Lungimi de arc și suprafețe de rotație

Pentru graficul unei funcții $f$ derivabile, cu derivata continuă pe $[a;b]$, lungimea arcului este $L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$. Dacă arcul, cu $f(x)\ge 0$, se rotește în jurul axei $Ox$, aria suprafeței generate este $S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x$ pe $[0;1]$:

1. $f^{\prime }(x)=1$.
2. Lungimea este ${\int }_0^1\sqrt{1+1}dx$.
3. $L=\sqrt{2}$ unități de lungime.

De unde vine formula lungimii. Împărțim $[a;b]$ prin punctele $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ și înlocuim fiecare porțiune a arcului cu coarda ei. Coarda dintre $x_{i-1}$ și $x_i$ are lungimea $\sqrt{(\Delta x_i{)}^2+(\Delta y_i{)}^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)}^2}\Delta x_i$. Conform teoremei lui Lagrange, raportul $\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}$ este egal cu $f^{\prime }({\xi }_i)$ pentru un punct ${\xi }_i\in (x_{i-1};x_i)$. Suma lungimilor corzilor este deci o sumă Riemann a funcției continue $\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}$, iar la limită, când norma diviziunii tinde la $0$, devine integrala din formula lui $L$.

De unde vine formula suprafeței. Prin rotirea unei corzi în jurul axei $Ox$ se obține un trunchi de con, cu aria laterală egală cu circumferința medie înmulțită cu generatoarea: $2\pi \cdot \frac{|f(x_{i-1})|+|f(x_i)|}{2}\cdot \sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)}^2}\Delta x_i$. Sumele acestor arii tind la $S=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$. Dacă graficul traversează axa, raza benzii este distanța $|f(x)|$, nu valoarea $f(x)$, care ar putea fi negativă.

Exemplu rezolvat. Calculăm lungimea graficului lui $f(x)=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ pe $[0;3]$.

1. Derivăm: $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}$, funcție continuă pe $[0;3]$.
2. În formula lungimii, expresia de sub radical devine $1+[f^{\prime }(x){]}^2=1+x$.
3. Integrăm: $L={\int }_0^3\sqrt{1+x}dx={\left[\frac{2}{3}(1+x{)}^{3/2}\right]}_0^3=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}$ unități de lungime.

Exemplu rezolvat. Calculăm lungimea graficului lui $f(x)=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x}$ pe $[1;2]$.

1. Derivata este $f^{\prime }(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2x^2}$.
2. Atunci $1+[f^{\prime }(x){]}^2=1+\frac{x^4}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^4}={\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}\right)}^2$, deci radicalul este $\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}$.
3. Lungimea este ${\int }_1^2\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}\right)dx={\left[\frac{x^3}{6}-\frac{1}{2x}\right]}_1^2=\frac{13}{12}+\frac{1}{3}=\frac{17}{12}$ unități de lungime.

Același procedeu, completarea unui pătrat sub radical, funcționează pentru $f(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{\ln x}{4}$ pe $[1;2]$: $f^{\prime }(x)=x-\frac{1}{4x}$, deci $1+[f^{\prime }(x){]}^2={\left(x+\frac{1}{4x}\right)}^2$, iar $L={\int }_1^2\left(x+\frac{1}{4x}\right)dx=\frac{3}{2}+\frac{\ln 2}{4}$ unități de lungime.

La un segment de dreaptă panta este constantă, deci și integrandul este constant; la un arc curb panta variază pe interval, de aceea integrandul depinde de $x$. Pentru o funcție afină verificarea este imediată: graficul lui $f(x)=2x$ pe $[0;1]$ este un segment cu lungimea $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, iar formula dă ${\int }_0^1\sqrt{1+4}dx=\sqrt{5}$.

Verificarea rezultatului. Lungimea unui arc este cel puțin lungimea coardei dintre capetele lui. Pentru graficul lui $f(x)=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ pe $[0;3]$, capetele sunt $(0;0)$ și $(3;2\sqrt{3})$, coarda are lungimea $\sqrt{9+12}=\sqrt{21}\approx 4,58$, iar $L=\frac{14}{3}\approx 4,67$ este mai mare, deci rezultatul este plauzibil.

Ipoteze. Formulele cer ca $f^{\prime }$ să fie continuă pe tot intervalul $[a;b]$, inclusiv la capete. Pentru $f(x)=\sqrt{x}$ derivata $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ nu există în $0$, deci formulele nu se aplică pe $[0;2]$; se aplică, de exemplu, pe $[1;2]$.

Exemplu rezolvat. Aria suprafeței generate prin rotirea în jurul axei $Ox$ a graficului lui $f(x)=\frac{x^3}{3}$, $x\in [0;1]$.

1. Funcția este pozitivă pe $(0;1]$, iar derivata $f^{\prime }(x)=x^2$ este continuă pe $[0;1]$.
2. Aria este $S=2\pi {\int }_0^1\frac{x^3}{3}\sqrt{1+x^4}dx=\frac{2\pi }{3}{\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+x^4}dx$.
3. Cu $t=1+x^4$ avem $x^{3}dx=\frac{dt}{4}$, deci ${\int }_0^1{x}^3\sqrt{1+x^4}dx=\frac{1}{4}{\int }_1^2\sqrt{t}dt=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}$.
4. Rezultă $S=\frac{2\pi }{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}-1}{6}=\frac{\pi \left(2\sqrt{2}-1\right)}{9}$ unități pătrate.

Pentru semicercul $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ avem $f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}=R$ pe $(-R;R)$. Derivata nu există în $\pm R$, deci formula se aplică pe $[-c;c]$, cu $0<c<R$, și dă aria zonei sferice $S=2\pi {\int }_{-c}^{c}Rdx=4\pi Rc$, adică $2\pi R\cdot h$, unde $h=2c$ este înălțimea zonei. Pentru $c\to R$ se obține aria sferei, $4\pi R^2$.

Pentru conul obținut din $f(x)=\frac{r}{h}x$ pe $[0;h]$, aria laterală este $\pi r\sqrt{h^2+r^2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $f(x)=x$ pe $[0;1]$, lungimea se calculează ca ${\int }_0^{1}xdx=1/2$.
  Corect: integrala lungimii dă ${\int }_0^1\sqrt{2}dx=\sqrt{2}$ unități.
• Greșit: pentru rotația segmentului $y=x$ pe $[0;1]$, aria laterală este numită volum și se scrie în unități cubice.
  Corect: aria suprafeței este $\pi \sqrt{2}$ unități pătrate; volumul conului este $\pi /3$ unități cubice.
• Greșit: la rotația porțiunii $f(x)=-1$ pe $[0;1]$ se folosește raza $-1$ și rezultă arie negativă.
  Corect: raza este $|f(x)|=1$, iar aria laterală a cilindrului este $2\pi$ unități pătrate.
• Greșit: pentru $f(x)=2x$ pe $[0;1]$, lungimea este ${\int }_0^1\sqrt{1+f^{\prime }(x)}dx=\sqrt{3}$.
  Corect: derivata se ridică la pătrat sub radical, iar lungimea segmentului este $\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5}$.
• Greșit: în formula lungimii se folosește $\sqrt{1+f(x{)}^2}$ în loc de $\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}$.
  Corect: sub radical intervine panta, adică derivata; pentru $f(x)=x$ pe $[0;1]$, ${\int }_0^1\sqrt{1+x^2}dx$ nu este lungimea segmentului.

Înainte și după