Asemănarea triunghiurilor

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale. Se scrie $△ABC\sim △DEF$, iar ordinea vârfurilor fixează corespondența. Raportul laturilor corespunzătoare este raportul de asemănare: $k=\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$. Triunghiurile cu laturile $3;4;5$ și $6;8;10$ sunt asemenea, iar raportul de asemănare al celui mic la cel mare este $\frac{1}{2}$. Congruența este cazul $k=1$. Două triunghiuri echilaterale sunt întotdeauna asemenea, deoarece toate unghiurile lor au $60^{\circ }$. Dacă $△ABC\sim △DEF$ și $△DEF\sim △GHI$, atunci $△ABC\sim △GHI$.

Criteriile de asemănare sunt:

• UU: două unghiuri ale unui triunghi sunt congruente cu două unghiuri ale celuilalt; al treilea unghi rezultă congruent, deoarece suma este $180^{\circ }$;
• LUL: două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale celuilalt, iar unghiurile cuprinse între ele sunt congruente;
• LLL: cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu laturile celuilalt.

Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat. Astfel, dacă $DE\parallel BC$, cu $D\in AB$ și $E\in AC$, atunci $△ADE\sim △ABC$ și $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$. Pentru $AD=2$ cm, $AB=6$ cm și $BC=12$ cm rezultă $DE=4$ cm.

Dacă $△ABC\sim △DEF$ cu raportul $k$, atunci perimetrele, înălțimile, medianele și bisectoarele corespunzătoare au același raport $k$, iar raportul ariilor este $k^2$. Raportul se calculează numai între laturi corespunzătoare, adică opuse unor unghiuri congruente.

Exemplu rezolvat. Triunghiul $ABC$ are $m(\sphericalangle A)=90^{\circ }$, $AB=6$ cm, $AC=8$ cm, $BC=10$ cm. Triunghiul $DEF$ are $m(\sphericalangle D)=90^{\circ }$, $\sphericalangle E\equiv \sphericalangle B$ și $DE=3$ cm. Aflăm $DF$, $EF$ și raportul ariilor.

1. $\sphericalangle A\equiv \sphericalangle D$ și $\sphericalangle B\equiv \sphericalangle E$, deci $△ABC\sim △DEF$ prin UU.
2. Raportul este $k=\frac{AB}{DE}=\frac{6}{3}=2$.
3. $DF=\frac{AC}{k}=4$ cm și $EF=\frac{BC}{k}=5$ cm.
4. Ariile sunt $\frac{6\cdot 8}{2}=24$ cm${}^2$ și $\frac{3\cdot 4}{2}=6$ cm${}^2$; raportul lor este $4=k^2$.

Exemplu rezolvat. La aceeași oră, un copil de $1,8$ m are umbra de $2,4$ m, iar un copac are umbra de $12$ m. Aflăm înălțimea copacului.

1. Razele Soarelui sunt paralele, deci cele două triunghiuri dreptunghice au un unghi ascuțit congruent; sunt asemenea prin UU.
2. Scriem $\frac{h}{1,8}=\frac{12}{2,4}=5$.
3. $h=1,8\cdot 5=9$ m.

Greșeli frecvente

• Greșit: două triunghiuri asemenea sunt congruente.
  Corect: au aceeași formă, dar pot avea mărimi diferite; sunt congruente numai când $k=1$.
• Greșit: pentru triunghiurile cu laturile $6;9;12$ și $4;6;8$, raportul de asemănare este $\frac{6}{8}$.
  Corect: se compară laturile corespunzătoare, cea mai mică cu cea mai mică, deci $k=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
• Greșit: dacă laturile unui triunghi se dublează, aria se dublează.
  Corect: aria devine de $2^2=4$ ori mai mare.
• Greșit: două triunghiuri care au două laturi proporționale sunt asemenea.
  Corect: mai trebuie ca unghiurile cuprinse între ele să fie congruente sau ca și a treia pereche de laturi să fie proporțională.

Înainte și după

Întrebări frecvente