Poligoane

Un poligon este o linie frântă închisă, ale cărei segmente nu se taie între ele, împreună cu interiorul ei. Segmentele sunt laturile, iar capetele lor sunt vârfurile. Un poligon cu $n$ laturi are $n$ vârfuri și $n$ unghiuri. Poligonul este convex dacă fiecare segment cu capetele în poligon rămâne în poligon. Se numesc triunghi, patrulater, pentagon, hexagon și octogon poligoanele cu $3$, $4$, $5$, $6$, respectiv $8$ laturi.

Diagonala unește două vârfuri nevecine. Dintr-un vârf al unui poligon convex cu $n$ laturi pornesc $n-3$ diagonale; triunghiul nu are diagonale. Diagonalele dintr-un vârf împart poligonul în $n-2$ triunghiuri, de aceea suma unghiurilor interioare este $(n-2)\cdot 180^{\circ }$. La pentagon suma este $3\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$.

Un poligon este regulat dacă are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente. Fiecare unghi interior al lui are $\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$. Orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc, al cărui centru $O$ este și centrul poligonului. Raza cercului este $R$, iar apotema $a_n$ este distanța de la $O$ la o latură. Două vârfuri consecutive se văd din $O$ sub un unghi de $\frac{360^{\circ }}{n}$. Pentru laturile de lungime $\ell$ se rețin trei cazuri:

• triunghiul echilateral: înălțimea $\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$, $R=\frac{\ell \sqrt{3}}{3}$, $a_3=\frac{\ell \sqrt{3}}{6}$, aria $\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$;
• pătratul: diagonala $\ell \sqrt{2}$, $R=\frac{\ell \sqrt{2}}{2}$, $a_4=\frac{\ell }{2}$, aria ${\ell }^2$;
• hexagonul regulat: $R=\ell$, $a_6=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$, aria $\frac{3{\ell }^2\sqrt{3}}{2}$, pentru că se descompune din centru în șase triunghiuri echilaterale de latură $\ell$.

Cu compasul se construiește ușor hexagonul regulat: cu deschiderea egală cu raza se marchează pe cerc șase puncte consecutive; unghiul la centru de $60^{\circ }$ arată că triunghiurile formate sunt echilaterale. Pătratul se înscrie ducând două diametre perpendiculare, ale căror capete sunt vârfurile.

Exemplul 1. Un octogon regulat. Aflați suma unghiurilor interioare, un unghi interior și unghiul la centru.

1. Suma este $(8-2)\cdot 180^{\circ }=1080^{\circ }$.
2. Un unghi interior are $1080^{\circ }:8=135^{\circ }$.
3. Unghiul la centru are $360^{\circ }:8=45^{\circ }$.

Exemplul 2. Un hexagon regulat are latura de $6$ cm. Aflați raza cercului circumscris, perimetrul și apotema.

1. Triunghiurile echilaterale din care este format au latura $6$ cm, deci $R=6$ cm.
2. Perimetrul este $6\cdot 6=36$ cm.
3. Apotema este înălțimea unui astfel de triunghi: $a_6=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm.

Din fiecare vârf al unui poligon convex cu $n\ge 3$ pornesc $n-3$ diagonale: excludem vârful însuși și vecinii săi. Numărând de la toate vârfurile obținem $n(n-3)$ segmente, dar fiecare diagonală apare de la ambele capete; totalul este $\frac{n(n-3)}{2}$.

Unghiurile exterioare, câte unul la fiecare vârf și luate în același sens, însumează $360^{\circ }$. La un poligon regulat, fiecare are $\frac{360^{\circ }}{n}$, deci unghiul interior este $180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}$, adică $\frac{(n-2)180^{\circ }}{n}$. Dintr-un unghi interior cunoscut se află numărul laturilor: $n=\frac{360^{\circ }}{180^{\circ }-\text{unghiul interior}}$ trebuie să fie număr natural, $n\ge 3$. De exemplu, unghiul de $100^{\circ }$ ar da $n=\frac{360}{80}=4,5$, deci nu există poligon regulat cu un asemenea unghi.

