Simetrii și transformări plane

Unele transformări mută o figură fără să-i schimbe forma sau mărimea: simetria față de o dreaptă, simetria față de un punct, translația și rotația. La toate patru, lungimile segmentelor și măsurile unghiurilor rămân aceleași.

Simetria față de o dreaptă $d$ (simetria axială) asociază fiecărui punct $P$ punctul $P^{\prime }$ astfel încât $d$ este mediatoarea segmentului $P{P}^{\prime }$; punctele de pe $d$ rămân pe loc. Este ca imaginea într-o oglindă. O figură are axă de simetrie dacă, îndoită pe acea dreaptă, cele două părți se suprapun: litera A de tipar are o axă verticală, litera H are două axe, pătratul are patru, triunghiul echilateral trei, iar cercul are o infinitate de axe. În reperul cartezian, simetricul lui $P(x;y)$ față de axa $Ox$ este $(x;-y)$, iar față de axa $Oy$ este $(-x;y)$.

Simetria față de un punct $M$ asociază lui $P$ punctul $P^{\prime }$ astfel încât $M$ este mijlocul lui $P{P}^{\prime }$. Dacă o figură coincide cu simetrica ei față de $M$, atunci $M$ este centru de simetrie: paralelogramul are centrul în intersecția diagonalelor, litera Z are un centru, dar nu are nicio axă. Simetria față de origine duce $(x;y)$ în $(-x;-y)$.

Translația mută fiecare punct în aceeași direcție, pe aceeași distanță. Dacă împingi o piesă de hârtie $3$ pătrățele la dreapta, toate colțurile ei se mută la fel. Segmentul $P{P}^{\prime }$ are aceeași lungime și aceeași direcție pentru toate punctele figurii.

Rotația de centru $O$ și unghi $\alpha$ duce punctul $P$ în $P^{\prime }$ cu $O{P}^{\prime }=OP$ și $m(\sphericalangle PO{P}^{\prime })=\alpha$, într-un sens stabilit. O rotație de $90^{\circ }$ în jurul centrului unui pătrat duce pătratul peste el însuși. În jurul originii, rotația de $90^{\circ }$ în sens antiorar duce $(x;y)$ în $(-y;x)$. Simetria față de un punct este rotația de $180^{\circ }$ în jurul lui.

Omotetia mărește sau micșorează o figură față de un centru $O$, fără să-i schimbe forma. Pentru raportul $k>0$, imaginea $P^{\prime }$ este pe semidreapta $OP$ și $O{P}^{\prime }=k\cdot OP$. Lungimile se înmulțesc cu $k$, iar unghiurile se păstrează. Pentru $k<0$, punctul $P^{\prime }$ este pe semidreapta opusă lui $OP$, cu $O{P}^{\prime }=|k|\cdot OP$; omotetia de raport $k=-1$ este simetria față de $O$. Dacă $O$ este originea, $P(x;y)$ devine $P^{\prime }(kx;ky)$.

Exemplul 1. Punctul $P(1;2)$ se translatează cu $2$ unități la dreapta și $1$ în sus.

1. Adunăm $2$ la prima coordonată: $1+2=3$.
2. Adunăm $1$ la a doua: $2+1=3$.
3. Noul punct este $P^{\prime }(3;3)$; deplasarea orizontală și cea verticală rămân aceleași pentru orice punct al figurii.

Exemplul 2. Aflați simetricul punctului $A(1;2)$ față de punctul $M(4;3)$.

1. $M$ este mijlocul segmentului $A{A}^{\prime }$, deci $4=\frac{1+x}{2}$ și $3=\frac{2+y}{2}$.
2. Rezultă $x=7$ și $y=4$, deci $A^{\prime }(7;4)$.

Exemplul 3. Punctul $B(2;1)$ se rotește cu $90^{\circ }$ în sens antiorar în jurul originii: $B^{\prime }(-1;2)$. Verificare: $OB=O{B}^{\prime }=\sqrt{5}$, iar $B$ și $B^{\prime }$ se află pe drepte perpendiculare care trec prin $O$.

Exemplul 4. Pentru omotetia de centru origine și raport $k=2$, punctul $(1;3)$ devine $(2;6)$, iar un pătrat cu latura de $3$ cm devine un pătrat cu latura de $6$ cm.

Greșeli frecvente

• Greșit: simetricul lui $P(2;3)$ față de $Oy$ este $(2;-3)$.
  Corect: se schimbă abscisa, deci punctul este $(-2;3)$; primul rezultat este reflexia față de $Ox$.
• Greșit: la translația cu două unități spre dreapta, punctul $(1;4)$ devine $(1;6)$.
  Corect: se schimbă abscisa, deci obținem $(3;4)$.
• Greșit: omotetia de centru origine și raport $k=2$ păstrează punctul $(1;3)$.
  Corect: coordonatele se dublează, iar imaginea este $(2;6)$.
• Greșit: simetricul lui $A(1;2)$ față de punctul $M(4;3)$ este $(3;1)$, adică $M-A$.
  Corect: $M$ este mijlocul lui $A{A}^{\prime }$, deci $A^{\prime }(7;4)$.
• Greșit: prin omotetie de raport $2$, aria unui pătrat se dublează.
  Corect: lungimile se dublează, iar aria se înmulțește cu $4$: pătratul cu latura $3$ cm și aria $9$ cm${}^2$ devine pătratul cu latura $6$ cm și aria $36$ cm${}^2$.

Înainte și după