Patrulatere

Un patrulater convex are patru laturi, patru unghiuri și două diagonale, iar suma măsurilor unghiurilor lui este $360^{\circ }$. Patrulaterele particulare se deosebesc prin laturile paralele sau congruente.

Paralelogramul are laturile opuse paralele. Laturile opuse sunt congruente, unghiurile opuse sunt congruente, unghiurile alăturate sunt suplementare, iar diagonalele se înjumătățesc. Reciproc, un patrulater convex este paralelogram dacă are laturile opuse congruente, sau două laturi opuse paralele și congruente, sau diagonalele care se înjumătățesc.

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept; atunci toate unghiurile sunt drepte. Diagonalele lui sunt congruente, iar un paralelogram cu diagonalele congruente este dreptunghi. Rombul este paralelogramul cu două laturi alăturate congruente; atunci toate laturile sunt congruente. Diagonalele rombului sunt perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor lui, iar un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb. Pătratul este în același timp dreptunghi și romb, deci are toate proprietățile ambelor.

Un trapez are exact o pereche de laturi opuse paralele, numite baze; celelalte două laturi sunt neparalele. Trapezul isoscel are laturile neparalele congruente; atunci unghiurile de la aceeași bază sunt congruente, iar diagonalele sunt congruente. Trapezul dreptunghic are o latură neparalelă perpendiculară pe baze, deci are două unghiuri drepte. Linia mijlocie a trapezului are o lecție proprie: Linia mijlocie în triunghi și în trapez.

Simetriile ajută la recunoaștere. Paralelogramul are centrul de simetrie în intersecția diagonalelor. Dreptunghiul și rombul au centru de simetrie și câte două axe de simetrie: la dreptunghi, mediatoarele laturilor; la romb, dreptele diagonalelor. Pătratul are patru axe. Trapezul isoscel are o axă, mediatoarea bazelor, și nu are centru de simetrie. Paralelogramul oarecare nu are nicio axă.

Exemplul 1. Un paralelogram are două laturi alăturate de $5$ cm și $8$ cm, iar un unghi de $70^{\circ }$.

1. Laturile opuse sunt congruente, deci perimetrul este $2(5+8)=26$ cm.
2. Unghiul opus are tot $70^{\circ }$.
3. Unghiurile alăturate sunt suplementare, deci fiecare are $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.

Exemplul 2. Diagonalele unui romb au $12$ cm și $16$ cm. Aflați latura și perimetrul.

1. Diagonalele se înjumătățesc și sunt perpendiculare, deci formează un triunghi dreptunghic cu catetele de $6$ cm și $8$ cm.
2. Latura rombului este ipotenuza: $\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm.
3. Cele patru laturi sunt congruente, deci perimetrul este $4\cdot 10=40$ cm.

Exemplul 3. Un trapez isoscel are bazele de $10$ cm și $4$ cm și laturile neparalele de $5$ cm. Aflați înălțimea.

1. Înălțimile duse din capetele bazei mici taie din baza mare două segmente egale, fiecare de $(10-4):2=3$ cm.
2. Într-unul dintre triunghiurile dreptunghice formate, ipotenuza are $5$ cm și o catetă $3$ cm.
3. Înălțimea este cealaltă catetă: $\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm.

Greșeli frecvente

• Greșit: în paralelogramul cu un unghi de $70^{\circ }$, unghiul alăturat are tot $70^{\circ }$.
  Corect: cele alăturate au suma $180^{\circ }$, deci celălalt este $110^{\circ }$.
• Greșit: perimetrul paralelogramului cu laturile alăturate $5$ cm și $8$ cm este $13$ cm.
  Corect: $P=2(5+8)=26$ cm.
• Greșit: diagonalele oricărui romb sunt egale.
  Corect: un romb poate avea diagonalele $6$ cm și $8$ cm; ele se înjumătățesc, dar au lungimi diferite.
• Greșit: un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este pătrat.
  Corect: este romb; pentru a fi pătrat trebuie să aibă și diagonalele congruente.
• Greșit: în trapez, laturile neparalele sunt tot paralele două câte două.
  Corect: trapezul are numai bazele paralele; un patrulater cu două perechi de laturi paralele este paralelogram.

Înainte și după

Întrebări frecvente