cos \phi$ se reduc și obținem $c^{2}n+b^{2}m=d^2(m+n)+mn(m+n)=a(d^2+mn)$.

Relația lui Stewart este un instrument pentru lungimi de segmente din interiorul triunghiului. Ea se folosește când ai trei laturi și un punct pe una dintre ele sau când trebuie să afli o latură din lungimea cevienei. Procedeul este mereu același: notezi laturile și segmentele $m$ și $n$ după figură, scrii relația cu atenție la perechile încrucișate $b^{2}m$ și $c^{2}n$ și rezolvi ecuația de gradul întâi sau de gradul al doilea în $d^2$ ori în segmentul căutat. O regulă mnemotehnică a relației este șirul de produse $m\cdot a\cdot n+d\cdot a\cdot d=b\cdot m\cdot b+c\cdot n\cdot c$, care reproduce egalitatea $amn+a{d}^2=b^{2}m+c^{2}n$. Pentru un punct $D$ aflat la mijlocul laturii obții formula medianei, iar pentru $D$ în piciorul bisectoarei, formula bisectoarei; amândouă sunt cazuri particulare, nu relații independente.

Exemplu rezolvat. Calculează lungimea medianei din $A$ într-un triunghi cu $AB=6$, $AC=8$ și $BC=10$.

1. Mediana are piciorul $D$ în mijlocul lui $BC$, deci $m=n=5$.
2. Cu $b=AC=8$, $c=AB=6$ și $a=10$, relația dă $b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn)$: $64\cdot 5+36\cdot 5=10(d^2+25)$.
3. Rezultă $500=10d^2+250$, deci $d^2=25$ și $AD=5$.

Rezultatul concordă cu faptul că triunghiul este dreptunghic cu ipotenuza $BC=10$: mediana ipotenuzei este jumătate din ea.

Exemplu rezolvat. În triunghiul $ABC$ cu $BC=8$, $CA=6$, $AB=10$ ducem bisectoarea $AD$, $D\in BC$. Află $AD$.

1. Teorema bisectoarei: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$. Cum $BD+DC=8$, avem $BD=5$ și $DC=3$.
2. Stewart: $b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn)$, cu $m=BD=5$, $n=DC=3$, $b=6$, $c=10$, $a=8$: $36\cdot 5+100\cdot 3=8(d^2+15)$.
3. Rezultă $480=8d^2+120$, deci $d^2=45$ și $AD=3\sqrt{5}$.

Verificare directă: triunghiul este dreptunghic în $C$ ($6^2+8^2=10^2$), deci $A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2=36+9=45$.

Exemplu rezolvat. În triunghiul isoscel cu $AB=AC=5$ și $BC=6$, punctul $D$ este pe $BC$ cu $BD=1$ și $DC=5$. Stewart dă $25\cdot 1+25\cdot 5=6(d^2+5)$, deci $d^2=20$ și $AD=2\sqrt{5}$. Verificare: înălțimea din $A$ este $4$, iar piciorul ei, mijlocul lui $BC$, este la $2$ de $D$; $4^2+2^2=20$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru datele exemplului se scrie $49\cdot 2+25\cdot 4$ în membrul stâng.
  Corect: segmentul $BD$ însoțește latura $CA$, deci expresia este $25\cdot 2+49\cdot 4$.
• Greșit: în relația lui Stewart, latura $b=CA$ se asociază cu segmentul $DC$ de lângă ea.
  Corect: latura $b$ se înmulțește cu segmentul de lângă vârful opus, $m=BD$, iar $c$ cu $n=DC$; asocierea este „încrucișată”.
• Greșit: din $A{D}^2=33$ rezultă două lungimi, $\pm \sqrt{33}$.
  Corect: lungimea este pozitivă, deci numai $\sqrt{33}$.

Înainte și după