Ambele condiții din definiție sunt necesare. Rombul are laturile congruente, dar nu și unghiurile; dreptunghiul are unghiurile congruente, dar nu și laturile. Pentru $n=4$, singurul poligon regulat este pătratul.

Într-un poligon regulat cu $n$ laturi de lungime $\ell$, centrul $O$ îl descompune în $n$ triunghiuri isoscele congruente, cu baza $\ell$ și înălțimea $a_n$. De aici, aria este $n\cdot \frac{\ell a_n}{2}=\frac{P\cdot a_n}{2}$, unde $P=n\ell$ este perimetrul. Raza, apotema și jumătate din latură formează un triunghi dreptunghic, deci $R^2=a_n^2+\frac{{\ell }^2}{4}$.

Un poligon regulat cu $n$ laturi are $n$ axe de simetrie și are centru de simetrie dacă și numai dacă $n$ este par. La hexagonul regulat, cele $9$ diagonale sunt de două feluri: $3$ diagonale lungi, de lungime $2\ell$, care trec prin centru, și $6$ diagonale scurte, de lungime $\ell \sqrt{3}$.

Din poligonul regulat cu $n$ laturi, înscris într-un cerc, se obține cel cu $2n$ laturi ducând mediatoarele laturilor până la cerc și unind vârfurile cu mijloacele arcelor: pătratul dă octogonul, hexagonul dă dodecagonul. Hexagonul se construiește cu compasul, pentru că latura lui este egală cu raza; unind din două în două vârfurile hexagonului se obține triunghiul echilateral.

Exemplul 1. Un poligon regulat are unghiul interior de $150^{\circ }$.

1. Unghiul exterior este $180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$.
2. Numărul laturilor este $360^{\circ }:30^{\circ }=12$.
3. Numărul diagonalelor este $\frac{12\cdot 9}{2}=54$.
4. Suma unghiurilor interioare este $10\cdot 180^{\circ }=1800^{\circ }$, egală cu $12\cdot 150^{\circ }$, ceea ce confirmă rezultatul.

Exemplul 2. Un hexagon regulat are latura de $4$ cm. Aflați aria.

1. Perimetrul este $P=6\cdot 4=24$ cm.
2. Apotema este $a_6=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm; verificăm cu $R^2=a_6^2+\frac{{\ell }^2}{4}$: $16=12+4$.
3. Aria este $\frac{24\cdot 2\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$ cm${}^2$, la fel ca $6\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{4}$, aria a șase triunghiuri echilaterale.

Exemplul 3. Un poligon convex are $20$ de diagonale. Câte laturi are?

1. $\frac{n(n-3)}{2}=20$ conduce la $n^2-3n-40=0$.
2. Rădăcinile sunt $n=8$ și $n=-5$; numărul laturilor este pozitiv, deci $n=8$.
3. Verificăm: $\frac{8\cdot 5}{2}=20$.

Exemplul 4. Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex este $1440^{\circ }$. Câte laturi și câte diagonale are?

1. $(n-2)\cdot 180^{\circ }=1440^{\circ }$ dă $n-2=8$, deci $n=10$.
2. Numărul diagonalelor este $\frac{10\cdot 7}{2}=35$.
3. Dacă poligonul este regulat, fiecare unghi interior are $1440^{\circ }:10=144^{\circ }$.

Greșeli frecvente

• Greșit: un hexagon are $6(6-3)=18$ diagonale.
  Corect: fiecare a fost numărată de două ori, deci sunt $18:2=9$.
• Greșit: orice romb este regulat fiindcă are laturile egale.
  Corect: numai pătratul are și toate unghiurile egale.
• Greșit: suma unghiurilor interioare ale unui pentagon este $5\cdot 180^{\circ }=900^{\circ }$.
  Corect: suma este $(5-2)\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }$.
• Greșit: apotema hexagonului regulat cu latura de $6$ cm este $6$ cm.
  Corect: $6$ cm este raza cercului circumscris; apotema este $3\sqrt{3}$ cm, mai mică decât raza.

Înainte și după