Extremele funcțiilor

Punctul $x_0$ este punct de maxim local al lui $f$ dacă $f(x)\le f(x_0)$ pentru toți $x$ dintr-o vecinătate a lui $x_0$; este punct de minim local dacă $f(x)\ge f(x_0)$ în acea vecinătate. Candidații apar unde derivata este zero ori nu există și la capetele intervalului de studiu. Semnul derivatei din jurul unui punct confirmă tipul extremului.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=-(x-2{)}^2+5$:

1. $f^{\prime }(x)=-2(x-2)$.
2. Derivata trece de la pozitiv la negativ la $x=2$.
3. Funcția are maxim local și global $f(2)=5$.

Un extrem este strict dacă inegalitatea este strictă pentru $x\ne x_0$. El este global dacă inegalitatea $f(x)\le f(x_0)$ (sau $\ge$) are loc pe tot domeniul, nu doar într-o vecinătate. Teorema lui Fermat spune că, dacă $f$ este derivabilă într-un punct interior de extrem local $a$, atunci $f^{\prime }(a)=0$. Reciproca este falsă: pentru $f(x)=x^3$, $f^{\prime }(0)=0$, dar $0$ nu este extrem. Punctele critice sunt cele în care $f^{\prime }$ se anulează sau nu există; extremele se caută printre ele. De exemplu, $|x|$ are minim în $0$, unde derivata nu există.

Criteriul derivatei întâi: dacă $f$ este continuă în $x_0$ și derivabilă în jurul lui, schimbarea semnului lui $f^{\prime }$ din plus în minus dă un maxim local, iar din minus în plus dă un minim local; dacă semnul nu se schimbă, $x_0$ nu este extrem. Criteriul derivatei a doua: dacă $f^{\prime }(x_0)=0$ și $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, punctul este de minim local; dacă $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, este de maxim local. Pentru $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ criteriul nu decide: $x^4$ are minim în $0$, $-x^4$ are maxim, iar $x^3$ nu are extrem, toate cu $f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=0$.

Pe un interval închis și mărginit $[a;b]$, o funcție continuă își atinge minimul și maximul global. Ele se află comparând valorile funcției în punctele critice din interval și în capetele $a$ și $b$. Teorema lui Fermat vorbește numai despre puncte interioare: în capete derivata nu trebuie să fie nulă, de exemplu $f(x)=x$ pe $[0;1]$ are minimul în $0$ și maximul în $1$, cu $f^{\prime }=1$.

Pașii pentru extremele globale pe $[a;b]$ sunt:

1. se verifică faptul că $f$ este continuă pe $[a;b]$;
2. se calculează $f^{\prime }$ și se află punctele din $(a;b)$ unde $f^{\prime }=0$ sau $f^{\prime }$ nu există;
3. se calculează valorile lui $f$ în aceste puncte și în $a$ și $b$;
4. cea mai mică valoare este minimul global, iar cea mai mare este maximul global.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^3-3x$, derivata este $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Ea este pozitivă pe $(-\infty ;-1)$ și $(1;\infty )$ și negativă pe $(-1;1)$. Rezultă maxim local la $x=-1$, cu $f(-1)=2$, și minim local la $x=1$, cu $f(1)=-2$. Acestea nu sunt extreme globale pe $\mathbb{R}$, fiindcă funcția este nemărginită în ambele sensuri. Același rezultat dă criteriul derivatei a doua: $f^{\prime \prime }(x)=6x$, deci $f^{\prime \prime }(-1)=-6<0$ (maxim) și $f^{\prime \prime }(1)=6>0$ (minim).

Exemplu rezolvat. Aflăm extremele globale ale funcției $f(x)=x^3-3x$ pe $[0;3]$.

1. Singurul punct critic din interval este $x=1$.
2. Valorile sunt $f(0)=0$, $f(1)=-2$ și $f(3)=18$.
3. Minimul global este $-2$, atins în $x=1$, iar maximul global este $18$, atins în capătul $x=3$.

Exemplu rezolvat. Funcția $f(x)=\sqrt[3]{(x-2{)}^2}$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și are $f^{\prime }(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-2}}$ pentru $x\ne 2$. Derivata este negativă pentru $x<2$, pozitivă pentru $x>2$ și nu există în $2$, deci $x=2$ este punct critic și punct de minim, cu $f(2)=0$.

La o grilă cu extreme pe un interval închis, se calculează valorile în punctele critice din interval și în capete, apoi se alege cea mai mică sau cea mai mare. Punctele critice din afara intervalului se ignoră.

Problemă. Valoarea minimă a funcției $f(x)=x^3-12x$ pe intervalul $[0;3]$ este:

• a) $-9$
• b) $0$
• c) $16$
• d) $-16$
• e) $-4$
• f) $-12$

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. Punctul $x=-2$ este în afara intervalului, deci singurul punct critic este $x=2$. Valorile sunt $f(0)=0$, $f(2)=8-24=-16$ și $f(3)=27-36=-9$. Minimul este $-16$, răspunsul d). Varianta a) compară numai capetele și alege $f(3)$. Varianta b) alege $f(0)$. Varianta c) este $f(-2)$, valoare în afara intervalului. Varianta e) calculează greșit $f(2)=8-12$. Varianta f) este valoarea derivatei $f^{\prime }(0)$, nu a funcției.

La o problemă cu parametru, condiția $f^{\prime }(x_0)=0$ stabilește punctul critic, iar valoarea funcției în acel punct se egalează apoi cu valoarea cerută, ceea ce dă parametrul.

Alt exemplu. Funcția $f(x)=x^3-3x+m$ are un minim local egal cu $0$ pentru un anumit $m$. Derivata $3(x-1)(x+1)$ arată că minimul local este în $x=1$, unde $f(1)=m-2$. Din $m-2=0$ rezultă $m=2$.

Alt exemplu. Funcția $f(x)=x+\frac{4}{x}$ pe $(0;+\infty )$ are $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}$. Derivata este negativă pentru $0<x<2$ și pozitivă pentru $x>2$, deci funcția scade, apoi crește. Rezultă minim global în $x=2$, cu $f(2)=4$; același punct se confirmă prin $f^{\prime \prime }(x)=\frac{8}{x^3}$, pozitivă în $2$. Funcția nu are maxim pe acest domeniu, deoarece valorile cresc fără limită spre capete.

Greșeli frecvente

• Greșit: $f^{\prime }(a)=0$ garantează extrem.
  Corect: este doar o condiție necesară pentru extrem interior derivabil; $x^3$ are $f^{\prime }(0)=0$ fără extrem.
• Greșit: extremele la capetele unui interval închis sunt ignorate.
  Corect: contează la optimizarea globală, ca $f(3)=18$ în exemplul de mai sus.
• Greșit: maxim local și maxim global sunt sinonime.
  Corect: unul compară vecinătatea, celălalt tot domeniul; $x^3-3x$ are maxim local $2$ în $-1$, dar valori mai mari pe $\mathbb{R}$.
• Greșit: dacă $f^{\prime \prime }(0)=0$, atunci $0$ nu este extrem.
  Corect: criteriul derivatei a doua nu decide; $x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$ și minim în $0$.
• Greșit: $|x|$ nu are extrem în $0$ fiindcă derivata nu există acolo.
  Corect: $0$ este punct critic și minim global, deoarece $|x|\ge 0=|0|$.

Înainte și după