Teorema bisectoarei

Într-un triunghi $ABC$, bisectoarea unghiului $A$ întâlnește latura $BC$ în punctul $D$. Teorema bisectoarei spune că $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$: punctul $D$ împarte latura opusă în același raport în care sunt laturile care formează unghiul. Reciproca este adevărată: un punct $D$ al laturii $BC$ cu această proprietate se află pe bisectoarea unghiului $A$. Dacă $AB=AC$, atunci $BD=DC$, iar bisectoarea este și mediană. Dacă $AB<AC$, atunci și $BD<DC$: segmentul mai scurt este lângă latura mai scurtă. Pentru a afla $BD$ și $DC$ se notează segmentele cu produsul dintre o necunoscută și numerele din raport, iar suma lor se egalează cu lungimea lui $BC$.

Exemplu rezolvat. Dacă $AB=6$ cm, $AC=9$ cm și $BC=10$ cm:

1. $BD:DC=6:9=2:3$.
2. Cele cinci părți egale însumează $10$ cm, deci una are $2$ cm.
3. $BD=4$ cm și $DC=6$ cm; verificăm $4+6=10$ cm.

Notăm $a=BC$, $b=CA$ și $c=AB$. Teorema bisectoarei: dacă $D\in (BC)$ este piciorul bisectoarei unghiului $\sphericalangle BAC$, atunci $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$.

Demonstrație. Punctul $D$ de pe bisectoare este egal depărtat de dreptele $AB$ și $AC$; fie $d$ această distanță. Atunci ${\mathcal{A}}_{ABD}=\frac{c\cdot d}{2}$ și ${\mathcal{A}}_{ACD}=\frac{b\cdot d}{2}$, deci raportul ariilor este $\frac{c}{b}$. Triunghiurile $ABD$ și $ACD$ au aceeași înălțime $h$ din $A$ pe $BC$, deci raportul ariilor este și $\frac{DB\cdot h/2}{DC\cdot h/2}=\frac{DB}{DC}$. Egalând cele două expresii se obține teorema.

Reciproca. Fie $D\in (BC)$ cu $\frac{DB}{DC}=\frac{c}{b}$ și fie $D^{\prime }$ piciorul bisectoarei. Din teoremă, $\frac{D^{\prime }B}{D^{\prime }C}=\frac{c}{b}$. Din proporții derivate, $\frac{DB}{BC}=\frac{c}{b+c}=\frac{D^{\prime }B}{BC}$, deci $DB=D^{\prime }B$ și $D=D^{\prime }$.

Din proporții derivate rezultă $DB=\frac{ac}{b+c}$ și $DC=\frac{ab}{b+c}$. Segmentul mai lung se află lângă latura mai lungă. Bisectoarea este și mediană dacă și numai dacă $b=c$, adică triunghiul este isoscel cu vârful în $A$. Incentrul $I$ împarte bisectoarea $AD$ în raportul $\frac{AI}{ID}=\frac{b+c}{a}$: în triunghiul $ABD$, dreapta $BI$ este bisectoarea unghiului $B$, deci $\frac{AI}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{c(b+c)}{ac}$. Din demonstrație rezultă și că bisectoarea $AD$ împarte aria triunghiului în raportul $\frac{{\mathcal{A}}_{ABD}}{{\mathcal{A}}_{ACD}}=\frac{c}{b}$. Teorema se folosește în trei feluri: pentru a afla segmentele $DB$ și $DC$ din laturi, pentru a afla raportul laturilor din raportul segmentelor (Exemplul 2) și, prin reciprocă, pentru a arăta că o dreaptă dată este bisectoare. Lungimea bisectoarei se află cu Relația lui Stewart.

Exemplul 1. Avem $AB=10$ cm, $AC=15$ cm și $BC=20$ cm.

1. Raportul este $\frac{BD}{DC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$.
2. Notăm segmentele cu $2t$ și $3t$; suma lor este $5t=20$, deci $t=4$.
3. Obținem $BD=8$ cm și $DC=12$ cm.
4. Verificăm $8+12=20$ și $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$; sunt respectate atât lungimea bazei, cât și raportul.

Exemplul 2. Bisectoarea $AD$ împarte latura $BC$ în $BD=3$ cm și $DC=5$ cm. Perimetrul triunghiului este $24$ cm. Aflați $AB$ și $AC$.

1. Din teoremă, $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$, deci $AB=3k$ și $AC=5k$.
2. Cum $BC=3+5=8$ cm, perimetrul dă $3k+5k+8=24$, deci $k=2$.
3. $AB=6$ cm și $AC=10$ cm; verificăm $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

Exemplul 3. În triunghiul cu $AB=6$ cm, $AC=9$ cm și $BC=10$ cm, bisectoarele din $A$ și din $B$ se întâlnesc în $I$, iar $AD$ este bisectoarea din $A$. Aflați $\frac{AI}{ID}$.

1. Aici $b+c=9+6=15$ și $a=10$.
2. $\frac{AI}{ID}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$.
3. Verificare: $BD=\frac{ac}{b+c}=\frac{10\cdot 6}{15}=4$ cm, iar $\frac{BA}{BD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

Exemplul 4. Triunghiul $ABC$ are unghiul drept în $A$, $AB=6$ cm, $AC=8$ cm și $BC=10$ cm. Bisectoarea unghiului $A$ taie ipotenuza în $D$. Aflați $DB$, $DC$ și distanța de la $D$ la catete.

1. $\frac{DB}{DC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, deci $DB=\frac{10\cdot 6}{6+8}=\frac{30}{7}$ cm și $DC=\frac{10\cdot 8}{6+8}=\frac{40}{7}$ cm.
2. Fie $d$ distanța de la $D$ la fiecare catetă. Aria triunghiului $ABC$ este suma ariilor triunghiurilor $ABD$ și $ACD$: $\frac{6\cdot 8}{2}=\frac{6d}{2}+\frac{8d}{2}$, deci $24=7d$ și $d=\frac{24}{7}$ cm.
3. Verificare în reperul cu originea în $A$ și catetele pe axe: punctul $D(d;d)$ se află pe dreapta $BC$, de ecuație $\frac{x}{6}+\frac{y}{8}=1$, deci $d\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\right)=1$ și, din nou, $d=\frac{24}{7}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $AB=10$ cm, $AC=15$ cm și $BC=20$ cm, bisectoarea din $A$ împarte baza în segmente de câte $10$ cm.
  Corect: laturile vecine inegale dau $BD=8$ cm și $DC=12$ cm.
• Greșit: $BD/DC=AC/AB=3/2$.
  Corect: raportul corespunzător este $AB/AC=2/3$; segmentul $BD$, din partea laturii mai scurte, este și el mai scurt.
• Greșit: în triunghiul cu $AB=6$ cm, $AC=9$ cm și $BC=10$ cm se scrie $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}$.
  Corect: în raport intră cele două laturi care pleacă din $A$, deci $\frac{BD}{DC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
• Greșit: bisectoarea oricărui triunghi trece prin mijlocul laturii opuse.
  Corect: trece prin mijloc numai dacă $AB=AC$.

Înainte și după