Centrele triunghiului

Liniile importante dintr-un triunghi (vezi lecția Linii importante în triunghi) nu se întâlnesc la întâmplare: cele trei linii de același fel trec printr-un singur punct. Cele patru puncte obținute se numesc centrele triunghiului.

Centrul de greutate $G$ este punctul comun al medianelor. El se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf și o treime de mijlocul laturii: $AG=\frac{2}{3}AM$ și $GM=\frac{1}{3}AM$. Este mereu în interiorul triunghiului. Un triunghi decupat din carton uniform rămâne în echilibru pe vârful unui creion pus în $G$.

Incentrul $I$ este punctul comun al bisectoarelor. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului, deci $I$ este egal depărtat de cele trei laturi și este centrul cercului înscris, tangent la laturi. Incentrul este mereu în interior.

Circumcentrul $O$ este punctul comun al mediatoarelor laturilor. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului, deci $OA=OB=OC$, iar $O$ este centrul cercului circumscris, care trece prin cele trei vârfuri.

Ortocentrul $H$ este punctul comun al dreptelor care conțin înălțimile. Poziția lui $O$ și a lui $H$ depinde de unghiurile triunghiului:

• în triunghiul ascuțitunghic, ambele sunt în interior;
• în triunghiul dreptunghic cu unghiul drept în $A$, ortocentrul $H$ este chiar vârful $A$, iar $O$ este mijlocul ipotenuzei $BC$; de aceea mediana din $A$ are lungimea $\frac{1}{2}BC$;
• în triunghiul obtuzunghic, ambele sunt în exterior.

Într-un triunghi isoscel, cele patru centre se află pe axa de simetrie; în triunghiul echilateral ele coincid într-un singur punct.

Exemplul 1. O mediană $AM$ are $12$ cm, iar $G$ este centrul de greutate.

1. $G$ împarte mediana în trei părți egale, dintre care două sunt spre vârful $A$.
2. O parte are $12:3=4$ cm.
3. Rezultă $AG=8$ cm și $GM=4$ cm; verificarea este $8+4=12$ cm.

Exemplul 2. Triunghiul $ABC$ are unghiul drept în $A$, $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Unde sunt $H$ și $O$ și cât este $AG$?

1. Din teorema lui Pitagora, $BC=\sqrt{36+64}=10$ cm.
2. Ortocentrul este $H=A$, iar $O$ este mijlocul lui $BC$, deci raza cercului circumscris este $10:2=5$ cm.
3. Mediana $AM$ coincide cu $AO$ și are $5$ cm, deci $AG=\frac{2}{3}\cdot 5=\frac{10}{3}$ cm.

Centrul de greutate se descrie vectorial. Dacă $M$ este mijlocul lui $BC$, atunci $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, iar din $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ rezultă $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, adică $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Pentru orice punct $P$ din plan, $\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$. În coordonate, $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

Formula arată și de ce medianele sunt concurente: condiția $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ este simetrică în $A$, $B$ și $C$, deci același punct $G$ se află, prin același raționament, și pe mediana din $B$, și pe cea din $C$.

Dacă $O$ este circumcentrul și $H$ ortocentrul, relația lui Sylvester este $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Ea se demonstrează astfel: punctul $H^{\prime }$ cu $\overrightarrow{O{H}^{\prime }}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ verifică $\overrightarrow{A{H}^{\prime }}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$, unde $M$ este mijlocul lui $BC$. Cum $OM\perp BC$, punctul $H^{\prime }$ este pe înălțimea din $A$; la fel este pe celelalte două înălțimi, deci $H^{\prime }=H$. Luând $P=O$ în formula de mai sus, obținem $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$: punctele $O$, $G$, $H$ sunt coliniare (pe dreapta lui Euler), iar $G$ se află pe segmentul $OH$, cu $OG:GH=1:2$.

Notăm $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, $p=\frac{a+b+c}{2}$ și cu $\mathcal{A}$ aria triunghiului. Incentrul este la distanța $r=\frac{\mathcal{A}}{p}$ de fiecare latură, pentru că aria se descompune în trei triunghiuri cu înălțimea $r$. Cercul înscris atinge latura $BC$ într-un punct situat la $p-b$ de $B$ și la $p-c$ de $C$, fiindcă tangentele duse dintr-un punct la cerc sunt egale. În coordonate, $I\left(\frac{a{x}_A+b{x}_B+c{x}_C}{a+b+c};\frac{a{y}_A+b{y}_B+c{y}_C}{a+b+c}\right)$; formula rezultă din Teorema bisectoarei. Formulele pentru razele cercurilor înscris și circumscris sunt în lecția „Razele cercurilor înscris și circumscris. Aria triunghiului”.

Exemplul 1. Pentru triunghiul dreptunghic cu $A(0;0)$, $B(6;0)$ și $C(0;8)$, calculăm $G\left(2;\frac{8}{3}\right)$. Ortocentrul este $H=A$, iar circumcentrul este mijlocul ipotenuzei $BC$, adică $O(3;4)$. Ipotenuza are $10$ unități, semiperimetrul este $p=\frac{6+8+10}{2}=12$, iar aria $\mathcal{A}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$. Raza cercului înscris este $r=\frac{24}{12}=2$; incentrul este la distanța $2$ de ambele catete, deci $I(2;2)$. Formula cu laturile dă același rezultat: $\frac{10\cdot 0+8\cdot 6+6\cdot 0}{24}=2$ și $\frac{10\cdot 0+8\cdot 0+6\cdot 8}{24}=2$. Tangentele duse din $A$ la cercul înscris au lungimea $p-a=12-10=2$, egală cu $r$, deoarece unghiul $A$ este drept. Pentru dreapta lui Euler: $\overrightarrow{OH}=(-3;-4)$ și $\overrightarrow{OG}=\left(-1;-\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$.

Exemplul 2. Pentru $A(0;0)$, $B(6;0)$ și $C(2;4)$ aflăm $G$, $O$, $H$ și verificăm relațiile.

1. $G\left(\frac{0+6+2}{3};\frac{0+0+4}{3}\right)=\left(\frac{8}{3};\frac{4}{3}\right)$.
2. Mediatoarea lui $AB$ este $x=3$. Din $OA=OC$ rezultă $9+y^2=1+(y-4{)}^2$, deci $y=1$ și $O(3;1)$.
3. Înălțimea din $C$ este $x=2$. Înălțimea din $A$ este perpendiculară pe $BC$, care are direcția $(-4;4)$, deci este dreapta $y=x$. Ortocentrul este $H(2;2)$.
4. Verificăm: $\overrightarrow{OH}=(-1;1)$ și $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(-3;-1)+(3;-1)+(-1;3)=(-1;1)$. Apoi $\overrightarrow{OG}=\left(-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$.

Exemplul 3. Se cunosc circumcentrul $O(2;1)$ și centrul de greutate $G(1;2)$ ale unui triunghi. Din $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ și $\overrightarrow{OG}=(-1;1)$ obținem $\overrightarrow{OH}=(-3;3)$, deci ortocentrul este $H(-1;4)$.

Exemplul 4. Triunghiul cu $A(0;0)$, $B(4;0)$ și $C(1;1)$ are $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(-1)\cdot 3+(-1)\cdot (-1)=-2<0$, deci unghiul $C$ este obtuz. Înălțimea din $C$ este $x=1$, iar cea din $A$ este $y=3x$, deci $H(1;3)$. Mediatoarea lui $AB$ este $x=2$, iar din $OA=OC$ rezultă $O(2;-1)$. Ambele puncte sunt în afara triunghiului, iar $\overrightarrow{OH}=(-1;4)=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: în triunghiul dreptunghic cu $A(0;0)$, $B(6;0)$ și $C(0;8)$, se pune ortocentrul în $O(3;4)$.
  Corect: ortocentrul este $A(0;0)$; $O(3;4)$ este circumcentrul.
• Greșit: pentru același triunghi, se ia $O(3;4)$ drept incentru deoarece ar fi egal depărtat de laturi.
  Corect: distanțele lui $O$ la catete sunt $3$ și $4$, în timp ce incentrul este $I(2;2)$.
• Greșit: pentru mediana $AM=12$ cm se calculează $AG=6$ cm.
  Corect: raportul este $2:1$ de la vârf, deci $AG=8$ cm și $GM=4$ cm.
• Greșit: centrul de greutate este mijlocul medianei.
  Corect: mijlocul medianei de $12$ cm este la $6$ cm de vârf, iar $G$ este la $8$ cm de vârf.
• Greșit: ortocentrul este întotdeauna în interiorul triunghiului.
  Corect: este în interior numai la triunghiul ascuțitunghic; la cel dreptunghic este vârful unghiului drept, iar la cel obtuzunghic este în exterior.

Înainte și după